Майков В.П. - Введение в системный анализ (1094471), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

; ; (4.21)

; (4.22)

(4.23)

Уравнение (4.21) есть уравнение материального баланса для компонента i. Уравнение (4.22) – условие нормировки. Другое условие нормировки опущено, так как при заданных и оно не является независимым. Последнее уравнение (4.23) вводит свойства компонентов через коэффициенты и означает, что колонна работает в режиме, характеризующемся средним значением этих свойств для текущего состояния - . Физический смысл коэффициентов в уравнении (4.23) раскрывается в ходе решения задачи. Параметром задается степень разделения смеси в колонне, что является особенностью постановки задачи при использовании принципа статистического вывода. Однако, когда задача будет формально решена, ее можно переформулировать и характеризовать степень разделения не параметром , значение которого бывает неизвестным, а обычным способом – фиксированием какой-либо концентрации в одном из продуктовых потоков, при заданных отборах продуктов.

В системе из m+2 уравнений (4.21) – (4.23) имеется 2m неизвестных ( и ). Это означает, что только в случае ректификации бинарной смеси (m=2) степень разделения, заданная одним параметром <а>, однозначно определяет составы продуктов. При многокомпонентной ректификации (m>2) система уравнений будет незамкнутой. Не привлекая каких-либо постулатов частного характера, найдем всю недостающую информацию лишь как наиболее вероятную, используя принцип максимальной информационной энтропии.

Математически формулировка задачи поиска закона распределения компонентов между продуктовыми потоками сводится к следующему: требуется найти такие значения и , которые бы доставляли максимальное значение энтропии

при соблюдении ограничений (4.21) – (4.23). Величины , , , , рассматриваются как фиксированными.

Для решения этой условной экстремальной задачи используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Сущность метода заключается в переходе от условной экстремальной задачи к обычной безусловной путем введения функции Лагранжа.

Переход к замкнутой системе уравнений. Введем множители Лагранжа , и  соответственно для ограничений (4.21) – (4.23) и составим функцию Лагранжа

Взяв производные от этой функции по переменным и и приравняв производные нулю, находим необходимые условия максимума энтропии. Полученные таким образом уравнения вместе с ограничениями (4.21) – (4.23) дают замкнутую систему уравнений для определения следующих 3m+2 неизвестных: , , , и  .

Идентификация феноменологических коэффициентов. В ходе решения замкнутой системы алгебраических уравнений можно раскрыть физический смысл коэффициентов и . Для этой цели используется требование согласованности общего искомого решения с известными термодинамическими решениями для частного случая – термодинамическое равновесие. Подробности можно найти в работе [25].

Результат решения. Здесь приведем окончательный результат только для одного случая, когда задана требуемая концентрация в дистилляте – .

,

,

где –относительная летучесть компонента i; К_i K_э –константа фазового равновесия i-го компонента и компонента, принятого за эталонный ( обычно эталонным принимается самый высококипящий компонент смеси).

Значение параметра  находится из характеристического уравнения

.=1

Интересно отметить, что, как показывает анализ, множитель Лагранжа  с учётом термодинамической теории равновесной ректификации есть минимальное число теоретических массобменных ступеней контакта, которые необходимы для получения заданной концентрации - на основе состава исходной смеси.

Обсуждение результатов. В стационарном режиме любые изменения в составе одного из продуктовых потоков ректификационной колонны, дистиллята или кубового остатка вызывают изменение в другом потоке. В этом смысле дистиллят и кубовый остаток можно рассматривать как две взаимодействующие неравновесные фазы. Механизм этого взаимодействия для многокомпонентных систем сложен и зависит от множества факторов термодинамического, гидродинамического и конструктивного характера. Если пытаться постулировать модель взаимодействия этих фаз в традиционном детерминистском стиле, то пришлось бы столкнуться с двумя альтернативными решениями.

Первое свелось бы к существенному упрощению процесса, например, сведению многокомпонентной системы к двухкомпонентной.

Второе решение связано с вовлечением в описание возможно большего числа факторов. Например, в кинетической теории ректификации для каждого компонента вводятся эмпирически определяемые коэффициенты массообмена, которые, в свою очередь, связываются с гидродинамической структурой потоков и типом массообменного устройства. Но даже и во втором случае, где учитывается большее число факторов, влияющих на процесс, нет уверенности в том, что мы располагаем адекватным описанием объекта. Во-первых, введение любых новых факторов сопровождается некоторой упрощенной схемой их воздействия на процесс, во-вторых, детерминированный способ описания не позволяет в теоретической форме учитывать стохастическую составляющую процесса, которая всегда присутствует в реальном объекте. Таким образом, модели, претендующие на адекватное описание, должны учитывать фактор неопределенности и стохастичности, что и достигается в моделировании по принципу статистического вывода. Этот подход можно отнести к методу «серого ящика»: хотя в деталях мы не знаем как устроена система, тем не менее располагаем некоторыми очевидными ограничениями (4.21), (4.22) и способны предугадать характерную структуру (4.23). В предугадывании проявляется необходимость интуитивного мышления, о котором уже упоминалось как об одной из составляющих всякого системного мышления (см. п.1.1). На примере расчета по методу «серого ящика» раскрывается еще одна методологическая особенность подхода – возможность достижения в нем разумного, «экономного» сочетания объема теоретического и экспериментального содержания в математической модели системы. Например, многочисленные попытки внедрить в практику расчета ректификации моделей на основе коэффициентов массообмена представляются сегодня не системными, а потому малоперспективными.

При системной постановке задачи мы надеемся получить решение, наименее предвзятое из всех, которые можно было бы принять в условиях объективно существующей неопределенности. Конечно не всегда случайное распределение – гауссово, как подсказывает информационный принцип максимального правдоподобия. Это же можно сказать и о других задачах. Что касается разделительных систем, то метод дает адекватное описание систем, близких к идеальным растворам. Это не случайно, поскольку мы знаем, что информационная энтропия, записанная в классической форме, (см. п.4.1) не учитывает «шумы» (см. п.4.2). Учет шумов это перспектива, в которой следует развивать рассматриваемый метод.

4.7. Количество информации как критерий степени организованности системы. Вместо термина «неопределенность» можно использовать понятие неупорядоченность, разнообразие, хаос (см.п.4.4.). Тогда вместо определения «устраненная неопределенность» можно употребить термин «блокированное разнообразие».

В кибернетике биологом и кибернетиком Эшби [26] был сформулирован закон «необходимого разнообразия»:

F,z_i

D,x_i⁺

W,x_i^-

_y=D/F

_x=W/F

Рис.2.5-1. Схема внешних материальных
потоков ректификационной колонны

«каждая система, блокирующая разнообразие, должна иметь собственное разнообразие, не менее блокированного.»

Или короче – «только разнообразие может уничтожить другое разнообразие».

Эта почти философская трактовка проводит очень простой принцип. Процесс с возрастанием энтропии происходит самопроизвольно. Например, для того чтобы на базе составов выходных потоков ректификационной колонны получить состав входного потока достаточно смешать продуктовые потоки и диффузионный процесс смешения пойдет «сам собой».

Другое дело обратный процесс – процесс разделения. Он происходит с понижением энтропии и для его осуществления требуется некоторая организация процесса, например, наличие специальных установок – ректификационных колонн определенной сложности. Степень организованности такой системы и предлагается оценивать на основе устраненной системой неупорядоченности или количеством блокированного разнообразия.

Критерий оценки степени организованности системы в общем виде записывается как отношение

Характеристики

Список файлов книги