Майков В.П. - Введение в системный анализ (1094471), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Все методы оптимизации можно разделить на две группы: аналитические и численные.

Для относительно небольшой части инженерных задач, к которым применимы аналитические решения, наиболее часто для оптимизации применяется метод неопределенных множителей Лагранжа (см.п.4.6). Сущность метода уже рассматривалась и заключается в использовании функции Лагранжа, которая позволяет перевести задачу из класса условных экстремальных задач в класс обычных безусловных, метод решения которых хорошо известен.

Большинство задач оптимизации сводится к численным методам. Различают задачи линейного и нелинейного программирования.

К линейному программированию относятся задачи оптимизации, в которых как независимые уравнения математической модели объекта, так и выражение для критерия оптимальности являются линейными функциями.

Пусть математическая модель содержит n независимых линейных уравнений, которые включают в себя m режимных и конструктивных параметров: x₁, x₂, …x_m. В задачах оптимизации mn, а разность k =m – n определяет число свободных, варьируемых параметров. Если из числа m зафиксировать любые k параметров, принятых в качестве свободных, то систему уравнений можно разрешить однозначно. Решения, в которых свободные переменные приравниваются нулю, а другие переменные из m параметров принимают неотрицательные значения называются базисными решениями. Исходная система уравнений имеет ограниченное множество базисных решений. Например, при m=4, k=2 существуют следующие шесть базисных решений: х₁=0, х₂=0; х₁=0, х₃=0; х₁=0, х₄=0; х₂=0, х₃=0; х₂=0, х₄=0 и х₃=0, х₄=0.

Доказано, что оптимальное решение в задачах линейного программирования надо искать среди базисных решений. Поиск происходит путем перебора всех базисных решений и выбора из них одного с экстремальным значением критерия оптимальности.

К задачам линейного программирования сводятся многие задачи оптимизации в экономике.

Методы поиска оптимальных решений в общем случае (нелинейное программирование) подробно рассматриваются в курсе прикладной математики. Напомним, что сюда относятся метод Гаусса – Зейделя и множество вариантов градиентных методов.

Некоторую специфику составляет метод динамического программирования (метод Беллмана [28]), разработанный специально для оптимизации последовательно соединенных объектов, (см. рис.5.5). Метод основан на оптимальной стратегии, которая достаточно очевидна: «каково бы не было начальное решение, последующее должно быть оптимальным относительно состояния, возникшего в результате первого решения .

5.7. Многокритериальные задачи оптимизации. На практике часто возникает необходимость оценивать лучший вариант на основе не единственного, а нескольких критериев. Достаточно сказать, что существующие стандарты на качество продукции могут содержать до десятка различных показателей качества технического, технологического, экономического, экологического, энергономического и потребительского характера.

Наиболее простой способ решения таких задач – сведение многокритериальных задач из n критериев к одному суперкритерию – P

Р = а₁Р₁ + а₂Р₂ + …+ а_n Р_n  Sup,

где а_i – весовые коэффициенты; Sup – “супремум”, обозначение для экстремального значения функции.

В другом варианте один из общего списка критериев принимается за основной. Для всех других критериев устанавливаются ограничения:

Р Sup. P_i A_i или P_i A_i

Недостатком этих подходов является трудность объективных оснований для введения весовых коэффициентов и ограничений. Для этой цели используются экспертные оценки. Тогда может возникнуть логический вопрос: нельзя ли с помощью экспертов осуществлять прямой выбор альтернативного варианта? Частично это реализуется следующим образом. За основу принимается рассмотренный второй способ с выбором одного критерия. Только теперь, последовательно заменяя основной критерий, решается не одна задача, а столько, сколько критериев. В результате получается множество решений, равное числу критериев. Это множество известно как множество Парето. Выбор единственного решения из множества Парето осуществляется экспертами.

5.8. Достоинства и недостатки идеи оптимизации. Понятие оптимизации прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации технических систем, широко используется в административной и даже общественной практике. Знание термодинамически оптимальных вариантов важно для оценки состояния современной техники и определения перспектив ее дальнейшего развития и т.д.

