Трофимова Т.И., Павлова З.Г. - Сборник задач по курсу физики с регениями (1092346), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3.7. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника ЭДС. Пренебрегая краевыми эффектами, докажите, что ток смещения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конденсатора, ранен току в цепи источника ЭДС. аО 1 аО г В аО 1,„=~ — бВ= — ~ бВ= —, 3 2.! аг г.! а! ~ 2лг! аг' 3 ,.3,$ ' Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах и объясните физический смысл ка,кдого из уравнений, Зачем вообще необходима дифференциальная форма урав- иенийо Решение ю дг г дВ Ей=-~" — бб, дг ус — = 2Аг; дВ дг В= Агз, О 2лтЕ =лг 2А~, сссс грАс Е=Ао, г<Л, грАВ усм Г ВзАг Е= т 2лтЕ = лЯ 2Аг, /см =- грАИ. Е= АгВ, Решение 0Н1ЕЕНЗ ~ = — г„Аг (т < В); 1) го1Е= — —, дВ дг усм = ерАВз 2) дВ) д с1гк го1Е = йм — — ' =- — (йчВ), д! т' дг усм ерАВ (™)' Совместимы 1) и 2) — 2 йт гогЕ = О; 2) сЬ В=О; йм В = сопят .
1) йк В = сонм, ОтЕЕт 1) н 2) совместимы. (,'зо4> (зо5) Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационарных полей (Е = сопя( и В = сопзг ) в интерральной и дифференциальной формах и объясните физический смысл каждого из уравнений. Запишите уравнения Максвелла через поток вектора элекгрнческого смещения Фо, поток вектора магнитной индукции Фв, заряд Д и силу тока! . ~(усЛ.; Докажите с помощью одного из уравнений Максвелла, что переменное во времени магнитное поле не может существовать без электрического поля. ОШЕЕШ Есть вихревое электрическое поле, Докажите, что уравнения Максвелла гог Е = -дВ/дг и йч В = О совместимы, т. е. первое из них не противоречит второму. Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиусом Я, изменяют так, что магнитное поле внутри соленоида растет со временем по закону В = А~, где А — некоторая постоянная.
Определи- 2 те плотность тока смещения как функцию расстояпзпс г от оси соленоида. Постройте график зависимости /,„(г) . '*~о '~ В физике известно так называемое уравнение непрерывности 4. Колебания и волны 4.1. Механические и электромагнитные колебания ддь) 1 ЙЯ = — —, выражающее закон сохранения заряда Докажите, д( что уравнения Максвелла содержат это уравнение. Выведите дифференциальную форму уравнения непрерывности. РЕ(иенне Дано ф!дб=— дд д! 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.
Реи4еиие 5 = А со5(в(о! + ф), А =002 м. 5 = 0,02 соз бп! + —, м 3! а(о=бл с', (о ч= — =ЗГц, 2л оставим конечной. Тогда ф Н( Й = О. ! д?3„ Поверхность замкнута, поэтому можем записать: ф („(15 = — ф —" дб. 5",, д! Используем 111 уравнение Максвелла и продифференцируем его по времени: Т= — =0,33 с 1 ч' Оеп((и(Н 1) А=002 м; 2) в(!ч — -бл с; 3) =3 Гц; 4) Т=О,ЗЗ с.
!ь.н=)ен, 1-' — "и= — '1„в], )ьн=-+чи), ! ' '4;Х~.-' Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, север(паси!ей юлебания с амплитудой А = 8 см, если за ( = 1 мин совершается ~ =! 20 юлебаний и начальная фаза колебаний равна 45'. у 1 оэ = — — — )равнение непрерывности в интеграчьной форч(е д( ф~Рд! = — !пп ' ф („Ы йп 5 (-о г-о !' 2л Ш Т З„фЩ, Определите силу тока смещения между квадратными пластинами юнденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля изменяется со скоростью 4,52 МВ/(м с), х = 8 соз 4л(+— ОтаЕию т„= 0,! А.
