Галкин С.В. Матрицы,определители,решение систем (1988) (1095462), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В овнов дело, при транспонироваиии матрицы индексы строки и столбца переходят друг э друга, но в сумме произведений (определитазе) уяз было произведение с теми же ооынокителяии и теы же знаком ~озойство 1). Еюли переставить строки местами, то в произведениях-сллгвеыых определителя вновь будут оодвржвтьоя по одному элеиенту иэ как) й отроки кэждого отолбьщ, разница будет лишь в том, что подстановка индексов отрок будет отлячаться от иоходной переищюй ° ~г* ° - *бежишь л ° а~к: ° ю-- позиция меняет четнооть подотаиовки. При переотвнозке соседник элементов зто очевицно: воли была инвероия, то она исчезает, если ве не было, то появлявтоя. При перестановке злеыентоз через я промежуточных элементов нужно левый элемент переотавить я раз с соседними, затем один раз со зто(хвы (правым) элементом, затеи .
этот правый элемент переотазить т рвэ с посадники, чтобы он попах на то ые ивето, на которои стоял левый элемент. Итого выполняетоя нечетное число перестановок оооедних злеыентаз, каждая иэ которых меняет четнооть подстановки. В итоге четнооть подстановки иэменитоя, леыма доказана. Пдя завершения доказательства сзойотва 3 достаточно эвыетить, что во всех слагаемых определитеяя при перестановке строк изыенится знак (лемма), следовательно, изыенитоя знак определителя. Ешли элеиенты отроки ызтркцы умножить на Л , то каждое слагаеиое определителя уэеличитоя в Д раз, поэтому и воя оумыа — окрзделитель узэличитоя в Я раз (овойство В).
Если все элементы стропи предотавить в виде суммы двух слзгаэыых, то какдое олвгвеыое опрецелителя представится в виде оуыиы двух слагаеыых. Сгруппировав их. получив оуыыу двух определителей (свойство 7). В определитель диагональной матрицы произведение диагональных элеиентоз входит со знакам плюо, так как в подотановке кет инверсий, остальные слагаемые содвркат нулевые ооыножители (свойство 10).
1)!тб.1=3-У2=-', 2) ДЯ=О 3) ДД--Я!=-л, 4) !хб! д 5>В) !д-,О! б!уур!=БХ!у2!' О (ур! )Угу У'l~ !У У! (2/~-(УУ~ ОУО=О/О = ОКО =ОУО Ф Га,,=О~,, бй,.) С)юрмулируэм теореыыу: определитель проказе))~ения ь)втриц рйввн произведению их опроделктелвй. Прииер: (О э) -О !А !"-у, !8!=б, !Ад! Фо-бб =-уу,!4)(8!=(ЯЭБ -у3' 2,3. Мино ы и алгеб ические ополнения Выдвлии з слагаемых определителя элементы с -й отроки, сгруппируем слзгаэиыв, оодерквщие х);,,а, О., вынесен в этих сщ' слагаеиых а.,а, О, эа окобки общими множитвляыи и обозначу «г». (ю чии оотавшевся в скобке А,, 4 Получим борыулу рвзловеиия определйтеля по отроке ДЬ назовеы злгебраичеокиы дополнениэы злеиента а .
( Е ~' =1,2, ...л ). В слагавыое определителя с) 42 включены По поотроению вое члены определителя, оодерквщие 1ноз(иутелеи И; ° . Поэтому в дб нв могут входить слагаемые-произзедения, оодвркащуив ооиножитэлю4 какие-либо элэиенты ~ -й отроки и,~' -го столбца. диалогично кожно получить бюрыулу разложения определителя по ~', -иу отолбпу: (А (=Пг;А~ "ат А . ~а .А /' ~ ф ф ф гу ° 13 ПРимеРы: 2) аРР ах;1 .1= "", асрл1 су ру 'ГАЭМ Ли=а., 4 =-а / аа а22 аек С22а,,а =а а а ,у †.~~ 2,„,аее, алраеуад, а, ар а -а се.~ а.
а у зл .у а- "а а сетя-се~~се сея . серуеаррлал2р алреалр2 +аареатл с2 те' -а„а.. )Са Еа. а -Се,„Сея)=а...,Ау~а,„4,р а .4 ' ' сг лр ху»у А =а а. -а, аз-! !азр а ,ер ~ау, а с! „се,-ауа,л ~ ~ ~ р 1а,,з ал,,! ра а 1ауз аз~~ 1ауу ауу А -а„а -а. а;=1ал ал-'1 Мино м ° е элеыента а ' ' определителя 1А 1 называется определитель матрицы, полученной из 4 вычеркиванием с -й строки и у' -го столбца, Из прнвэденеюго виве второго примера виеэео, что Ауе" Ъ, Ауу --р,л.
