Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(4.4!) для устранения промежуточного узла первого типа, в которой входит только одна ветвь, составам систему уравнений хе= Ах,; ха= Схз; хз = Вхз! хз = СВхз и исключим из иее переменную х,: хз =- АВх,; х, =- АСхт; (4.39) хз = А7зхт. Системе уравнений (4.39) соответствует граф, не содержащий промежуточного узла х, (рис. 4.27, б). АналогичнылВ образом устраняется промежуточный узел, в который вкоднт несколько ветвей, а выходит только одна (рис. 4.27, г). а) ВС Хз АВФ бс) б) Рнс. 4,28.
Устранение конту- ра 2 ф Рис. 4.29. Устранение петли Как видно из соответствующего системе уравнений (4,4!) сигнального графа (рис. 4.29, б), после устранения петли передачи ветвей, входящих в узел кз, оказались умноженными иа 1/(! — С), а передача ветви, выходящей из узла хз, осталась без изменения. Р х, Рис. 4.30. Инверсия ветви Применяя операцию устранения петли, преобразованный граф (см. рнс. 4.28, б) можно заменить одной ветвью (см.
рис, 4.28, з). Инверсия (изменение направления) ветви. Рассмотрим некоторый граф (рис. 4.30, а), которому соответствует система урав- нений ха = Ахх + Вхз + Сха+ Вх~, 'кв = Еха. (4.42) 5 Х Х Х Хз С Х» | ау) Рнс. 4.31. Расщепление узла а) Пусть необходимо изменить направление какой-либо ветви, напри.
мер, направленной нз вершины хх ' л А в вершину хь С этой целью разрешим первое из уравнений (4.42) от- 3 х„ носнтельно х,: х, й ь хэ г д х = х„!А — Вхэ(А — СхэгА — Егхэ/А; С хэ =- Ехм (4.43) хз . хз Системе уравнений (4.43) соота) ~) ветствует сигнальный граф, изображенный на рис. 4.30, б, Как видно Рис. 4.32. Удлинение узла иэ сравнения рис. 4.30, а и 6, инвертирование ветви, направленной от узла х! к узлу «1, сопровождается измене. пнем передач и точек подключения всех ветвей, ранее направленных к узлу х(.
Ветвь с передачей А, направленная от узда х! к узлу х1, заменяется ветвью, иапрявленной от узла х( к узлу хь с передачей 1/А, Все ветви, ранее иаправ. ленные к узлу кь заменяются ветвями, направленными к узлу х1, передачи этих ветвей умножаются на — 1/А, Ветви, не направленные ранее к узлу хп при инвертировании ветви, направленной к х(, остаются без изменений. Р а с щ е п л е н н е у з л а. В связи с тем что сигнал в каждом узле сит. нального графа определяется только сигналами входящих в него ветвей, любой узел сигнального грэфэ может быть расщеплен нэ два узла: один — содержащий все ветви, няпранлениые к узлу, другой — направленные от уэлв.
Так, узел ха гРафа, изображенного па рнс. 4.31, а, может быть расщеплен нэ двэ узла (Рис, 4,31, б). Узел, который содержит только исходящие из него ветви (исток), может быть расщеплен на произвольное количество узлов, не ирены. шаюшее числа исходяпгих из него ветвей (рнс. 4.31, э!. э д л и н е н и е у э л а. В ряде случае возникает необходимость вб введении в сигнальный граф дополнительного узла, сигнал в котором совпадэет с сигналом в одном нз узлов хг сигнального грвфэ, Такая операция пазывэетсн удлинением узла хд Лля удлинения узла ху этот узел должен быть соединен с вновь вводимым узлом х( ветвью, передача когорой рэвна единице, Например, 0 й х, гэ(йг й -Йэ(3~ 3 (гг гз)( 7 э'Ыэ) Е х! б) (э гг3,. 3 йз+(3 (34+ йэ) Е г) йэ Рис, 433. К примеру 4.!7 для удлинения узла хе (рис. 4.82, а) введем новый узел х,' и соединим его с узлом хе ветвью, передача которой равна единице (рис.
4.32, б). Совместное проведение описанных преобразований позволяет, как правило, существенно упростить структуру сигнального графа. Конечной целью преобра. зований обычно является получение наиболее простого графа, не допускающего дальнейших упрощений. Такой граф называется к о н е ч н ы м. Конечный граф не содержит сл~ешанных узлов, а включает в себя только стоки н истоки. ° ФФФФ Пример 4.17. Упростил сигнильный граф, изображенный на рис. 4.23, Для этого последовительно исключим контур (рис, 4.38, а), петлю (рис.
