Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Если ро — химический потенциал электронного газа при Т=О К, то, согласно (235.2), среднее число (лг(Е)) электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно ( Д[ (Е)) = са [чог! . (236.1) Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом састоинии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица.
Эта означает, что для фермионав (ЩЕ)) = !(Е), где [(Е) — функция распределения электронов по состояниям. Из (235.!) следует, что при Т= О К ао 1 =-ло Е вю 1 з) Рис. 312 380 и Элементы квантанои физики атомов, мгиекул и твердых ггл функция распределения ( )У (Е)) = 1, если Е~на и (У(Е) ) =О, если Е) и«. График этой функции приведен на рис. 312, а В области энергий от 0 до ц«функция (Л/(Е)) равна единице.
При Е=ца она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=О К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией Е=цм заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей ц«, свободны. Следовательно, рю есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е» (Е».— — ц«). Поэтому распределение Ферми— Дирака обычно записывается в виде (Лl(Е)) = (2362) 1 Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е», которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа.
Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т.е, от верхнего из занятых электронами энергетических уровней. Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство дТ~Е». Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда на. ходится в состоянии сильного вырождения. Температура Т«вырождении (гм. $235) находится из условия ДТе=Е». Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными.
Соответствующие расчеты показывают, что дли электронов в металле Т«ж)0' К, т. е, для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден. При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми -- Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в уз- кой области (порядка ДТ) в окрестности Е» (рис.
312, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т=О К.) Это объясняется тем, что при Т>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е,, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е».
Вблизи границы Ферми при Е(Е» заполнение электронами меньше единицы, а при Е) ń— больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т 300 К и температуре вырождения Т«=3 !О" К,— это 1О ' от общего числа электронов. Если (Š— Е»)»дТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Вольцмана. Таким образом, при (Š— Е»)»дТ, т, е при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Š— Е )~ДТ, к ним применима только квантовая статистика Фер.
ми -. Дирака й 237. Ионн~не о квантовой теории зеплоемкости. Фононы Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности, двухатомных) от температуры (см. $53). Согласно квантовой механике, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов в молекуле могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (дТ ~ ЛЕ), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы практически не возбуждаются.
Поэтому при низких температурах поведение двухатомнаго газа подобно одноатомному. 1ак как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между колебательными, т. е АЕ.„,„,<~дЕ., (см. э 230), то Г л а в а 30. Элементы квантовой статистики с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, в результате чего теплоемкость возрастает; при дальнейшем росте температуры возбуждаются и колебательные степени свободы и происходит дальнейший рост теплоемкостн (см.
рис. 80). Функции распределения Ферми - Дирака для Т = О и Т) О заметно различаются (рис. 3(2) лишь в узкой области энергий (порядка АТ). Следовательно, в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимости. Этим и объясняется отсутствие заметной разницы между теплоемкостями металлов и диэлектриков, что не могло быть обьяснено классической теориейй (ем. $ ! 03) . Как уже указывалось (см. й ?3), классическан теории не смогла обьяснить также зависимость теплоемкости твердых тел от температуры, а квантовая статистика решила эту задачу. Так, А.
Эйнштейн, приближенно считая, что колебания атомов кристаллической решетки не. зависимы (модель кристалла как савокупности независимых колеблющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов), создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристалличе ской ре~аетки Она впослсдстнии была развита П, Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми (рассмот.
рел непрерывный спектр частот гармони. ческих осцилляторов). Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов, П. Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулирно-волновому дуализму свойств вещества, упру~ им во лнам в кристалле сопоставляют фононы, обладающие энергией Е=-Ьы. Фоион есгь квант энергии звуковой волны (так как упругие волны — волны звуковые). Фононы яаляюггл квазичасгичами — элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам.
Аналогично тому как квантование электромагнитного нзлучен, я привело к представлению о фотонах, квантование упругих воли привело к представлению о фононах. Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных частиц (например, электронов, протонов, фотонов), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы. Квази- частицы не могут возникать в вакууме, они супгествуют только в кристалле, Импульс фонона обладает своеобразным свойством при столкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порцияии передаваться кристаллической решетке он при этом не сохраняется.
Поэтому а случае фоиоиов говорят о квазиимпульсе. Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононного газа, подчиняк>щегося статистике Бозе— Эйнштейна (см. $235), так как фононы являк|тся бозонами (их спин равен нулю). Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным; поэтому в формуле (235.!) для фононов необходимо ц положить равным нулю.
Применение статистики Бозе -- Эйннжгйна к фононному газу -- газу из не- взаимодействующих бозе-частиц — привело П. Дебая к количественному выводу, согласно которому при высоких темпера~урви, когда Т'д Т„ (классическая область), теплоемкость твердых тел аписы: вается законом Дюлонга и Пти (см. $73), а при низких температурах, когда Т к.Т» (квантовая область), — пропорциональна кубу термодинамической температуры: Се†Т'. В данном случае Та — характери- 3 стическая температура Дебая, определяемая соотношением иуа=Ьоо, где ыа предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.
Таким образом, теория Дебая объяснила расхождение опытных и теоретических (вычисленных на основе классической теории) значений теплаемкости звердых тел (см. $73 и рис (!3) Модель квазичастиц — фононов— оказалась эффективной для объяснения 382 б. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел открытога П.
Л. Капицей явления сверх. текучести жидкого гелия (см. 4 31, 75). Теория сверхтекучести, созданная (1941) Л. Д. Ландау и развитая (1947) советским ученым Н. Н. Боголюбовым (р. 1909), применена впоследствии к явлению сверхпроводимости (см. 4 239). 2 238. Выводы квантовой теории электропроводности металлов Квантовая теория электропровадности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака, — пересмотрела вопрос об электропроводности металлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