(307 > СЗ06 > Вывести из уравнений Максвелла„ записать дифференциальную форму уравнения непрерывности. (. ( дТ)') Н, д!= ~ (?+ — ~ б5 ! Я вЂ” любая поверхд( ~„ ность, опирающаяся на замкнутый контур Т. ), ! сЮ 7 Ы = а Н (!! — э! — Ж.Рассмотримбесконеч- 5 Е 5 но малый контур, стянув его в точку, а поверхность 1) А- — ? 2) шо — ? 3) и — ? 4) Т вЂ” ? Гармонические колебания величины 5 описываются уравнением 5= 0,02 сов 6(г(+ — ), м, Определите; 1) амплитуду колебаний; 3! Материальная ~очка совершает гармонические колебания с амплитудой А=4 смипериодом Т=2 с Напишитеуравненнедвижения точки, если ее движение начинается из положения хо = 2 см Дано А=4 ем=4 10 Т=2 с -о х(/) — ? х = 0,04 соз. л/+ —, м.
3 Ответ х = 0,04 соз ~ л/+ — ~, м. 3 Точка совершав~ гармонические колебания с периодом Т = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместиться от положения равновесия на половину амплитуды. 2) а „= 15,8 см/с'. Ответ Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амшппуда А =15 см, максимальная скорость колеблющейся точки н,„= 30 см/с, начальная фаза р = 10'. Ответ 3 Дано ение о/+ ьо) н = -Акао 3!п(као/+ Р), ~ вк ~Акао) ° и„„ кос =' А т(/) — ? Ответ А =25 см.
<308 > А=15 ем=0,15 и а „, =30 см/с = 0,3 ~р =10. Ответ х = 0,1 5 соз ~ 2/ + — ), м 18 ъ, Точка совершает гармонические колебания по закону х = 3 соз — /+ — 1, м. Определите: ! ) период Тколебаний, 2) мак'к 2 8/ симальную скорость н,„точки; 3) максимальное ускорение а „точки. Отевт 1) Т=4 с; 2) н„„„=4,7! м/с; 3) а „„=7,4 и/с'. Точка совершав~ гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением с1/) = — 6 з)п2л/.
Запишите зависимость смещения этой точки от времени. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению х = Азшш/. В какой то момент времени смещениеточки х, =. 15 см При возрастании фазы лолебания в два раза смешение хз оказшюсь равным 24 см Опредшппе амплитуду А колебания ОтВЕт А=5,54 с . А=0,02 м, а!!! =л 1) '!) 3) 4) ища„ 5) а!!!ас 6) ! — ? 0 02 со + — =О, ."г л! + — = (2т+ 1) — (т = О. 1, 2, 3... ! 2 При х=О тА а!о г 2 г Т= —, 2 г ~П!ВХ 2 Г,„= та,„= -т ~а!о г тл != — =т гт Ответ <',310,г (3112 ,,.4зч аа' Материальная точка совершает гармонические колебания сооласно уравнению х = О 02 соз л! + —, м.
Определи~с: 1) ампли !3д) 2/ колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько врем они после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесии л, о=-0,02л51п л!!- — ) ! =ООг, 2) а л и с' г л а=-0,02л соз л!+ —, а = 0,02лг мх' !аа! л 1) А=2 см; 2) Т=2 с; 3) Р= —; 4) ! =.6,28 сц/с.
2 "'и 5) а,„=19,7 см/с'; 6) ! = т с, где т = О, 1, 2, 3, ... -4 ,'~Ц,'.; Определите максимальные значения скорости и ускорения !о !ы!. совершающей гармонические колебания с ампльпудой А =. 3 сч и периодом Т=4 с. Отевт о„„, =4,71 см/с; 2) а „= 7,4 см/с'. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой а =1 Гц, в момент времени ! = О проходит положение, определяемое координатой хо = 5 см, со скоростью оо =15 см/с. Определите амплитуду колебаний. Тело массой т = 1О г совершает гармонические колебания по закону х = О,! соа(4л!+ л/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической знергии.
