Фомин Н.Н., Буга Н.Н., Головин О.В. и др. Радиоприемные устройства. Под ред. Н.Н.Фомина (2007) (1095358), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Пример. А = 0,85. Из формулы Герона при у„= 0,85 получим у~ = 0,925; уз = 0,92195945; уз = 0,92195445. Точное значение з/0,85 = 0,92195444. Как видно из примера, уже на третьем шаге итерации формула Герона дает практически ~очный результат. Однако в ней есть операция деления, реализация которой затруднительна в процессорах цифровой обработки сигналов. глАвлт 324 Для диапазона значений С<А < 1 можно воспользоваться другой итерационной формулой. Для этого выражение /А должно быть представлено в виде /А = ~а+ Ь. Тогда 2 ! Нулевое прибли>кениеу„определяется из формул Г!онселе а)и!-ь!3!Ь) !а!>/Ь/ а)Ь/+Р/и/ !а!<!Ь!, где и = 0,96046, !3 = 0,39783. Пример. А = 0,85 = 0,6+ 0,25.
Тогда уя = 0,6757335; у~ = 0,8724256; у> = 0,916862; у> = 0,921514! у4 = 0,921922; у> = 0,921952; уь = 0,9219542; у> = 0,92195443. Точ|юс значение з/0,85 = 0,92195444. Как видно из этого примера, практически точный результат получился лишь на седьмом шаге итерации. более экономного по программным затратам вычисления корпя квадратного можно достичь, если представить отрезок функции у --- /х в виде степенного полинома 2 > > я у== и„+их+а,х +и,х е...= 2.и,,х .
>=О (7.25) у = а„+ а,х+х(1-х). Если задать диапазон изменения числа х в интервале 0,1 < т < 0.4, то полученные методом наименьших квадратов коэффициенты и„= 0,1736; а, = 0,5491. Расчеты показывают, что наибольшая относительная погрешность вычисления функции у=,/х по этой формуле в интервале изменения х от О,! до 0,4 не превышает 1,33%.
С расширением Коэффициенты полинома можно найти различными методами (методом наименьших квадратов, разложением по биному Ньютона, методом экономизации по Чебышеву и т.д.). Представим функцию у =,!х полиномом второго порядка в удобном для вычислений на процессоре виде Радиоприемные устройства с цифровой обработкой сигналов 325 интервала изменения х погрешность возрастает.
Для ее уменьшения можно увеличивать степень полинома или применить процедуру вычислений с условными переходами. Идея ее состоит в следующем. Сравнительно небольшой по изменению аргумента х1х, <х <х,) отрезок функции у = тГх предо~валяется степенным полиномом с найденными каким-либо способом коэффициентами аь Затем входное число х сравнивается с числами х, и х,, причем х>/х, < 2л, где и = 1, 2, и определяется положение числа х на числовой оси относительно этих чисел.
Далее число х умножается на ~акое известное число 2*", чтобы выполнилось условие х~ < 2*их < х>, (7.26) где лих> — границы изменения аргумента функции у = /х, представленной полиномом (7.25). После этого вычисляется значение у при аргументе 2 "л и результат умно>кается на число 2"", так как у=э)'"х 2" =ъ1хз Поясним это примером. Пусть х, = 0,25; х = 0,5, а входное число х = 0,01. Чтобы произведение 2 "х попало в интервал 0,25...0,50, умномгим число х = 0,01 на 2' и получим новое значение аргумента х = 0,01 2 = 0,32. Затем при х = 0,32 вычислим у =- 0,5669 и, умножив его на число 2 " = = 0,1767767, получим 4т'2 результат 0,1002. Точное значение )001= О,1 лишь на 0,2% отличается от полученного результата.
На рис. 7.15 приведена структурная схема одного из возмо>к- ных алгоритмов приблимгенного вычисления квадратного корня у=,/х при изменении х от 0 до 1. т = по 'хга, а амй ан= 3,4003.!О ~, а,=50280 10 5 аг=. 5б2аа 10 ' Рис. 7Л5 ГЛАВА 7 326 7.3.5 ЦИФРОВЫЕ АМПЛИТУДНЫЕ ОГРАНИЧИТЕЛИ Назначение цифровых амплитудных ограничителей (АО) состоит в обеспечении стабильности амплитуды цифрового сигнала на их выходе при изменяющейся амплитуде цифрового сигнала на входе АО. На рис. 7.16 приведена укрупненная структурная схема цифрового АО. В ее состав входят преобразователь Гильберта (ПГ) на входе, блок вычисления квадрата амплитуды А, блок вь- "ю А числения чисел ' = —" и два перемножителя.
