Фомин Н.Н., Буга Н.Н., Головин О.В. и др. Радиоприемные устройства. Под ред. Н.Н.Фомина (2007) (1095358), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Для нерекурсивного фильтра второго порядка с коэффициентами В, = 1 и Вси 0 имеем 2Аг= 2, Аг=!, тогда из (7.16), (7.17) и (7.18) получим К( 70) = (В, + 2 соя 0) е ", К(0) =1В + 2 сов О ~, гр(0) =агс18 [18( — 0)). Вс = — 2 сов Ок. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров высокого порядка по заданным требованиям к АЧХ при линейной ФЧХ производится методом Фурье с применением оконных функций, методом наименьших квадратов и с использованием алгоритма Ремеза [14).
Рекурсивными называются фильтры с обратной связью (см. рис. 77), работа которых задается разностным уравнением лг, и: у(п) =;> Ви х(л — и) — ~'Аи у(л — т). и=о к =С Здесь Ви — коэффициенты нерекурсивной части фильтра; Аи— коэффициенты его рекурсивной части. На рис. 7.7, б приведена так называемая каноническая схема рекурсивного фильтра. В этом фильтре меньше элементов задер>кки, чем в фильтре на рис. 77, а, а по свойствам они эквивалентны.
Рекурсивные цифровые фильтры (РЦФ) также описываются сис- Из выражения для К(0) следует, что у нерекурсивного фильтра второго порядка сушествует частота 9к, на которой коэффициент передачи К(0„) = 9. На этой часто~с выполняется условие Вс+ 2 сов Ок= О. Отсюда получим формулу для расчета центрального коэффициента фильтра В,, который определяет частоту О„ нулевого коэффициента передачи К(О): гллвдт 318 темной функцией Н(2), равной отношению У-преобразований У(2) и х(2) от выходного у(л) и входного х(п) сигналов фильтра. Для фильтров на рис. 7.7, а и 77, б системная функция у(2) Вс1- В,з '+ Вгз '+ ...
ч- В„з™ Н(2) = 1+ ~~2 +Ага ~ ~ ~ггга Из разных методов расчета цифровых фильтров наибольшее распространение получил метод расчета РЦФ по аналоговому прототипу с применением билинейного преобразования. Вместе с тем в устройствах цифровой обработки сигналов довольно часто применяются двухконтурные и дагке одноконтурные РЦФ. Такие фильтры могут быть рассчитаны по методу прямого синтеза. Проиллюстрируем это на примере, Необходимо определить коэффициенты АьАг РЦФ второго порядка по известным резонансной частоте 9, и нижней границе полосы пропускания О, при заданной неравномерности о в полосе пропускания.
Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра второго порядка (а) и его амплитудно-частотная характеристика (б) представлены на рис. 7.8. Системная функция РЦФ второго порядка (рис. 7.8, и) г г Н(г) =(1+А~а 'ь Ага ) ' —, — г, (7,19) (2-7!)(2 — 2) ) 2 — 2гсе 2~.ь~ 2) ~ где, = гсе ' ', 2, = гсе' ' — комплексно-сопряженные полюса системной функции РЦФ в полярных координатах;  — расстояние от начала координат до полюса в 2 — плоскости; О,= 2лГсЮ, — нормированная к частоте дискретизации безразмерная часто~а резонанса. Из (7.19) следуют формулы, связывающие параметры Я и О„ с коэффициентами РЦФА, и А,: К(0) Ко 0,0,0мнг с ~с гс Рис.
7.0 Радиоприемные устройства с цифровой обработкой сигналов 319 А, = — 2ЯсозОс; Аз =Я", О„=агссоз — '; Я=зЯ.(7.20) 2 ~Аз ]' Для перехода от Н(г) к комплексному коэффициенту передачи К(79) необходимо в (7.!9) сделать замену г = е'~, где О = гогл,— нормированная к В, безразмерная частота. В результате этой замены получим; К(70) = [(1 — В -'Га'Р)(! -В -Де"Н]-', Амплитудно-частотная характеристика РЦФ второго порядка есть модуль от К(79) и описывается выражением К(О) = ([1 + Я вЂ” 2В соз (Π— Ос)][1 + Л вЂ” 2В соз (О + Ос)]] ' . (7.21) Построенная по этому выражению АЧХ для РЦФ второго порядка приведена на рис. 7.8, б. Зададимся неравномерностью о на нижней границе О, полосы пропускання РЦФ и получим уравнение =о (7.22) К(0, ) где Кс= [(1 — В) (1+ Вз — 2В соз 29с)] " — коэффициент пеРедачи РЦФ на резонансной частоте 9„.
Возведем левую и правую части (7.22) в квадрат и с учетом (7.21) получим уравнение о'(1 — В) (1 + Я вЂ” 2Л соз 29с) = = [1 + Я вЂ” 2В соз (О, — Ос)][1 +  — 2Л соз (О, — Ос)]. После преобразований и замены переменной о х(х+ А) = (х+ В~)(х+ С~), (7.23) где х =, А =1 — соя 20„; В, =1 — соз (О~ — Ос); С, =-1 — соз (О, г 0„). (! — л)' 2Я Решим (7.23) относительно х. В результате Ао — В,— С, В,С, х=(р+В) — р, где р= —, ' '-, гу= 2(о .1) о — 1 Тогда Я = 1 и х — [(1 -ь х) — 1] "'. Зная В и О,, по (7.20) определим коэффициенты А, и А.