4.83, б), промежуточный узел (рис. 4.38, в) и объединим парияэельные ветви (рис. 4.33,г). Преобрижванныи граф, (рис. 4.33, г) не содержит смешанных узлов и не подлежит дальнейшему упрощению. Этот граф явэяется конечным. Применение сигнальных графов к анализу цепей Применение метода сигнальных графов при анализе цепей оказывается весьма зффелтивным в тех случаях, когда требуется определить ток или напряжение только одной иэ ветвей цепи, а также найти ее комплексные частотные характеристики.
Как отмечалось, используя различные преобразования, исходный сигнальный граф можно привести к конечному. Если истоками графа являются узлы, сигналы которых Х; есть комплексные изображения величин, характеризующих внешние воздействия на зажимах ! — !', а стоками — узлы, сигналы которых )с представляют собой комплексные изображения искомых токов или напряжений ветвей, подключенных к зажимам !' — !', то, используя конечный граф, можно записать соотношения, в явной форме выражающие зависимость искомых неизвестных токов и напряжений от величин, характеризующих внешние воздействия.
Передача ветви А1; конечного графа, связывающей исток Х, со стонам )э1, будет равна комплексной частотной характеристике цепи Н 1 Оы), измеренной в режиме, когда все источники внешнего воздействия, за исключе. вием Хь выключены. Трудоемкость преобразования сигнального графа к конечному во многом определяется выбором исходной системы уравнений электрического равновесия и тем, каким образом осуществлен переход от исходной системы уравнений к сигнальному графу. Для уменьшения числа узлов сигнального графа в качестве исходной системы уравнений рекомендуется применять систему уравнений электрического равновесия цепи, составленную по методу узловых напряжений или контурных токов, дополнив ее уравнениями, связывающими искомые токи и напряжения с контурными токами или узловыми напряжениями, ° ФФФФ Пример 4.18.
Определим гиок 7в цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а, преобразуя сигнаэьный граф этой цели (см. рис. 4.23) в конечный. Граф, приведенный на рис. 4.23, соопыетствует контурным уравнениям рассматривиемой цели, дополненным уравнением, вырижающим связь искомою така с контурными токами (м, ! э и !аз= ! (см. пример 4.!6). Преобразование много графи в конечный было проведено в примере 4. 77.
Непосредственно ло виду конечного графа записывием выраясение для искомого тока которое совпадает с выражениями для этого тока, полученными с испольэоаанием метода наложения (см. пример 4.8) и теоремы об эквивалентном источчике (см. пример 4.72). 240 Передача ветви, свлзьыаюи(ей исоюк г и сток !„Равна комплексному козффициенту передичи цепи по току йт (!ю) от зажимов б — б' к захсимом 6 — б' (номера зажимов совпадают с номерами ветвей) в резеиме, когда источник о Закорочен: !в Лз 2з+Лв (Лз+2з) бт ! !ь (Л'=о Лз Лз+(Лз+7з) (се+се) Передзча ветви, направленной от истока Е к стоку !ч, равна передаточной проводимости цепи Ке, Е/ы) в режиме, когда вепыь с источником тока ) разомкнута; !в ~ 'з !'„(/ы) = —, = Е) ~ 2 о=йз2,+(Л,+Л,)(г,+2,) Следует отметить, что сведение исходного сигнального графа к конечному, особенно для сложных цепей, может оказаться трудоемким.
Кроме того, еслй необходимо определить несколько неизвестных величии, эту процедуру пряха. дится выполнять несколько раз, Поэтому в таких случаях для нахождения комплексных частотных характеристик цепи н неизвестных токов и напряжений целесообразно воспользоваться ф о р м у л о й М е й с о н а, которая позволяет вычислять передачи ветвей конечного графа А)( Н(;(/ю) непосредственно по исходному сигнальному графу, не прибегая к его преобразованиям. Формула Мейсона имеет вид А!; = Н(((!ю) = ф Р!(~! Ьь) / Ь, (4.44) где Ь вЂ” определитель сигнального графа, численно равный определителю исходной системы уравнений; Р(, — передача й-го пути от истока Х( к стоку ь) (( У~", Ьь — алгебраическое дополнение У-го пути.
Суммирование производится по всем возможным путям нз узла Х! в узел )»!. Определитель сигнального графа Ь =! — ~и~~ Е; -(- ~~~~ !.; Е! — ~ч»', Е;, Е, Ею+, . »! (4.»и (4. 45) где ХЕ( — сумма передач всех контуров сигнального графа; м Е(Е! — сумл(а ( (,! проиаведеннй передач всех возможных пар несопрнкасающйхся контуров; Х Е;Е(Е„,— сумма произведений передач всех несоприкасающихся троек кон(,!,»и туров и т. д. Алгебраическое дополнение Ьго пути также вычисляется по формуле (4,45), но при этом учитываютси только контуры, не касающиеся пути Р(!(!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
