Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Сопоставление этого выражения с (8.99) приводит к равенству аз =- Ое — Оз— — и/2 + Чса, откуда вытекают следующие формулы для токов: ) (1) — Ь сос Е Е саз (сох)+Π— ср,), 1ыз (1) — — Ь, ыз Ее Ес соз (ыз1+йз — ср,), '., (1) = Ь. ы. Е, Е.
со (ы.1+ Е, +,р ). Все три тока сдвинуты относительно соответствующих ЭДС ет (1), е, (1) н ее (1) на угол что н определяет средние мощности. 263 Р,= — '! Ь«ы, Е,Е Е»со« р„Р«, = — '7«Ь«ы«Е, Е,Е,сох ~р„ (8.102) Ра«='!«Ь«<о, Е,Е,Е,соз р,. В этих выражениях Ч~, — аргумент комплексного сопротивления У» (1«а«). При малых расстройках контура соз у, близок е единице. Смысл отрицательных мощностей Р, и Р, заключается в том, что соответствующие источники на частотах ы, и «««не отдают, а потребляют энергию.
Положительное же значение Р„, указывает на то, что источник е«(1) отдает энергию во внешнюю цепь. Суммарная мощность, выделяемая в нелинейном реактивном элементе, Рмо + Рм ~ + Р « = ~ I» Ь«(ы« — «о« — о~«) Е, Е, Е„сов ~р, =. О, (8.103) поскольку в« = «а, + «э». Этот результат находится в полном соответствии с принятым допущением отсутствия потерь в емкости. Итак, в цепи, содержащей энергоемкий нелинейный элемент, возможна перекачка энергии от одного генератора к другому. Это указывает на возможность осуществления пребразования частоты сигнала одновременно с «накачкой» энергией от вспомогательного генератора. Из выражений (8,102) вытекают следующие пропорции: Р~ Р «Р«« (8.104) м« м» м« 8.17. ТЕОРЕМА МЭНЛИ вЂ” РОУ Важные соотношения (8.!04), выведенные для квадратичной вольткулонной характеристики, можно распространить и на более сильную нелинейность, когда в спектре тока, протекающего через нелинейную емкость С„, существует большее число составляющих с частотами вида ы = тв, + пы«(т и и — целые числа, которые в отличие от з 8.4 могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
При этом сохраняется условие 1т~ + )и) ( й, где й — степень полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику). Известна теорема Мэнли — -Роу, устанавливающая энергетические соотношения в спектре колебания в цепи, содержащей реактивную нелинейность (емкость или индуктивность) при произвольном порядке нелинейности и произвольном числе генераторов. Модель цепи, используемая при выводе теоремы Мэнли — Роу, представлена на рис. 8.50, б (для двух генераторов). Число параллельных ветвей равно числу составляющих в спектре тока, протекающего через С„„.
Каждая ветвь содержит идеальный фильтр, пропускающий только колебание с соответствующей частотой. Идеальный фильтр можно представлять в виде последовательного соединения элементов Е и С, отвечающих условию 1!)~ ЕС = = л««э, -, 'лы«, «Пустые» ветви, не содержащие сопротивлений Я, замыкают накоротко внешнюю цепь конденсатора С„„для токов соответствующей частоты. Таким образом, на С„воздействуют помимо напряжений генераторов только напряжения, создаваемые токами комбинационных частот в соответствующих нагруженных ветвях.
Замечаем, что при включении 2 только в одну ветвь, соответствующую частоте ы« — а, = а«(при и = — 1, и = 1), получается модель цепи, эквивалентная ранее рассмотренной последовательной схеме с двумя генераторами и одним сопротивлением ь» (1«а») (см. рис. 8.50, а). 264 Прежде чем давать общую формулировку теоремы, выведем уравнения Мэнли — Роу для случая, когда нагружена всего лишь одна ветвь, содержащая фильтр, пропускающий частоту ~„„= т~, + п~о, Основываясь на законе сохранения энергии, исходим из условия, что сумма средних мощностей, поступающих в элемент С„л и отбираемых от него, равна нулю (конденсатор С, свободен от потерь): Р,+Р,+Р л=О.
