Шанченко Н.И. - Лекции по эконометрике (1094691), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Оценка параметров моделейПосле отбора факторов и выбора вида аналитической зависимости осуществляется определение численных значений параметров αi модели (1.3). Даннаяпроцедура носит название оценка параметров модели. Следует сказать, что сами полученные численные значения параметров αi также называются оценкапараметров. Путаницы не происходит, потому что то, в каком смысле используется этот термин, как правило, ясно их контекста.При оценке параметров модели в качестве исходных данных используетсязаранее подготовленный массив наблюдений {(yt, x1t, x2t,…, xnt), t = 1, 2,…. n}.Так как исходные данные содержат проявления случайных величин, то и полученные оценки являются случайными величинами, зависящими от исходныхданных и метода оценивания.
Отсюда возникает задача отбора методов оценивания параметров, дающих оценки более высокого качества.Согласно теории статистического оценивания качество оценок определяется наличием у них таких свойств как несмещенность, состоятельность и эффективность.Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.Оценка параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при возрастании количества наблюдений.Оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшуюдисперсию среди возможных несмещенных оценок параметра, вычисленных повыборкам одного и того же объема n.Наиболее часто для оценки параметров применяются методы максимального правдоподобия и метод наименьших параметров.
При выполнении определенных условий (относительно погрешностей модели εt) оценки параметров,полученные с помощью этих методов, обладают свойствами несмещенности,состоятельности и эффективности. Поэтому после получения оценок параметров необходимо проверить выполнение упомянутых условий, чтобы убедиться21в качестве полученных оценок. Если эти условия не выполняются, то следуетскорректировать модель соответствующим образом.Причины нарушения условий, налагаемых на погрешности модели εt, могут быть следующими:– в модели не учтены существенные факторы;– неправильно выбран вид модели.1.7. Примеры эконометрических моделейМодель ценообразования на основной капитал. Задается уравнением регрессии [2]r r f (rm r f ) ,(1.13)где r и rf – прибыли рассматриваемой и безрисковой ценной бумаги;rm – прибыль общерыночного портфеля ценных бумаг;α, β – константы (β =σ/σm, σ и σm – стандартные отклонения рассматриваемой ценной бумаги и рынка в целом);ε – погрешность модели.Производственная функция.
Производственной функцией называется соотношение между входными факторами производства и выпуском продукции.Производственная функция часто применяется для оценки эластичности выпуска продукции по отдельным факторам производства. Например, производственная функция Кобба-Дугласа имеет видP a L K 1 ,где(1.14)Р – выпуск продукции;L– затраты труда;K – объем капитала;0<α<1.Модель формирования спроса и предложения.Q d 1 2 P 3 I 1Q s 4 5 P 2,Qd – спрос на товар;Qs – предложение товара;P – цена;I – доход.Макроэкономическая модель.C t a1 b11 Yt b12 Yt 1 1t , (функция потребления)I t a 2 b21 Yt 2t ,(функция инвестиций)Yt Ct I t Gt .(тождество дохода)где Сt – потребление;Yt – ВВП;It – валовые инвестиции;Gt – государственные расходы;t – текущий период;t–1 – предыдущий период.где(1.15)(1.16)22Контрольные вопросы1.
Охарактеризуйте предмет эконометрики.2. Укажите основные этапы эконометрического исследования.3. Какие задачи решают корреляционный и регрессионный анализы?4. Каковы особенности причинно-следственных отношений в социальноэкономических явлениях?5. Какие зависимости называются стохастическими?6. Какие типы данных используются в эконометрическом исследовании?7. Опишите основные этапы построения эконометрической модели.8. Какие виды аналитических зависимостей, наиболее часто используютсяпри построении моделей?9. Какие методы используются для отбора факторов?10.
Какие методы используются для оценки параметров модели?11. Какими свойствами характеризуется качество оценок параметров?232. Парный регрессионный анализ2.1. Понятие парной регрессииРегрессией в теории вероятностей и математической статистике принятоназывать зависимость среднего значения какой-либо величины (y) от некоторойдругой величины или от нескольких величин (хi).Парной регрессией называется модель, выражающая зависимость среднего значения зависимой переменной y от одной независимой переменной хyˆ f ( x) ,(2.1)где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая,объясняющая переменная (признак–фактор).Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, обуславливающий большую долю изменения изучаемой объясняемой переменной,который и используется в качестве объясняющей переменной.Множественной регрессией называют модель, выражающую зависимостьсреднего значения зависимой переменной y от нескольких независимых переменных х1, х2, …, хpŷ = f (x1,x2,...,xp).(2.2)Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множествафакторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать одновременное влияние нескольких факторов.Используя уравнение регрессии (2.1), соотношение между значениями переменными у и х (модель связи) можно записать какy f ( x) ,(2.3)где первое слагаемое f(x) можно интерпретировать как ту часть значения y, которая объяснена уравнением регрессии (2.1), а второе слагаемое ε как необъясненную часть значения y (или возмущение).