Ауу - "Ьуу. ГУ =' ЛЛ:ЛР УУ =' ~ С2:л! ° „!а,, а ~алл аул ~ у 1а, а.. лй 1а мг и м~р.р е ир 'рм и яд ння Элемента А" =Г.У) РесРУ у' ,1(оказатэльотво. Пусть с рр, Ор = 1 р тогда Р...lр 141= Е ы) а "аю Е (-у) ое „, ос лр "р л змр ' ' лсс 4- АС~Л,",'.~~ ) ахи' ° ° с2 л Аерт /С...Л так как добавление единицы слева в подотановщу не меняет ее чэтнсрсть. 24 Пусть рассматривается общий случай. Ясно, что 14 1 1~ е, (, выясним знаки р"р,4 . Озэдем общий случай к сэу,у'.у, нерестов(е р р ° ляя элемента.
нкрместо а ... перестановкой отрок и отолбцов. При рс' этом налос-р' Рэз пейэстэвить ОТРоки и,У вЂ” е' Раз пэРестээить столб цм, т.э. изиенить ЭРиРк опРеделителЯ сс'.22 сесРР) с'У'- У , или раз, что все разно. Поэтому 4, : с'-/) "Урру( Пзпримор, з определителе третьего р!С(рдякэ Л Е" с, Аус -рР"2 р, 4 " (! Прррмеп. уру! У С2С2! урд(,2/С2! УрФ(3/а! =О-у) 1асэ у ~ е-р'е (;.~с! ~ чррр) (.Оаа ~=у(2 А+~' ")- Р;с 1- -~ ~-' ~ 1:.~ -..:-.
'рмррр р.р р рр р рр рентно чороз определители низэих порядков, используи формурры (хрзложения определителя по строке и столбцу, Минор зломзнтз матрицы имеет порядок ре- у . Мзкрео вычеркнуть з матрице Ю строк и О столбцов, получив минор порядка а -у .
Он явллется дополнит.ельным к минору порядка б , натрицв которого образована элемонтвми исходной матрицы, стоящиии в вмчеркнутых строках и столбцах. ртррор,р.р р ~ а * р р р- ОМ На ЭлгебРзическио дополнения соответствукщих элементов другой строки матрицы раз!а нулю. Доказатольстйса РассмотРиы матРиЦУ Л э, У котоРой совпаДают с -и и,у -я строки. Опредаяитель такой матрицы равен нулю (свойство 4!. Разлоким определитель иатрицы по „р -й строке: ауу~~2 ' ' ' а~л АУ22 =ас)Луре "а;рр4уэр ( ак~ "а, Х=.~.О„,, рт, тэк иак строки совпадают!. 2.4. Обрсетнэя матйащ Если для иэтрнцм А сущвсевует такая матрица А ~р что 44 ~ = А А:сб то матрица 4 называется Обяатиой йк матрицо 4 Рассиотрии свойства обратной матрицы. РА ~! "4 (4 и А ~ззанмнс Обратны).
2, !'422 'е П4 ) ~~=(44 ~) "(А ) ' 4 )' 3. (А% ~ В ~4 "~(ре48Ы"'ЙА х) АС4Я у)4 = 7ссА . се) 4, ясли обратная матрица суряэствует, то оыа невнрокдена, т.с.(А 122 ф б ; определитель обратной матрицы рззэн 14 ~1 = -е — . В свмом дэле, А,А-е б- 14114~-е1 -) 14 -е1- 2 1А( КЛЮЧОНИЭМ 0„., (ПРИ а„ГО) ИЛИ аг, (ПРИ 0 =0 ). ФЛН Этат этап не выполйялая, то зеоь второй столбец нулевой. Пропадя аналогичные операции, приведем матрицу к ступенчатому виду. Мяи во ьсох столбцах будем последовательно получать нулевые элементы, та ступенчатая матрица будет нулевой.
Замечание: о целях упрощения эмиладок при аналитическом приведе- нии матрицы к ступенчатому виду укобно умножать отроки матрицы нз такоо число, чтобы з отроках не было дробей. Например, / 7«3«Х./Ф 0 Х У у "«О б 0 О 0 с' 0 (!!!)-( В-В9- -В,'"/-(!!ь::) Й~) «ОХ04 тО ОХ04 ч~ «Р «О ХО 4 3 0 «ОХЗ«0о 0003-3-УР 003 03 о О «ОУО«00 0030 3 30 004 03 о 0 «О «О «О 00-40-3 -3 О 0 3 -3 -3 (' «ОХО4г О «ОХО4."О 00303 об 00303 20 0000 3 УО 0003-3-Уг ООЗ ЗГГ ООООЯЯО Метод приведения матрицы к отупенчатоиу виду злементарныыи преабрававанияин отрок (метод элементарных преобразований) попользуется в одном из наиболее экономнык ыетодов решения систем линейных алгебраическик уравнений на ЗВМ - методе Гауооа, Вообще говоря, матрица может бмть приведена к такому ступенчатоиу виду, в котором ненулевые элементы строк, абраэухщие отупеньки, равнм единицам, а воа элементы матрицы, регчалокенные в атолбцзх выше этих элементов, равнм нулю.