Отевт 1) )Г.,„)=0,158 Н; 2) Т.,„=7,89 мдж. Материальная точка массой т = 50 г совершает гармонические 3л колебания согласно уравнению х = 0,1 соз — !, м. Определите: 2 1) возвращающую силу Р для момента времени ! = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.
Ответ 1) е=78,5 мн; 2) е=5,55 мДж. 4,17 Опр «п~. пп! «!,! ! г!оп имрпщ 7 гочки совер!па ющей !армоннчесьпе ьо !сои!пя ь се по2енпиальной энергии 1! если изаестна фаза колебания Дино Рентген ие энерппо Е '!той точки ! соэ(в,!+ оо) о2о! ' у! ! — )в„ып(во! э у), р), Т 9 во ° П 2 ~1 — 1! !!, соя(о!«! .! то) — — о2!О 2иА во 2. Т = = — -- 2п-(в,г+ д), 7 Отевт Е=15,8 мДж л«оо! т4 ш.„ П=-) Ег(х=') 2иш х г)х = — — =- соэ (в !+о!), о о 2 2 Т мп (во! е )о) 28 (во!+ (!2) П сооз(шоГ е )о) Отевт Т =г 2( ) Дино Решение Е=!0 мкДж=!0 Е =-0,5 мН 2 2 во )Е „„! = тАшо ° Т=4 с тАво А 2 2 2тАво 2Е А= ~шаъ х = А соа(во! + р) () — ' Вычисления 2 2 тА во г П= = — соэ (соо!+12), 2 2 21010оДж А= =004 м, 0510 зН х = 0,04 соэ — г+ — ~, м (2 6) 2л л о2о = — = - — с ' 4с тА о2о Е= Отевт А'в', 2 Материальная точка массой т = 20 г соаерщаег гармонические колебания по закону 2 0,1 соз(4лп ° г) 1) и О ар. «с опе почит!о Полная энергия Е гармоиичесли колеблющейся точки ранна 10 мкДж, а макснматьная сила Е „.
действующая на точку, раа- на -0,5 мН Напишите уравнение даижения этой точли, если период Т колеба- ний равен 4 с, а начальная фаза !р = л/6 Определите полную энергию материазьной точки массой пг, ко- леблющейся по закону х = А соя(во! + оэ) 2 ЛД Ответ ~ =250 вм Отевт ге= 3,65 кг Решение Дано 2П 1 иИ = агссоз АЕ~ Лгл ге= 3 Ответ ш= гоо г 4;19~; Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость й пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия Т,„груза составляет 0,8 Дж Материальная точка колеблется согласно уравнению х = А соим где А=5 см и и= я/12 с '.
Когда возвращающая силаев первый раз достигает значения -12 мН, потеншщльная энергия П точки оказыва ется равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени 0 2) соответствующую этому моменту фазу го1, Ответ 1) 1=4 с; 2) вГ= — рад. 3 Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 6 см. Определите полную энергию Е кодебаннй груза, если жесткость 1г пружины составляет 500 Нlм.
Спиральная пружина обладает жесткостью 1 = 25 Н/м. Определите, тело какой массой т должно быть подвешено к пружине, чтобы за г =1 минсовершалось 25 колебаний. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определите массу первоначально подвешенного груза. 1,2) Т, =Тг = 0,63 с; 3) — '= — 'т!,5. тг О = —,/2ф~ т+ М При ненагруженной чашке: Решаем уравнение относительно хо: т+М тд 2тдгв г хо= — оз, + (т+ М)!с При нагруженной чашке: (те М)д = «!', т т г г т "о Овса (~+ )е =.Ем+ — )в (т+ М) !'= К, т г г та 2тдгг А=хо — !'=, + (т+ М)!с ' (Мат)А ог И 2 2 Ответ А=, + (т+ М)1 Приподвешиваниигрузовмассами т, = 600 ги тг = 400 гксвободным пружинам последние удлинились одинаково ( ! = 10 см).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