А Рис. 7ЛВ Если на вход АО поступают выборки из сигнала х(л), то на выходах ПГ получим квадратурные компоненты из сигналах,(п) = =А(п) соз пВ и х,(л) =А(п) гйп пВ. В блоке вычисления квадрата амплитуды выполняются операции по формуле х,(л) ь х,(п) =А'(л), в результате чего получаем квадрат амплитуды входного сигнала. Далее числа А (п) поступа- 2 ют в блок вычисления чисел у(п) =А,! /А'(22), где Ас — заданная амплитуда на выходе АО. Как видим. в этом блоке необходимо выполнить операции извлечения квадратного корня и деления. Точное выполнение этих операций требует больших программных затрат.
Для их уменьшения мо2кно воспользоваться приближенным вычислением функции у=Ас!./х по описанному в разделе 7.3 А методу. Для этого предо~валяют функцию у =Ас2'/х полиномом (7.25) при заданном изменении аргумента х в пределах х, < х < хз и фиксированном значении А„. Затем входное число х умнозкается на известное число 2'", чтобы выполнилось условие (7.26). После этого по (7.25) вычисляется значение у при аргументе 2-""х и получен- Радиолриемные устройства с цифровой обработкой сигналов 327 г =(по+ 24п,+ 2пр)); по= 064934, и, = — 0,77467; пг = 0,76653 Рис.
7.17 ный результат умножается на число 2*'"'. Описанная процедура вычислений поясняется формулой — г (7.27) На рис. 7.17 приведена структурная схема одного из возможных алгоритмов приближенного вычисления функции (7.27) А,г',)х при А0=1. После умножения выборок х„(л) и х,(л) на числа у(л) =Ае)А(л) ПОЛуЧаЮтея ВЫбОрКИ Х„,(п) и Х (П)у(Л) =Ап СО5 Л9, Х„(П) = Х (Л)у(п) = =Апв(п п9, принадлежащие квадратурным колебаниям со стабильной амплитудой Ап. Для повышения точности стабилизации амплитуды А, сигнала можно увеличивать степень полинома в (7.25), сужать диапазон изменения аргумента х, — .
'хт и использовать при этом больше условных переходов в процедуре вычисления функции (7.27). Другой путь повышения точности АΠ— применение каскадного соединения нескольких амплитудных ограничителей. 7.3.б. ЦИФРОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ Цифровые генераторы формируют выборки через период Т,=17г, из колебаний определенной формы — пилообразных, треугольных, трапецеидальных, прямоугольных, синусоидальных и т.д. Эти генераторы широко применяют в детекторах различных сигналов, в модуля~орах, в системах фазовой автоподстройки частоты, в системах поиска и т.д. Кроме того, при квадратурной обработке сигналов необходимы генераторы, формирующие выборки из косинусной и синусной компонент гармонических колебаний. Такие генераторы называют обычно косинусно-синусными генераторами (КСГ). Ва7кными характеристиками таких генераторов ГЛАВА 7 328 Рис.
719 являются чистота спектра формируемых ими колебаний, погрешности квадратурных составляющих и линейность модуляционной характеристики. Вначале рассмотрим наиболее простой в реализации на вычислителе цифровой генератор выборок из пилообразных колебаний. На базе этого генератора строят генераторы других форм колебаний. Формирование выборок из пилообразных колебаний цифровым способом осуществляется по структурной схеме реализации алгоритма работы генератора пилообразных колебаний, изображенной на рис. 7.18. Этот генератор работает по следующим разностным уравнениям: г(л + 1) = г(п) + ао при г(л) < М; г(л + 1) = г(л) + ап — 2М при г(л) > М, (7.28) где М вЂ” модуль суммирования; ао — коэффициент, задающий частоту пилообразных колебаний.
На рис. 7.19 приведены выборки г(л) из пилообразного колебания. Рис. 7.19 Радиоприемные устройства с цифровой обработкой сигналов 329 Из рисунка видно, что период пилы определяется из соотношения Т, = — ты, 2М (7.29) пп откуда получим формулу, связывающую ап с частотой Г„= 1)Т„пилообразного колебания (7.30) Р, Как видно из рис. 7.18 и формулы (7.28), основу генератора пилы составляет накапливающий сумматор по модулю М. При реализации этого генератора программно по (7.28) следуе~ задавать модуль суммирования М, например М= 0,5 или М= 1. Однако в реальных вычислителях из-за ограниченного числа разрядов возникает переполнение разрядной сетки, поэтому в них условный переход в программе можно опустить.
В этом случае число М определяется наибольшим операндом, представляемым в вычислителе с фиксированной запятой, и сброс от+Мдо — Мбудет происходить автоматически при переполнении в аккумуляторе вычислителя. Теперь рассмотрим управляемый по частоте косинусносинусный генератор (УКСГ) на основе генератора пилообразных колебаний. Структурная схема такого генератора приведена на рис. 7.20, а на рис. 7.21 — временные диаграммы, поясняющие его работу. Исходное пилообразное колебание 2(п + 1) формируешься по разностным уравнениям (7.28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
