Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 65
Текст из файла (страница 65)
С увеличением напряжения и все сильнее проявляется нелинейность устройства, обусловленная величиной из. Методов, позволяющих получить точное решение нелинейного уравнения (9.38), не существует. Имеется, однако, возможность получения очень простого приближенного решения, обеспечивающего вполне достаточную для практики точность при использовании высокодобротного колебательного контура. Известно, что для существенного изменения амплитуды и, следовательно, запасенной в таком контуре энергии требуется время, измеряемое значительным числом периодов колебания. Поэтому можно исходить из допущения о медленном изменении амплитуды при запуске генератора.
Это дает основание отыскивать решение нелинейного уравнения (9.38) в форме высокочастотного колебания и (т) = У (т) сов т. Итак, для отыскания приближенного решения уравнения (9.38) остается найти только функцию У (т), т. е. огибающую амплитуд колебания. Частота колебания просто приравнивается оз = 1ф ЕС, а начальная фаза, которая в решении (9.39) опущена, может быть принята любой в зависимости от начальных условий запуска генератора'. После подстановки (9.39) в (9.38) делается ряд упрощений, основанных иа отбрасывании слагаемых высших порядков малости.
Во-первых, условие медленности функции У (1) позволяет пренебречь второй производной этой функции. Во-вторых, высокая избирательность контура позволяет пренебречь слагаемыми вида соз Зт = соз Зозой получающимися при возведении в куб соэ т. В результате имеем следующее уравнение для квадрата огибающей У (т): — — в(Уз — — ) =-О. (9.40) Стационарная амплитуда У„определяется сразу, достаточно приравнять нулю производную от Уз. Таким образом, Уст — Уст/4 =О, (9.41) откуда У„= 2. Решив уравнение (9.40) и совершив переход от т и и к первоначальным переменным 1 и и,„, придем к окончательному выражению для мгновенного значения напряжения: (9.42) 284 з В действительности фаза, а следовательно, и частота колебания в процессе установления являются функцией времени, для определения поправки к частоте необходимо находить второе или даже более высокие приближения.
«7«к 4 8 Рис. 9.!8. Нарастание огибаюцгеа авто- колебания при различных начальных ус- ловиях Рис. 9.!7. Процесс установления коле. банна в автогенераторе где У,„(0) и 0„— начальные амплитуда и фаза напряжения на контуре, зависящие от условий запуска автогенератора. Как правило, (/„„,г(l,„(0) » 1. Поэтому при малых значениях 2„„(се! знаменатель / 1, ' «««г 11 е — з!и«к!' !7«к ет -!в«к!' и выражение (9.42) принимает вид и,к(!! — У,„(0) е!" Р соз(о«в!+Ое), (9,43) совпадающий с видом выражения (9.10), выведенного для линейного режима (при малых амплитудах).
При ! — с (стационарный режим) выражение (9.42) переходит в и„„(7) = и,„„соз (ю,1+ Е,). (9,44) Ограничение амплитуд, обусловленное введением кубического члена и аппроксимацию вольт-амперной характеристики (9.33), иллюстрируется рис. 9.17, Характер изменения огибающей У,„ (1) !У,„ „ при нескольких значениях параметра и = У,„ „/У„ (О) показан на рис. 9.18. Из выражения (9.42) и рйс.
9.18 видно, что время установления стационарной амплитуды существенно зависит от начальной амплитуды, т. е. от начальных условий запуска. Это имеет важное значение для генераторов, работакнцих в импульсном режиме, В заключение отметим, что для удовлетво(зительного описания процесса установления колебаний при жестком режиме самовозбуждення требуется использование полинома (8.8) с учетом по крайней мере еще и пятой степени. 9.7. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ Под фазовой плоскостью подразумевается плоскость, каждая точка которой однозначно определяет состояние (фазу) системы. Так как плоскость обладает двумя измерениями, то ясно, что метод фазовой плоскости применим к анализу систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка, Состояние механической системы полностью определяется заданием /' 288 координаты (перемещение) и скорости движения. Для электрической системы должны быть заданы две аналогичные переменные, например заряд емкости (или напряжение) и ток.
Основным достоинством метода фазовой плоскости является пригодность его для анализа как линейных, так н нелинейных систем. Некоторые важные свойства нелинейных систем, которые невозможно или затруднительно исследовать аналитически, поддаются истолкованию и качественному исследованию с помощью графоаналитического построения на фазовой плоскости.
Суть этого метода проще всего объяснить на примере линейной системы (обычного колебательного контура), описываемой уравнением х + 2ах+ «оо х = О, (9,45) в которой под х можно подразумевать, например, заряд конденсатора. Уравнение (9.45) может быть записано в виде системы двух уравнений первого порядка х = — =у, х= — = — (2ау+ «вох). ох ' еу д« * ш (9.46) Таким образом, если х — заряд то у — ток в контуре. Разделив второе из этих уравнений на первое, получим уравнение не содержащее в явной форме время й <у 2ау+ ма«х (9.47) Входящие в уравнение (9.47) две переменные х и у = х можно рассматривать как координаты изображающей (или представляющей) точки на плоскости х, у.
Тогда уравнение (9.47) является дифференциальным уравнением движения изображающей точки на фазовой плоскости х, у. Если найти решение уравнения (9.47) у = 7' (х, А), где А — произвольная постоянная, определяемая начальными условиями х„у,, то получим семейство кривых, являющихся интегральными по отношению к исходному уравнению (9.45). Функцию у = 7' (х, А) иногда называют первым интегралом уравнения (9.45), так как у = х.