РЦФ. Для обеспечения на частоте О, единичного коэффициента передачи множитель М на входе РЦФ рассчитывается по формуле М=1/Кс. ГЛАВА 7 зго 7.3.2. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА Преобразователь Гильберта (ПГ) создает фазовый сдвиг между составляю>ними спектра выходных сигналов, равный л72. Таким образом ПГ можно использовать для получения комплексно~о сигнала (7.24) »(гг) = х(п) — гх(п), где 7х(п) — сопряженный по Гильберту цифровой сигнал от сигнала х(п). Сигналы х(п) и7х(п) называют парой квадратурных компонент цифрового сигнала, так как умножение на мнимую единицу7' эквивалентно фазовому сдвигу всех спектральных компонент сигнала х(п) на л/2.
Из (7.24) следует, что идеальный ПГ должен иметь комплексный коэффициент передачи — 0<9<л, К(79) = л < 9 <2л. На рис. 7.9 представлена зависимость комплексного коэффициента передачи идеального ПГ. Рассмотрим построение Г1Г на нерекурсивном фильтре порядка 2Аг с антисимметричными козффициентами Ви. Структурная схема ПГ на нерекурсивном фильтре >Д гв> Рис. 7.9 Рис. 710 Радиоприемные устройства с цифровой обработкой сигналов 321 порядка 27т> с антисимметричными коэффициентами представлена на рис. 7.10. Системная функция этого фильтра описывается выражением Н(г) = — В» — В», г ' — ... — В, г "" + В г ~ -ь В, г ~ ' е ... + В» г ' Для выражения К(79) сделаем замену г ' = е уе и после группировки членов получим КОО) = 1Во — В>(е>а — е ") — Жеда — е "') —" — В>«1еаеа — е' Н е' '.
Используя вытекающее из формулы Эйлера соотношение е'а — е 'а = 27' гйп О, получим К17'9)=  — ~' '>",2В«з1п О е ' и — ! Для обеспечения Гсе[К179)1 = 0 необходимо принять В,= О. В этом случае К17'9) = — 27' ,"> Ввгйп>пО е У ~. вю Очевидно, что идеальный ПГ нереализуем, так как требует бесконечно большого числа элементов задержки.
Рассмотрим характеристики ПГ при ограниченном числе элементов задержки. При 2М = 2 имеем К(9) = ) 2В, гйп О ~. Структурная схема ПГ на двух элементах задержки приведена на рис. 7.11. Для получения К(л/2) = 1 коэффициент В, должен быть равен 0,5. При В = 0,5 ЛЧХ ПГ на двух элементах задер>кки приведена на рис.
712. Из этого рисунка видно, что в компоненте — 7х(п) возникают амплитудно-частотные искажения. Разложение функции на рис. 7.9 в ряд Фурье содер>кит только нечетные гармоники синуса частоты О, поэтому реальный ПГ с ограниченным числом элементов задержки 27>> будет иметь коэффициенты В„, для четных ап близкие или равные нулю, а для нечетных гл — близкие к значениям Вл, = 27л>п. «(л> л!2 л — л а > 2 Рис. 2.11 Рис.
7.12 ГЛАВА 7 >3В Рис. 7ЛЗ Расчет коэффициентов В„, для ПГ чаще всего выполняется как и для нерекурсивного фильтра одним из трех методов: методом Фурье с применением оконных функций, методом наименьших квадратов и методом, основанным на алгоритме Ремеза, Для ПГ на шести элементах задержки при В, = 0 К(О) = ! В, Гйп О ж В> вйп 30 /. Близкая к плоской АЧХ в окрестности О = к/2 обеспечивается при коэффициентах В, = 0,6, В> = 0,1. На рис. 7.13 приведена АЧХ ПГ на шести элементах задер>кки.
7.3.3 ЦИФРОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ЧАСТОТЫ Преобразователи частоты (ПЧ) служат для переноса спектра сигнала из одной области частот в другую. В основе работы цифрового ПЧ лежит перемно>кение выборок сигнала на выборки из гармонического вспомогательного колебания, формируемого цифровым генератором. Построению цифровых генераторов посвящен раздел 7.3.6. Структурная схема квадратурного ПЧ без побочных продуктов преобразования приведена на рис. 7.14. В ее состав входит ПГ, косинусно-синусный генератор (КСГ), четыре перемножителя, два сумматора и два вычитателя.
На выходах ПГ и КСГ имеем комплексные сигналы Хе'в" и А,е*' "'. После перемно>кения и суммирования получим сигнал ХА„е"в ""', сдвинутый вниз на частоту О,= 2кВ„Тм а после вычитателя имеем сигнал ХА„е"в в"', сдвинутый вверх на частоту О,. Квадратурные Г!Ч находят широкое применение в устройствах ЦОС, так как они позволяют обрабатывать сигналы с полосой, определяемой пределом Котельникова П < 0,5В,. Кроме того, в квадра~урных ПЧ частота гетеродина может изменяться в пределах от — 0,5В до +0,5В„, включая частоту „— > О.
Для полно~о подавления на выходе ПЧ побочных продуктов преобразования ПГ не должен вносить амплитудную и фазовую погрешность в формируемый комплексный сигнал Хе'в', а КГС Радиоприемные устройства с цифровой обработкой сигналов 323 еде-ее и) и) ! 4А, еле+ее Рис. 744 должен формировать абсолютно точные квадратурные компоненты С(п) и о(гг).
Однако реальные нерекурсивные ПГ вносят амплитудные погрешности, а рекурсивные Пà — фазовые погрешности, поэтому подавление побочных продуктов происходит не полностью. 7.3.4. БЛОКИ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ В ряде устройс~в цифровой обработки сигналов, например, в амплитудных детекторах, необходимо выполнить операциюу = /А. В универсальных ЭВМ чаще всего для этих целей применяют итерационную формулу Герона Уьч = У+ где у„уг н — резуль~а~ы вычисления на г'-ом и г'+ 1-ом шагах итерации. В качестве начального приближения обычно принимают Ус=А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
