Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Точечный и интервальный прогноз по уравнениюлинейной регрессииТочечный прогноз заключается в получении прогнозного значения уp, которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии y x  a  b  x соответствующего (прогнозного) значения xpуp = a + b  xp.Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ уpmin , уpmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения yp ( y p min  y p  y p min ) с заданной вероятностью.При построении доверительного интервала прогноза используется стандартная ошибка прогноза2отношением s y p  s у p .s y p , связанная с дисперсией ошибки прогноза s у2 соp362Дисперсия ошибки прогноза s у з представляет собой сумму дисперсииs у2ˆз ошибки прогноза расчетного значения yˆ p  a  b  x p и остаточной диспер-сии s2ост (2.34)s у2 p = s у2ˆ p + s2ост.(2.43)2Величина дисперсии s уˆ p находится из соотношенияyˆ  y  b  ( x  x )и составляет1s у2ˆp  s 2 ост  ( n(x  x)2n (xi 1i x)).(2.44)2Соответственно стандартные ошибки прогноза расчетного значения поуравнению регрессии и индивидуального значения прогнозаs yˆ p и s y p опреде-ляются соотношениямиs yˆ p  sост (x p  x)21, nn2 ( xi  x )(2.45)i 1syp(x p  x)21. sост  1   nn2 ( xi  x )(2.46)i 1Доверительные интервалы прогноза определяются соотношениями:для расчетного значения по уравнению регрессии ŷp(2.47)yˆ p  t1 ;n  2  s yˆ p  yˆ p  yˆ p  t1 ;n  2  s yˆ p ,для индивидуального значения прогноза уpyˆ p  t1 ;n  2  s y p  yˆ p  yˆ p  t1 ;n  2  s y p ,(2.48)где величина t1α,n-2 представляет собой табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости α при числе степеней свободы n–2.2.10.

Коэффициент эластичностиВ экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель, как коэффициент эластичности. Если зависимость между переменными x иy имеет вид y  f (x) , то коэффициент эластичности Э вычисляется по формулеxЭ  f ' ( x) .y(2.49)Коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднемизменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 % от своегономинального значения. Для линейной регрессии y  a  b  x коэффициентэластичности равенЭbx.y37Коэффициент эластичности Э в общем случае зависит от величины x и является величиной переменной. Чтобы исключить эту зависимость применяетсясредний коэффициент эластичности ÝЭ  f ' (x)xxb ,yy(2.50)который уже является величиной постоянной.Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентовв среднем по совокупности значений фактора х изменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 %.bДля степенной регрессии y  a  x коэффициент эластичности равен b иявляется величиной постоянной.

Отсюда следует интерпретация параметра b вуравнении степенной регрессии: параметр b показывает, на сколько процентовизменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 %.Контрольные вопросы1. Что понимается под регрессией в теории вероятностей и математической статистике?2. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?3.

Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?4. Какие функции чаще всего используются для построения уравненияпарной регрессии?5. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьшихквадратов?6. Как осуществляется оценка параметров нелинейных моделей?7. Назовите условия Гаусса-Маркова. О чем говорит теорема ГауссаМаркова?8. Что при проверке статистических гипотез называют уровнем значимости?9. Как проверяется значимость уравнения регрессии?10. Как проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии?11. Как вычисляется коэффициент детерминации R2?12.

По какой формуле вычисляется выборочный коэффициент парнойкорреляции rxy ?13. Как проверяется значимость выборочного коэффициента парной корреляции?14. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициентапарной корреляции?15. Как вычисляется и что показывает индекс детерминации?16. Как осуществляется построение доверительного интервала прогноза вслучае линейной регрессии?17. Как вычисляется и как интерпретируется коэффициент эластичности Э?383.

Множественный регрессионный анализ3.1. Понятие множественной регрессииМножественной регрессией называют уравнение связи с несколькими независимыми переменными:ŷ = f (x1,x2,...,xp) .(3.1)Переменная у называется зависимой, объясняемой или результативнымпризнаком. х1, х2, …, хp – независимые, объясняющие переменные или факторные признаки (факторы).Соответствующая регрессионная модель имеет видy = f (x1,x2,...,xp) + ε,(3.2)где ε  ошибка модели, являющаяся случайной величиной.Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множествафакторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать влияние нескольких факторов.