Для этого доотаточно„ перейдя к отупенчатаму виду описанным выше мотодом, сделать алвдующне элементарнме преобразования: разделить асе отроки на парные ненулевые элементы (тогда на местах этик элементов будут стоять единицы)[ из какдой строки матрицы внчеоть линейнув комбинацию строк (в которых стоят элементм - единицы, обраэукщие оту1ю пеньки) а козфбициентаии, разнмчи элементу донной строки, ого„ щеку з строке над единицей. (голи иатрица иезырондена, то п результате таких преобразований она приведется к диагональному виду - единич~вй матрице.
Заметим, что для того, чтобы привести невыроиденнув матрицу к единичной, достаточно )еавиить ее на обратную. Следовательно, алиев~в~из вмвв процесс эквивалентен умно- кению матрицы на обратную. Поэтому, если волть единичную матрицу и проводить нод ней те же элементарные преобразования, то иы увиоким ее на матрицу л . Отсюда зытоиает метод нвхокдении оорат-/ ной матрицы с паиащьв элементарных преобразований а'зрак: берут дзе матрицм ( Л и вциничнув)„ приводят Л элементарными прообразованиями стран и единичной (если « - незыролдониая, то зто возыокно), в результате единичная матрица перейдет в « «, Пруер.
~ то(«001 ««4 б(«06П «4 б («Опд «Ч 0)«.,ф~-уи( "О "(0«% 1 Р'9~" О/ Ф '" 1""/ 'ЛЧ=' '' '"": «04 00 «4 «О «О «/ (О 0 ««~10 .'.«/ ~С0 « ~, б; „,",,'/ Р 0 0(0 4««« -4«««) ««О 4««ф«) ф ~ «I ~Ф-д«44/ чъ « ~~Ф -,п~.„ (00 « ~д «««; .,««/ ~„Д- . ( 2.6. Ранг мат и отыскание нга мат н~ порядку ее минора, отличного от нуля, Минор порядка Г: ф4 нази- ~б~ р ~1 Прь., р; рго) 04 Р (=с~, («г~~ ,так как(ю4;,' 0 а~ „,'-(„-~О- один из бь(эйе вх минароь матрицы Из геометрического акмола определителя видно, что ранг маг(иаы равен размерности ариентироввннога объема, построенного на ьекгорах-столбцах яли векторах-строках матрицы. Под разиерноотьв ориентированного объема слецует понимать разиернооть линейного пространства линейных комбинаций вектороз-стоябцои или вектороиотрок матрицм. Из атил раосукдений следуот, что ранг иатрицы равен ыаксимальному количеству линейно незавиоииых строк илк отолбцов матрицы.
Это ооотавляет оодериание теоремы а ранге матрицы, однако теореиу надо доказыьвть строго, тек как понятие 'Ъриентчрованнмй объеи" чародеям~о неатрога, 1й рр и рр6 О/ХН ООУ З 000 У УРЗФ бб О/ ОХ ООРОУ ля ОООО ОЗ 0 0 0 0 О рассмотрим минор ри/ катрина иинора РК„ будет диагональной с нвнулвзыии элементами иа диагонали, следовательно,*"' м0 . 0днака любой минор болев высокого порядка будет нулззыч, так как в него входит нулевая отрока. 20 Рассмотрим иетодм отыскания ранга матрицы: метод окакмллюлих миноров и метод элементарных преобразований. и жи* * иии.и„, и,,р ; -го порядка матрицы, отличный от нуля.
Это означает, что хмзрный ориентированный объем отличен от нулл, а фл не ыеньшв т . Рассмотриы эсе минори Гь") -го порядке, содержащие минор рит (окаймляющие его). Коли хоти бы один иэ них отличен от нуля, то ринг,фя не иеньшв й у и можно продолжить процесс окакыления. Пусть все окашиляшшив миноры равны нулю, тогда Рр А = х . В свмом доле„ пусзь з матрица содерчится минор порядка выше т . Тогда, окаймляя и"/ строками этого минора, получим пулевые миноры. Это значит, что присоединение к М. любок строки этого иинора не может повысить размерность объема р» , т.в, размерность пространстьз строк д . Следовательно, в матпицв не может существовать минор порядка выше т , отличный от нуля, тяк как все ввктормстроки такого минора должны лежать в линейном пространстве линеяньш коибннаций строк минора и"Г..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
