Галкин С.В. Матрицы,определители,решение систем (1988) (1095462), страница 5
Текст из файла (страница 5)
° -~ ~~О . ° ~Е систеиа имеет вдинствеюве решвние (и только в этом случае), Доказательство 1. Если,ф.-у = 2 = /г , то базисный минор .ч -гс порвдка, т.е.(,д ) - базисный минор я (/)( к/) . 1огда суаествует обратная матрица (теорема 2,3) и решение можно определить по 4ориуле .ж =А /~9. ,((оказетельство 2, Из йормуж (3) н (4) видно„что при г /г отсутствушт переменные, которые мозно выбирать произвольно. 3 этом слухае решение по Формулам (3) нлн,4) определяетсн однозначно 23 япкторои правых честей. Заметим, что иэ армул иэ формул ~3) н ~4) явно Видясь что имеются розно .'1-'и переменных, значения которых полно выбирать произвольно по ним одгоэначно дгоэначно определяются остальные переменные.
Из того и другого доказательств следует, чта для того, чтобы матрица имела обратную, нео ходим б необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был равен «олк- честоу строк и столбцов. ~у~2 'гА- 7 = . Р В стьеннае реюение (нулевое). В самом деле, нулевое равенне онв имеет всегда, а при т „ ано цяннстзенгюе. с * .1ь, о и~д трицо " "У Р " б* Л * . б ма'.,ицэ д была вырожденной. 1. В самом деле, если ) д )игу, та одноргдная система имеет единст- венное нулеэое равенне гслздстоив 3), 2. Пусть матрица вырождена, тогда равенна оистеми по формулам (3), (4) зависят ог' »г- т переменных, значения которых выбираются про- извольно, т.е.
существует бесконечно много режений, в тои числе и ненулеэых. ь„*-.. 4.уоц,...д -., ...р тахая системе совместна н Г н»гг .»г . 3.2. Фо лм К ме мета Га са Пусть фд - -'» »г, т.е.)Л ! ч ») . Тогда раюенне неоднородной .г-л; системы можно получить по формуле х = Л хй. Залижем ве »координатно: =Й~,, »г . х ) < '»~ = - ~ )ж»~~ ~ь )т, Г. ) = »р' ' ун <;,/ )1) Вти соотноюенил называются Ворнулвьий Крамягга.
"Расчет по фориулэм Крамера требует около 2/3»г о арифппзтнческих операций. .;--г--о, л 4=,'~ 1;+:А гги ~ ° ° -- ° --- ~ ° .ю ю ного олемептэ состоит иэ слодупппих опораций г » -:. - приведение матрицы Л/9 к ступенчатому эгчгу. При»г = 2 "'б получки верхнюю треугольную матрицу, причем э каждой строке вмбираетоя максимальный по модулю — главный олемонт ;см.п.2.5). Пти операция составляют прпмой ход исключения з методе Гвуосэ; - реюение по форпулем (3) или некотории другим формулам, дающим те же результаты, формулы ГП) при т =с»имеют зид х = — ~ т»г»г»г и А»г г.л, »г,т~ "х) / г»г ~ »)у, ...»г ./. Это - обратййй ход исключенйя в методе Гаусса. В результате папучаыч единственное рвпение.
Метод Гаусса требует ахала хг нячаек оперативной памятя и около 2/3:г арифметических операция, из ко- ,3 тарих полояяна приходится на долю сложений, половина - на далю умножений н делений. зз. 0 ю ~ б чиьхчы Рассмотрии неоднородную систему 4л.- = »х, Приведем расширенную матрицу систечы г/г) злемонтарнымв преобра- зованиями строк к ступенчатому виду, Выберем какой-яибо базисный мино- з матрице ступенчатого вида, зафиксируем помора его столб- Ю Р" мчмыи к" " а ь" з" хи' Р менных будет 2 атум, свободных»г-2 ютук. Переставим столбцы в матрице ступенчатого вида, чтобы базисный минор стоил э верхнем левом углу.