При всей очевидной полезности и важности идей оптимизации «практика требует необходимости осторожного обращения с ней» [1].

Во-первых, обычно рассматриваемая система в действительности является только подсистемой некоторой большей системы и тогда локальная оптимизация совсем не обязательно приведет к тому же результату, что и оптимизация этой большой системы. Именно такой случай рассматривался ранее при обсуждении проблемы системности критериев.

Во-вторых, результаты оптимизации существенно зависят от точности математического описания системы, а оно всегда приближенно.

Подведем итог. «Высокая практичность оптимизации в технических системах не должна порождать иллюзии, что тот же эффект даст оптимизация сложных систем: в сложных системах математическое моделирование является затруднительным, приблизительным неточным. Чем сложнее система, тем осторожнее и скептичнее следует относиться к ее оптимизации»[1].

1. ЭКСПЕРИМЕНТ И НАБЛЮДЕНИЯ

6.1.Эксперимент и модель, виртуальность. Связь между экспериментом и теоретической моделью взаимная. С одной стороны эксперимент позволяет проверить теоретическую модель и при необходимости уточнить ее. Эксперимент, таким образом, является источником информации для моделирования. С другой стороны принятая структура математической модели диктует, какой именно должен быть поставлен эксперимент, т.е. модель является источником информации для организации эксперимента. В этом проявляется некоторая методологическая напряженность между теорией и экспериментом. Ее иногда высказывают в виде требования «чтобы получить правильный ответ от природы (от эксперимента) необходимо уметь правильно задать вопрос Природе». Например, обнаружив экспериментально так называемый эффект дальнодействия на основе классических моделей можно сделать вывод о существовании в природе сверхсветовой скорости. На самом же деле этот вывод ложный, поскольку при этом использовалась модель, не учитывающая дискретную природу времени и «вопрос Природе» задан некорректно, см. п.3.6, а также приложение.

Современное, системное понимание измерения шире классического, преследующего обычно цель добиться однозначности измерения. Во-первых, измерения могут носить качественный характер. Во-вторых, измерение может не снимать полностью неопределенность, если она имеет расплывчатую, квантовую природу.

Кроме того, интересующая нас величина может носить виртуальный характер, т.е. быть реальной, но не наблюдаемой. С этим понятием мы уже встречались, остановимся на этом эффекте детальнее. Еще в 30-х годах прошлого века некоторые физики полагали, что теория не должна содержать параметры, которые нельзя измерить экспериментально. Современную точку зрения на эту проблему популярно проясняет американский физик Р.Фейман таким образом: «…ваши теоретические построения или открытия должны быть такими, чтобы выводы из них можно было сравнить с результатами эксперимента, т.е. чтобы из них не получалось, что «один тук равняется трем нукам», причем никто не знает, что такое эти самые тук и нук. Ясно, что так дело не пойдет. Но если теоретические результаты можно сравнить с экспериментом, то это все, что нам и требовалось. Это вовсе не значит, что ваши туки и нуки не могут появиться в первоначальной гипотезе. Вы можете впихнуть в вашу гипотезу сколько угодно хлама при условии, что ее следствия можно будет сравнить с результатами эксперимента. А это не всем до конца понятно»[29].

За примерами виртуальности, т.е. ненаблюдаемости некоторых параметров, не обязательно обращаться к микро- уровню. Можно вновь воспользоваться макроскопической нелокальной версией термодинамики. Например, НВТ показывает, а эксперимент подтверждает, что точность определения поверхностного натяжения жидкости падает по мере приближения к критическому состоянию. В критическом состоянии, согласно НВТ, поверхностное натяжение достигает минимального значения, равного своей квантовой неопределенности ( = ) и становится, таким образом, полностью размытым, рассеянным, не наблюдаемым. Здесь имеется в виду, что квантовое рассеяние любого параметра не может превысить абсолютного значения этого параметра А. Таким образом, только наблюдаемая составляющая поверхностного натяжения, что изучает классическая термодинамика, в критической точке действительно равна нулю.