(8. 105) Приведенное ранее выражение (8.103) иллюстрирует это равенство. Выразим мощности Р,, Р, и Р„через энергию, выделяемую за один период соответственно То, Т, и Т„, „; з з, Э~ „ = — =Э,)„Р,= — =Э,1,. Ро,„===Э „( г,+„!) о 1 Ю,л Тогда равенство (8.105) можно записать в форме Эо)о+Э16+Э,.л И1+п)о) =11(Э1-1-тЭм, )+)о(Эо+пЭ„„„) =О. Поскольку частоты ), и )о могут принимать любые значения, то это равенство возможно, только если каждое слагаемое равно нулю по отдельности: Э, + тЭ„, „= О, Э, + пЭ„, „= О, Переходя от энергии к мощности, получаем О и, тР й т1,-1-л!о ои ло,+л о ло лпт, л ло л! т. + + гл)~+о!о ооо лло1+лмо В общем случае при произвольном числе нагруженных ветвей приведенные уравнения должны быть просуммированы по всем возможным при заданной нелинейности значениям т и п, что приводит к общей формулировке теоремы Мэнли — Роу: — 0 ~в~ о О тоо,+лмо л=О л=- л у тРлл ало|-Г лм о л~ О о=в (8.106) где оо, и ыо — частоты генераторов, возбуждающих систему; Р „— мощность колебания частоты тоо, + про; целые числа т и п определяют порядок комбинационного колебания.
Выражения (8.106) можно распространить на любые реактивности— емкостные и индуктивные — при условии отсутствия гистерезиса. При рассмотрении систем с нелинейностью второго порядка вычисление сумм в (8.106) не связано с какими-либо трудностями. Поясним применение выражений (8.!06) на примере рассмотренной ранее цепи (см. рис. 8.50, а), возбуждаемой двумя генераторами иа частотах оо, и ыо. Кроме этих частот на пассивном элементе 7о (ооо) создается одно комбинационное колебание с резонасной частотой ыо = ы„ — о,. В соответствии с обозначениями выражений (8.106) частоту ы, следует рассматривать как значение знаменателя тоо, -'- поо, при т = 1 и и = О, а мощность на этой частоте Рл, = Р,, Частоте ооо соответствуют индексы суммирования т = О, и =! и мощность Р.ч = Рьа Наконец, частоте о>, = <оо — оч соответствуют индексы т = — !, и = ! и мощность Роь = .=Р,„...=Р гл Тогда внутреняя сумма в первом равенстве (8.106) дает с '~ч спРт о тРт тР„,о ссс Р т ососс+то тм, — мо тсо, +О мс, тсс, +м„ тРт с Рт о тРос,с + тосс соо сос тсос +соо Суммируя полученное выражение по т, получаем первое равенство (8.106) у т т,—, + Рто + тРт,, ) /0+ Ро,о + )+ с тР т о тосс — осо осс ттс+мо мс + ' + + ' — ' + — 0 сс осс осо осс сос+соо / осс — осо сос (Слагаемые, содержащие Ро о и Рс и отброшены.) Таким образом, Рс с-о,/( — (соо — сос)! + Рос/осс = 0 или Рос-сос/(соо — сос) = Рт,/соо = Ро, /сос.
Аналогичным образом второе равенство в (8,106) дает с с'сс/ 2 о'о' сОО' Итак„ получаем пропорции Рос, /со, = Р„,/соо =. — Рос,/со» совпадающие с выражением (8.104). Из проведенного анализа видно, что с помощью нелинейной емкости можно осуществить преобразование спектра, сопровождающееся перекачкой энергии из одного источника в другой. Так, если сос — частота принимаемого сигнала, а ос, — частота гетеродина, то можно выделить комбинационную частоту соо = соо — осс с одновременным усилением мощности колебания на этой частоте. Напомним, что при использовании резистивного нелинейного элемента преобразование частоты сигнала (см. з 8.11) не сопровождается перекачкой энергии от гетеродина.