Тогда базисные переменгвге соответствуют столбцам с померзни У,..., ж , свободные - 2' у,, л В результате палучии матрицу зила г »)~. »г.а»г "»»г/г г" »гх»г л» гр ' ' ' арг»гр» /' 'аг/г ОГ гг»»»гт.„° ° . »гг г с'» Замвчаниег столбцн, содержащие перзыЪ ненулевые элементы з стрг- ках матрицы, образуют базисный минор, в нем т строк и;г стгчго- цоз, поэтоиу обычно в качестве базисных переменных выбирают то, чьи номера раним номерам указанных столбцов »столбцов, обрвэугтны ступеньки) . Для упрощанзя преобразований и зггжпадсгг предположим, что матрица приведена к ступенчатому энду, в котором нэд элементами ггг, б =К»г,, т стоят нули: ,к)«у О ...
К7 а,т,, кзь, 6~ с (7 а„...к7 «7 ° «7 . «ъбу К7 а ° аэ а В рмулах сохранены тв ие о бсзначвния элементси матрицы, квтл фс .ами элементы изменились, Ясли си( р Ра б сопениях, конечно, с стека соэместна, то с(К, -"... о = С и с сильна системе с ыатрицсз (б): С)«у "Ху ~к)««г«'~«г«««7 х7 « .к ('П '7„:РХ" "«7 Х ...««?, .К;.т= 6, '«.к к . «« « ' « г,у" х:у . «а и е... ь«7..К' = 8. ния гистюм ~у), ыы отыщем тем самым все Поэтому, отыскав зсе решения . ь, з систечы. Ношение сиогючм можно найти по формул рэюсния исходноя систечы. е с мат зи (4). Пто проще, чем прим применять формулы (3) к системе с рнц (2).
Найдем решение: б" х' й' = к э,~'-/~у « ~~1 ку.«/ кх~«к«7 и, л.-,т д .. «7" .:к к' я.~~' т ««л~ы т„ или з иекторнои сиде к'у -т ( 'В) «Ф/ где ". У х=- -Х', гх7- 7К«у г>l .' —.г~ А ° с «7 ~«~~ 7 К) б я зависят от К) . Перебирая причем «( зависят от«); , «(.; С .к. с, д- , па фор- жные значенил с4асдных переменных .к х,«, „ , .я.;~, по зссзозможн т, е. об ее решение неодном ле ью) получим зсс решения системы, т,е. о щ р ржя Нт ° Ви брь поэтом Л - частное решение неоднсродноф системы при.к. '~«7 "б)' .
осли взять Ды«У то Л «7 и общее решение однс- ,х, , л ) можно записать родноп системы (при произвольных х з,«, л „ в янде х~бт С' ск 0) .к' д, получим 7ж «" - частное «»' ЯО решение однородной системы; выбрав .т«, тб,.т,', -«,г«;Х7 получим С "' - части~~ решение однорсдноя ~~~т~~~ и т.д. ВЫбРВВ 'К' =С7,, К: =«7.К тб ПСЛУЧИМ С"х - ЧаотНОЕ РШПЕНИЕ однородной системы.
Ясно, что С ~." ч - линейно незззисимы, так как матрица, составленная нэ столбцов Кх '« х имеет ненулеьой минор « -го порядка, равный единице. Обозначим С = кк,..., С . к' А" --.~с7,...ж', = иХ Созокупность линейно назаоисиымх частных решений,Т „, Л."ч Ю Р ~Ю "* " "' " ""чсяНЫ чх ' Х ш(пщия доднородной сисгеыы.
Любое решение однородноз систшчы можно записать по форчуле (9) с учетом переобсзначсння: (10) 'к" =..длуги щ ° ' "«~-~'к'7-т упсажнение. Доказать, что ранения однородной системы образуют линеяное пространство, а нормальная фундэментальиая система решения - один из его базисов. упсажнение.
Доказать, что разность решений нводнородноя «1стеыы есть реяение однородной системы, а сумма решения однородноп и неоднородной систем - решение неоднородной системм. 4ЛнЛяиентальной системой шеник однородной системы назызаетоя совокупность любых ее «т-Ш линекно незазнсимых решения. Таею с.д (о структуре общего решения однородной системм). Общее решение однородной системы еоть линейная комбинациа решений фуидамвнтальной системы решений однородной системы. доЛазатэдьстао, решения фундаментельной системы состазлиют базис линейного пространства решений однородной системы (они ЛН и их 7«-х штук).