Соотношение между этими частями характеризует качество уравнения регрессии, его способность представлятьзависимость между переменными х и y. При построении уравнения регрессии εрассматривается как ошибка модели, представляющая собой случайную величину, удовлетворяющую определенным предположениям.Наличие составляющей ε обусловлено такими причинами, как наличие дополнительных факторов, оказывающих влияние на переменную y, неверныйвид функциональной зависимости f(x), ошибки измерения, выборочный характер исходных данных.По виду аналитической зависимости различают линейные и нелинейныерегрессии.Линейная парная регрессия описывается уравнением:yˆ a b x .(2.4)Примеры наиболее часто используемых нелинейных регрессий:– полиномы разных степеней yˆ x a b1 x b2 x 2 b3 x 3 ,24b– равносторонняя гипербола yˆ a ,xbyˆ a x– степеннаяyˆ e a bx ,ŷ = a·bx ,K.yˆ 1 a e bt– экспоненциальная– показательная– логистическая2.2.
Построение уравнения регрессии2.2.1. Постановка задачиПостановка задачи: по имеющимся данным n наблюдений за совместнымизменением двух переменных показателей x и y {(xi,yi), i=1,2,...,n} необходимоопределить аналитическую зависимость ŷ = f(x), наилучшим образом описывающую данные наблюдений.Результаты наблюдений удобно представлять в виде таблицыТаблица 2.1Данные наблюденийxx1x2…xn12…nyy1y2…ynКаждая строка таблицы представляет собой результат одного наблюдения (xi,yi).Поясним понятие зависимости ŷ = f(x), наилучшим образом описывающейданные наблюдений. Значения xi, yi из каждой строки можно рассматривать каккоординаты точки (xi,yi) на координатной плоскости xy.
Совокупность всех точек составляют, так называемое, поле корреляций (рис. 2.1).yyxРис. 2.1. Поле корреляцийxРис. 2.2. Лучшая линейная регрессияЗависимости ŷ = f(x) соответствует некоторая кривая на плоскости. Чемближе данная кривая подходит ко всем точкам поля корреляций, тем лучше зависимость ŷ = f(x) описывает исходные данные.Для формализации этого понятия рассмотрим разность между еi расчетными (теоретическими, модельными) ŷ i = f(x i) и наблюдаемыми yi значениями25еi = ŷ i – yi. Наилучшей будем считать такую зависимость, для которой суммаквадратов отклонений принимает минимальное значение, т. е.2S yˆ i y i min .(2.5)Построение уравнения регрессии предполагает решение двух задач (или,другими словами, осуществляется в два этапа):1) спецификация модели (выбор вида аналитической зависимости ŷ = f(x));2) оценка параметров выбранной модели (определение численных значений параметров на основе массива наблюдений).2.2.2.
Спецификация моделиПарная регрессия применяется для моделирования зависимости, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющейпеременной.Для выбора вида аналитической зависимости можно использовать следующие методы:– графический (вид зависимости определяется на основе анализа полякорреляций);– аналитический (на основе качественного анализа изучаемой взаимосвязи);– экспериментальный (построение нескольких моделей различного вида свыбором наилучшей согласно применяемому критерию качества).Визуальный анализ поля корреляций (рис. 2.1) позволяет определить форму кривой регрессии, ее особенности.
Зная типичный вид графиков различныхфункций можно подобрать соответствующую аналитическую зависимость.Примером применения аналитического метода может служить зависимостьмежду затратами (y) и объемом производства (x). Считая, что затраты прямопропорциональны объему производства, зависимость между ними можно представить в виде линейной функцииy = a + b·x,где a – часть затрат, не зависящая от объема производства, b – дополнительныезатраты на производство единицы продукции.Разделив обе части последнего уравнения на объем производства x, получим зависимость удельных затрат (z = y/x) на производство единицы продукцииот объема производстваzyab .xxПри построении модели зависимости спроса товар от его цены при выборевида зависимости следует учитывать, что при увеличении цены спрос падает.В этом случае могут использоваться следующие зависимости:y = a – b·x, (b>0);y1,a bx(b>0);y e a bx , (b>0).Если из соображений экономической теории следует, что величина изменения зависимой переменной y пропорциональна значению независимой пере-26менной x, то можно выбрать полиномиальную, степенную или показательнуюзависимости (см.
п. 2.1).Если предполагается, что значение зависимой переменной y при увеличении значения независимой переменной x не может превысить некоторого преbили логистическуюдела, то можно выбрать гиперболическую yˆ a xKyˆ зависимости.1 a e btВ случае, если в рассматриваемой области изменения фактора x результативная переменная y принимает минимальное или максимальное значение, вуравнение регрессии включают переменные x не только первой, но и второйстепени, напримерy = a + b1x + b2x2.В качестве критерия качества модели может использоваться либо средняя1 yˆ i y i 2 , либо остаточная дисперквадратическая ошибка модели êâ n12сия Dîñò yˆ i y i .nЭтот подход легко реализуем при наличии соответствующих вычислительных средств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