Приведенные выше соотношения будут использованы в 5!0.7 при анализе работы параметрического усилителя. 8.18, МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПО ЗАДАННОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОМУ УРАВНЕНИЮ В предыдущих параграфах настоящей главы изучалось воздействие сигналов на нелинейные элементы — безынерционные или энергоемкие— с последующим выделением полезных спектральных составляющих с помощью избирательной линейной цепи (см. функциональные схемы на рис.
8.!3 и 8.14). В ряде задач желательно проведение прямого анализа, основанного на интегрировании уравнения цепи, содержащей нелинейный элемент. Математическое уравнение, описывасощее систему, моделируется на ЭВМ вЂ” аналоговой или цифровой. Сначала строится аналоговая структурная схема моделирования, Дискретизацией сигнала и дифференциального зы„® Рис. 8.81. Линейный че- тырехполюсник Рнс. 8.82. Структурная схема молелнровання уравне. ння (8.109) уравнения системы результаты аналогового моделирования нетрудно затем преобразовать в алгоритм моделирования на цифровой ЭВМ.
Моделирование дифференциального уравнения проиллюстрируем сначала на примере линейной цепи, показанной на рис. 8.51. Напряжение (в операторной форме) на выходе цепи р (р) 1)СР Л (Р) бртг-1 ()Ср (Ср'+гСр-1-1 Перепишем это выражение в форме Е (р) = 7 Ср'и (р)+ гсри (р)+ и(р). (8.107) Учитывая, что умножение [7 (р) на р эквивалентно дифференцированию и (1), а умножение на р' эквивалентно двухкратному дифференцированию, приходим к следующему дифференциальному уравнению: е(Г)=ЕС -(-гС вЂ” +и(1) =ЕСи+гСи+и.
дз и (0 г(и (0 Ир ш (8.108) Решим это уравнение относительно наивысшей производной: ВСи = е — гСи — и. (8, 109) Уравнению (8.109) соответствует схема на рис. 8.52. Основными элементами этой схемы являются интеграторы на операционных усилителях, сумматоры и умножители на число. Выходы интеграторов и и и характеризуют состояние системы в рассматриваемый момент времени г с учетом начальных условий, т. е.
состояния в момент времени 1,, а также с учетом действия входного сигнала на интервале от (е до г'. В этом смысле выходы интеграторов и н и называют и е р е м е н н ы м и с о с т о я н и я, а основанный на них способ интегрирования дифференциальных уравнений называют м е т о д о м и е р е м е н н ы х с о с т о я н и я' (МПС). По существу, представленное на рис. 8.52 устройство, основанное на применении интеграторов, решает заданное дифференциальное уравнение (8.!08) и определяет реакцию цепи (см.
рис. 8.51) на воздействие е (г). Г[ринцип построения схемы, описанный выше, можно применить и для моделирования нелинейной системы. В качестве иллюстрации построим ' Этот метод получил особенно широкое распространение при анализе линейных систем со многими входами н выходами, когда аффективно применение матричного ис. числения н векторного анализа для операций с большим числом переменных, входящих в исследуемые задачи [8!.
В лаином случае нас будет интересовать применение МПС к нелинейным задачам. [См, Деруссо П., Рой Р., Клоун Ч, Пространство состояний в теории управления; Пер. с англ. — Мл Наука, 1970.[ 267 схему, соответствующую нелинейному дифференциальному уравнению (8.81), которое запишем в форме Е Ч= — соэхоу — 2а(у — саед+Ь Ва, ( а Схема представлена на рис. 8,53.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