Любое резепие покет быть разложено но етому базису (теореиа 1.4). Дадям конотрухтивнов доказательство, Выберем любое решение .ж . Представим его в зидв (10): к( =л РаэксжУ ЭактО77Ы НОРМЗЛшзнсй фУНПаизитаЛЬНОй Слотыз« ПС баЗИСУ: ~Г г~~«~ у«ОЛ'"'~ " . ° 'Ж'««-т "т- 'ж)«-т ~от-т-~'ж' ~~~Ь-тг'ж' ''яг-тгг-«х Подставки этн разложения в зы)мюссе для тХ,)К««Р«УХ+.„С«7,„~ Х )ю а «Р, т Щ,К7,. х.л 7' Ф реьеьсьсе с)зсородноя системы модно предстаеить э энда (11) 0;) (о структура обшего решения ноодьсородной системы).
,юоднорокнся системы есть сумма ее частного решшсия „„а„.,„„„.„,„,.я снстссны, получен-~ - неоЮюр ~-К ькчююа с!юоо~иых члепоэ ьсулямси. Д'>Каза1ЕЛЬСтЭОЛ )Кьдстяши КаКОЕ-НнбудЬ ЧаотНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОдНОРО, П сьсстемсс к . Тогла нз ро) или (9),(10),,11) получим тш ч ---К УЕЫ-.Х );Ет тсУГ е, С'~„- к'у .,' гьу " ш л угуу" ~~~ "к'ю )ьлсу угу е,, у„,сс„...т ж ~(сьс" л,,|гсь Я, с е) Ко сЕ-„х- есть решенно одноро)псод системы, поэтому ртеорема З,2) Й--т ='.5' .л « ...
с,~' 'Ль Тогда — сг-к ,яс,ч +д кч'ь «д „хл ' где у) = 3 ю с у,е, „сг- м Учитыэая (П), получки 'с 'с сс (12) Теороью дскааана. Замечание: сектор с = ~: )имеет ут координат, следоаательно, принадкшкит с -мерному'л((нойьсому пространстэу. Решения лстенм образуют сь-г-ме)эссе линейное пространство в гь -марион:рострзнство переменных.ху,„, .2,. Йсокестпо решоний лин. Иной ' дщюродссой енотами уке не образует лююяного прост)анства, так как нулеэок воктор-решение сму не прьпвдлекит. 0днако юю отличаются от лапотного ирострассства решения одно)юдноа системм только сдэигон еса иектор Я, т.е.
параллельно ему. гш ;Ьмечание: рассмотрки нексорп-строки матрицы одьсоро)ксой системы. так как любой сектор су 4у~саоменталььсой системы ршкенссй однородноп онстоин яэляется частсоси ршкеннем однородной системы, то 4уш, О, поэтомУ йу9 Е'„, Л, )., = Е', с' У,о, уь - г т.е, стронь( матркцы скстшсы ортсьгональа канторам-решениям фундаишшальнод систеьв реаенка, а следовательно, н всему пространотау ор резаний однородноа системы. Примеры. 1. Решить систему уравнений ху -='лр -~у-Зхь;, О, З.у скьс с - ~ З + ~/ Х'с есдлЗ фк =З З Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду -Р У -ЗО У -РУ -3 . -.оУ-З О у)/д"ь 3 О -З у у д б'-З" уОУ О 6-Ь уО у О У У -УЗ О "У уу ООУУ-УЗУУ УУ3 У У -/ * О О д фл,фзУЗ, Ранги матрицы сястеиы и расширеннок матрицы системы совпадают, поэтому по критерию Кронекера-Капелла система совнестна.
Разыерность пространства решений однородьюй системы ранна уь- г =+-З =у Выберем ту Д-., Д базиснымн переменньмн, т свободен пеое- Э ненной. Нмпншач ойстему уравнений по матрица ступенчатого энда д. Зсе 6' к'ь-б.юЗ= У-МОхе, у.ул,=усе уЗж;, нршкшс ее, вырюкел через с сначала.л нз последнего уравнения, затем .т, иэ второго, затем к; иэ парного: усь Ю У УУ УЗ ЛЗ= ' Уу ~У Лу, Мз=~Ы6" У вЂ”,, е УУ.~;,)-.СЪ~М=Ж л- .ы уу ,т сеŠ— — — -~~ -~ — ч -к",)+Зж -7 — у-А" М' З у'у ~Х,, УХ сг уу уу + у.у уу + е у7' уу" е' Теперь выпишем решениес Ф у Х~, Йе эибирается проьсзэольно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