Например, объем выпуска продукции определяется величиной основных и оборотных средств, численностью персонала, уровнем менеджмента и т. д., уровень спроса зависит не только от цены, но и от имеющихся у населения денежных средств.Основная цель множественной регрессии – построить модель с несколькими факторами и определить при этом влияние каждого фактора в отдельности,а также их совместное воздействие на изучаемый показатель.Постановка задачи множественной регрессии: по имеющимся данным nнаблюдений (табл. 3.1) за совместным изменением p+1 параметра y и xj и ((yi,xj,i); j=1, 2, ..., p; i=1, 2, ..., n) необходимо определить аналитическую зависимость ŷ = f(x1,x2,...,xp), наилучшим образом описывающую данные наблюдений.Таблица 3.1Результаты наблюдений12…nyy1y2…ynx1x11x12…x1nx2x21x22…x2n……………xpxp1xp2…xpnКаждая строка таблицы содержит p +1 число и представляет собой результат одного наблюдения.

Наблюдения различаются условиями их проведения.Вопрос о том, какую зависимость следует считать наилучшей, решается наоснове какого-либо критерия. В качестве такого критерия обычно используетсяминимум суммы квадратов отклонений расчетных или модельных значений результативного показателя ŷ i = f (x1i,x2i,...,xpi) от наблюдаемых значений yi2S    yˆ i  yi   min .Как и в случае парной регрессии, построение уравнения множественнойрегрессии предполагает решение двух задач (или, другими словами, осуществляется в два этапа):391) спецификация модели;2) оценка параметров выбранной модели.В свою очередь, спецификация модели включает в себя решение двух задач:– отбор p факторов xj, подлежащих включению в модель;– выбор вида аналитической зависимости ŷ = f (x1,x2,...,xp).3.2. Отбор факторов при построении множественной регрессии3.2.1.

Требования к факторамПроцесс отбора факторов в достаточно сложных ситуациях является итерационной процедурой, предполагающей, в частности, построение уравненийрегрессии, и включает два этапа. Первоначально отбор факторов осуществляется на основе качественных соображений, исходя из представлений о природевзаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими показателями.

На следующем этапе отобранные факторы подвергаются проверке на статистическую значимость. Окончательное решение о включении фактора в модель основывается на количественной оценке степени влияния фактора на изучаемый показатель.К факторам, включаемым в модель, предъявляются следующие требования:1. Факторы не должны быть взаимно коррелированы и, тем более, находиться в точной функциональной связи. Наличие высокой степени коррелированности между факторами может привести к неустойчивости и ненадежностиоценок коэффициентов регрессии, а также к невозможности выделить изолированное влияние факторов на результативный показатель.2.

Включение фактора в модель должно приводить к существенному увеличению доли объясненной части в общей вариации зависимой переменной.Так как данная величина характеризуется таким показателем, как коэффициентдетерминации R2, включение фактора в модель должно приводить к заметномуизменению последнего. Формальная проверка существенности вклада факторав модель выполняется с помощью оценки значимости соответствующего частного коэффициента корреляции либо значимости коэффициента в уравнениирегрессии.Если необходимо учесть влияние качественного фактора (не имеющегоколичественной оценки), то в модель включается соответствующая ему «фиктивная» переменная, имеющая конечное количество формально численных значений, соответствующих градациям качественного фактора. Например, еслинужно учесть влияние уровня образования (на размер заработной платы), то вуравнение регрессии можно включить переменную z, принимающую значенияz = 0 при начальном образовании, 1  при среднем, 2  при высшем.Если для какого-либо показателя, который представляется важным дляданного исследования, отсутствуют исходные данные, либо сам показательчетко не определен, то может быть полезно включить в модель некоторый ее«заменитель».

Например, в качестве показателя качества образования можноиспользовать число преподавателей или расходы на одного студента. Такойподход основан на том факте, что неучет существенного показателя приводит к40смещенным оценкам параметров. Например, производственная функция КоббаДугласа, построенная по данным экономики США за период 19491978 гг., построенная с учетом времени в качестве замещающей переменной для показателя технического прогресса имеет вид [4]logŶ = 1,03 + 0,17 logK + 0,93 logL + 0,024t,(2,33) (0,66)(0,17)0,016)а без учета имеет видlogŶ =  4,50+ 1,19 logK + 0,77 logL,(0,57) (0,10)(0,15)где Y  индекс объема выпуска частного сектора; K – индекс затрат капитала;L  индекс затрат труда; t – время, равное единице в 1948 г.

Характеристики

Список файлов лекций