Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Определить, сколько различных волновых функций соответствует гланному квантовому числу п=б. [26) 29.2. Построить и объяснить диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней и спектралы<ых лнний (с учетом правил отбора) прн переходах между состояниями с 1= =2 и (=1. (г( р.переход). 29.4. Электрон в атоме находится в (состоянии ()пределиттк 1) момент импульса (орбитальный) („ электрона;2) максимальное значение проекции момента импульса Б на направление внешнего магнитного полн. (1) 3 46й; 2) 39) 29.3.
Принимая, что уравнению Шрелнигера для 1з согтояння электрона в атоме водорода удовлетворяет фуииция 9=бе 'ы (С . некоторая постоянная), покааать, что а=йэ4пе )(тех), равиля первому боровскому радиусу. Учесть, что (.т-состояние сферически-симметрично. Г л а в »,10. Элементы квантовой статистики 377 29.5. Заполненной электронной оболочке с ютне<<<кует главное квантовое число ч=з Определить число электронов в этой оболочке, кщорыс имеют одинаковые следующие квантовые числа: 1 1 !) т,=- — и 1=2; 2) и<,=- — - и т<=0.
(1) 5; 2! 3) 2 ' * 2 29.9. Минимальная длина волны рентгеновского излучения, полученного от трубки, работающей прн напряжении 50 кВ, равна 24,8 пм. Определить по этим данным постоянную Планка. (бйн !0 " Д с! 29.7. Определить самую длнннонолновую линию К серии характеристического рентгеновского спектра, если анод рентгеновской трубки изготовлен нэ платины. Постоянную экранирования принять равной единице. (Ю пм) Глава 30 Элементы квантовой статистики $ 234.
Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения Квантовая статистика - раздел статистической физики, нсследую<ций системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. В отличие от исходных поло кений классической статистической физики, в ко. торой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц (см.
$226). Г!ри этом оказывается, как будет показано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам. Пусть система состокт из «7 частиц. Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определяется заданием бй( переменных, так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат к, у, з и тройкой соответствующих проекций импульса Р„, р„, Р,. Соответственно число чвзаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно бдг.
Это 65<- мерное п растр а и ство называется фазовым пространством. Каждому микросостоянию системы отвечает точка в 65<-мерном фазовом пространстве, та и как задание точки фазового пространства означает задание координат и импульсов всех частиц си. стены Разобьем фазовое пространство на малые 67»'.мерные элементарные ячейки объ. имом 60 бР= 64< 6<7»- «4<» «Р< бР»:.6Р»и, где <7 — совокупность координат всех частиц, р — совокупность проекций их импульсов. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества (см.
$213) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. 4 2!5) приводят к выводу, что обьем элементарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем йэ (й — - постоянная Планка). Вероятность дФ' данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения 7(<(, Р): <1Ф'=)(<7, Р) д<< дР. (234.1) Здесь 0%'-- вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема д<7 др, расположенного вблизи данной точки д, р. Иными словами, б(Р представляет собой вероятн<кть того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале <7, <7+6<7 и Р, Р+ЙР. Согласно формуле (234.1), функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состоянии системы.
Поэтому она должна быть нормирована нв единицу: 5 ! ('7, Р) 64 бр =1, где интегрирование производится по всему фазовому пространству, Зная функции< распределения !(<7, р), 378 6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел можно решить основную задачу квантовой статистики — определить средние значения величин, характеризующих рассматриваемую систему. Среднее значение любой функции ( Е (9, р)) =5)Е (9, р) )(9, р) 89 б (234.2) Если иметь дело не с координатами н импульсамн, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.
Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Д. Гиббс (1839 †19). Она называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид 1(Е„)=Ае " *, (234,3) где А — постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, л — совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Подчеркнем, что ! (Е,) есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Е„, так как данной энергии может соответствовать ие одно, а несколько различных состояний (может иметь место вырождение) .
9235. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака Одним нз важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно' в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы нензаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения й(, — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором ! квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином (см. $225), числа заполнения могут принимать любые целые значении: О, 1, 2, ...
(см. $227). Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спинам (см, $226), числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых (см. 9 227). Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т е.
определить средние числа заполнения (й(;). Идеальный газ нз бозонов — бозегаз — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна «. Распределение бозонов по энергиям вытекает нз так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозоиов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. $227): Ы вЂ” Ы»г! . (235.! ) ! Это распределение называется распределением Бозе — Эйнштейна.
Здесь (Ф,)— среднее число бозонон в квантовом состоянии с энергией Е„ й — постоянная Больцмана, Т вЂ” термодинамическая температура, р — химический потенциал; р не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех (Лl,) равна полному числу частиц в системе. Здесь р (О, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Ои определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.
Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Днрака**. Распределе. * Д. Бозе (!858 †19) — индийский физик. '"Э. Ферми (1901 — 1954) -- итальянский физик. Г л в в в ЗО. Элементы квантовой статистики 379 ние фермионов по энергиям имеет вид ! (й[,) =,„, (235.2) е' +! где (йй) — среднее число фермианов в квантовом состоянии с энергией Е„ р— химический потенциал. В отличие от (235.! ) [о может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным зкачениям чисел (йй)). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака. Ш, — о'о'1ог! Если е ' 2» 1, то распределения Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми— Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана: (л[,) =Ае ' (235.3) (ср.
с выражением (44,4)), где А = евдо г'. (235.4) Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу. Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образам отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным прн весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А.
При А«С[, т. е. при малой степени вырождения, распределения Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана (235.3). Температурой вырождения То называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е, То — температура, при которой вырождение становится существенным.
Если Т2»То, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами. 2 236. Вырожденный электронный гаэ в металлах распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см. 4 227), согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какай-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться иа самом низшем энергетическом уровне даже при О К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице». Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми— Дирака (235.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