Поверхностное натяжение здесь играет роль, так называемого, параметра порядка, наблюдаемая составляющая которого при фазовом переходе обращается в нуль. При фазовом переходе из твердого состояния в жидкость параметрами порядка выступают компоненты тензора напряжений, которые возникают в динамически равновесной среде как результат ее флуктуационной неоднородности. При фазовом переходе газового состояния в предельно поляризованную плазму (четвертое термодинамическое состояние) параметром, достигающим виртуального значения, является давление. При фазовом переходе плазмы в безмассовое состояние физического вакуума к этим условиям добавляется предельное макроквантовое рассеяние температуры Т/T=1 и энтропии макроячейки S= S = k_B, где k_B – постоянная Больцмана. При этом все параметры, характеризующие состояние физического вакуума, становятся виртуальными, ненаблюдаемыми.

Статус виртуальности столь же важен для понимания того, как устроен наш мир, как и статус наблюдаемости. Например, астрофизики достоверно знают, что проявленная масса во Вселенной (планеты, звезды, галактики) составляет только небольшую часть от непроявленной, виртуальной массы.

6.2. Измерительные шкалы. Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ [1].Результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте. Необходимая информация получается из результатов измерений с помощью их преобразований, что и составляет сущность обработки экспериментальных данных. Чем теснее соответствие между наблюдаемыми состояниями и их обозначениями, появившимися после процедуры измерения, тем больше информации можно извлечь в результате обработки экспериментальных данных. Менее очевидно, как подчеркивается в [1], что степень этого соответствия зависит не только от экспериментатора, но и от природы исследуемого явления, что следует уже из содержания предыдущего раздела. Рассмотрим кратко основные измерительные шкалы.

Шкала наименований. Простейшей шкалой измерений может служить классификационная шкала, или шкала наименований. В такой шкале под измерением понимается факт установления принадлежности объекта или явления к определенному классу в существующей классификации. В этой шкале для «исчисления» (обозначения) используются слова естественного языка (классификация реакторов), символы (государственная символика в классификации государств) или числа, имеющие смысл номера (автомобильные номерные знаки). Для этой шкалы в записи А = В знак « = » есть только знак эквивалентности.

Порядковая шкала. Следующей по силе, т.е. по измерительным возможностям выступает порядковая шкала, в которой используются отношения порядка – знак « » или « ». Например, запись А ВСD может обозначать соподчиненность в номенклатуре воинских званий, призовых мест, балльных оценок землетрясений по шкале Рихтера, для проверки знаний учащихся и т.п. Здесь следует иметь в виду, что «расстояния» между составляющими А, В, С, D не установлены, они различны. Это следует понимать, например, таким образом, что землетрясение в 10 баллов по шкале Рихтера не означает, что оно в 2 раза сильнее, чем землетрясение в 5 баллов. С балльными оценками нельзя оперировать как с числами.

Шкала интервалов. Если упорядочивание объектов А, В, С, D… можно выполнить настолько точно, что известны «расстояния» между ними, то измерительные возможности такой шкалы значительно возрастут, в сравнении с шкалой порядка. Естественно при этом выражать все «расстояния» в единицах хотя и произвольных, но одинаковой по всей длине шкалы. Это шкала интервалов. Такая шкала имеет произвольное начало отсчета, например, шкала высот местности (отсчет от уровня моря). В шкале интервалов только интервалы имеют смысл настоящих чисел. Поясним это на примере интервальной шкалы температур [1]. Если сказать, что температура воды увеличилась в два раза при ее нагреве от 9 до 18 градусов по Цельсию, то для тех, кто привык пользоваться шкалой Фаренгейта, это будет звучать весьма странно, так как в этой шкале температура воды в том же опыте изменится от 37 до 42 градусов.(Связь между этими шкалами выражается формулой F = 5C/9 + 32).

Характеристики

Список файлов книги