На фазовой плоскости решение у = ( (х, А) образует семейство ф а з ов ы х т р а е к т о р и й изображающей точки, соответствующих различным фиксированным значениям А, т. е. различным начальным условиям х„ у,. Так как при заданных начальных условиях уравнение (9.45), и соответственно (9.47) имеют единственное решение, то каждой паре координат х, у отвечает одна, и только одна, интегральная кривая. Иными словами, вся фазовая плоскость покрыта семейством непересекающихся интегральных кривых (фазовых траекторий). Исключение из этого правила составляюз точки, соответствующие состоянию равновесия системы — устойчивого или неустойчивого.
В случае линейного уравнения фазовая траектория легко определяется с помощью уравнения типа (9А7). В более сложном случае нелинейного уравнения это построение выполняется с помощью м е т о д а и з о к л и н. Термин <изоклина» эквивалентен понятию «кривая равного наклона».
Изоклина представляет собой геометрическое место точек фазовой плоскости, в которых фазовые траектории имеют касательные с заданным (фиксированным) угловым коэффициентом й. В частности, в уравнении (9.47) левая часть есть угловой коэффициент ~«. Приравнивая эту часть заданному значению К получаем й = — (2ау+ ыо х)уу, откуда приходим к следующему уравнению изоклин: О>! у= — — 'х. (9.48) 2>х+ /> При постоянных значениях й это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через начало координат. Можно отметить следующие свойства фазовых траекторий: а) в верхней полуплоскости (у ) 0) изображающая точка движется только вправо, а в нижней — только влево.
Действительно, поскольку у = Их/>2/, а время / только возрастает, то положительность у означает возрастание и абсциссы х, Соответственно, если у 0 (нижняя полуплоскость), то изменение х должно быть отрицательным, т. е. изображающая точка движется влево (рис. 9.!9): б) интегральные кривые пересекают ось абсцисс (у = 0) только под прямым углом. Действительно, из уравнения (9.47), представляющего собой уравнение углового коэффициента касательной к интегральной кривой в точке х, у, следует, что при у = Π— =-~-оз (+со при х(0 и — со при х 0). >/у >/х Основываясь на указанных свойствах фазовых траекторий, можно по- строить фазовые портреты системы, описываемой уравнением (9.45), при различных соотношениях между я и а>,.
Предварительно полезно выяснить, нет лн среди семейства изоклин, определяемых выражением (9.48),такой прямой, которая является одновре- менно и интегральной кривой исходного уравнения (9.45), Такая прямая (если она имеется) должна удовлетворять уравнению (9.48) и, кроме того, условию у = йх + С. Отбрасывая постоянную С, приходим к двум условиям ы> у= — " х и у=/гх, 2>х ->-/> нз которых вытекает равенство й = — о4/(2а + й) и формула й,,= — а ~ ) а' — ь>>. (9.49) Но й не может быть комплексной или мнимой величиной. Следовательно, искомая изоклина существует только при а) ь>„т.
е. в случае апериодического контура; при этом в пучке изоклин, определяемых выражением (9.48), имеются две интегральные кривые (рис. 9.20); у = й,х — прямая С, у = /г,х — прямая //. Кроме того, известна изоклина горизонтальных касательных, соответ- ствующая й = 0 (см. (9.48). и> у= — — ' х — прямая А на рис. 9.20. 2а (9.50) 287 Этн прямые, образующие «каркаю> фазового портрета, в сочетании с условиями непересекаемости фазовых траекторий полностью определяют структуру фазового портрета, изображенного на рис.
9.20. Главной особенностью этого портрета является то, что при любых начальных условиях изображающая точка движется к началу координат. Таким образом, в рассматриваемом случае (а/ь>, ) !) точка х = О, у = 0 является точкой устойчивого равновесия системы. Эта точка называется особой точкой типа устойчивого узла. Обратимся к случаю 0 ( и/е>, ~ ! (колебательная система с затуханием). В соответствии с условием (9.49) изоклины'С и 0 отсутствуют. Каркас фазового портрета определяется только прямой А и условием пересечения оси х под прямыми углами.
При сс/юа ) 0 угловой коэффициент этой прямой в соответствии с уравнением (9,50) отрицателен. Соответствующий этому случаю фазовый портрет, представляющий собой скручивающуюся к началу координат спираль, изображен на рис. 9.21. Из любого начального положения изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, являющемуся точкой устойчивого равновесия. Эта точка называется особой точкой типа у с т о й ч и в о г о ф о к у с а. Рассмотрим случай — 1 < а/оза ( 0 (колебательная система с инкрементом).
Фазовый портрет отличается от показанного на рис. 9.21 лишь тем, что спираль раскручивается и изображающая точка удаляется от начала координат. Точка х = О, у =- 0 является особой точкой типа н е у с т о й ч ив о г о ф о к у с а. Применительно к рассматриваемому в следующем параграфе фазовому портрету автогенератора особый интерес приобретает случай а = О, когда уравнение (9.45) вырождается в уравнение гармонического колебания х+оза х= О, (9.51) решение которого, как известно, имеет вид х=Яз(п(гое(+гр), у=х =озаЯсоэ(ю,/ (- гр).
(9.52) Здесь Я вЂ” амплитуда заряда конденсатора контура. Уравнение фазовой траектории (9.47) при а = 0 пу х — = — гоо— г!з д -- уравнение с разделяющимися переменными, которое легко интегрируется; ус(у + гоз хг(х 0 уа + ю3 хз созп1 С (9.53) Подставляя вместо х и у выражения (9.52), получаем о!а Я~ со аз (гоа (+ Ч) + ю о Я' з)пз (юа ! + гр ! = го о !Р = С Разделив обе части уравнения (9.54) на С, придем к выражению уз/ю~ Оз -1- хз/Яз = 1, (9.54) представляющему собой уравнение эллипса с горизонтальной полуосью !',! и вертикальной полуосью юД (рис. 9.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
