Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 52
Текст из файла (страница 52)
4 20. К п име у 4.(3 контура с передачами Е, =.- Ье (ветви Ь и е), Ез — — йс (ветви 3 и с), й, = и (петля а) и Ее =- !' (петля !). Ветви Ь и т не образуют контура, так как они не представляют собой замкнутой последовательности однонаправленных ветвей. Такие ветви называются п а р а л л е л ь н ы м и. Два нонтура или контур и путь называются с о п р и к а с а ю щ и м и с я, если они имеют обпгие узлы. Если два нонтура или контур и путь не имеют общих узлов, то они являются несопринасающимися. На рисунке контуры с передачами Ее=ус н Е4 —— -!';(.з=а и Е,=г' являются несоприкасающимися, а контуры с передачамн г.т = Ье и Вз = йс; бз = Ье и (м — /, г.т = =Ье н Е, =-- а — соприкасающимися.
Контур с передачей Ее = ! не соприкасается с путями Рф и Рф, но соприкасается с путем Ргезз!. Как видно из примера 4.(3, каждому сигнальному графу можно однозначным образом поставить в соответствие систему линейных алгебраических уравнений, составленных относительно сигналов зависимых узлов.
Для решения обратной задачи — построения сигнального графа, соответствующего заданной системе ураввеннй, зта система уравнений должна быть приведена к причинно-следственной форме, т. е. каждое из входящих в систему уравнений должно быть разрешено относительно одной нз переменных (различных для каждого из уравнений). Далее, определяется общее число узлов графа Й. которое равно сумме числа неизвестных переменных и числа ненулевых сво- бодиых членов уравнений. Построение сигнального графа начинается с нанесения точек, соответствующих его узлам Затем узлы графа, всоогветствии с системой уравнений, приведенной к причинно-следственной форме, соединяются между собой ветвями так, чтобы сумма сигналов всех ветвей, сходящихся в каждом узле, равиявась бы значению сигнала этого узла, Хотя свойства сигнального графа не зависят от формы н длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости чертежа, с целью повышения наглядности рекомендуется истоки располагать в левой части чертежа, стоки — в правой, а остальные узлы — между ними.
В связи с тем что одну н ту же систему уравнений можно различными способами привести к причинно-следственной форме, каждой системе уравнений можно поставить в соответствие некоторое множество графов. Различные графы, соответствующие одной и той же исходной системе уравнений, называются р а в н о с и л ь н ы м и. Рассмотрим несколько примеров построения графов, соответствующих заданной системе уравнений. ° ФФ1 ° Пример 4.14. Построим сигнальный граф, соответствующий системе уравнений а„,х, + азаке + аззхз .=- Ь;, амх, + а,х, + аззхз =- Ьз; атх, + атхз+ аззхз — — - О.
Приведем донную систему уравнений к причинно-следственной форме, для «его риэрещим первое уравнение относительно х» второе — относительно хз, а третье — относительно кз. х, = — а„хз/а„— а„зх,/ам + Ьт/ид., хз =- — амх,/а,з — аззхз/а,з + Ьз/ими хз = — азсхт/азз — атхз/азз. Число неэовисимььх переменных в этой сисныме уравнений равно трем, число ненулевых свободных членов — двум, следовательно, общее число узлов сигнального графа равно пяти. Располагая в левой части чертежа независимые узлы, со.
ответствующие свободным членам Ьз и Ьз, а в правой части узлы, соответствую- о,/в -ви/в а/ Рнс. 421. К примеру 4.14 щие неизвестным тличинам к,, хз, хз, и соединяя их ветвями в соответствии с сиппемой уриенений, преобраэовинной к причинно-следственной форме, получим сигнильный граф, изображенный на рис. 4.3/, а. Исходная система уравнгний может быть приведена к причинно-следственной форме и другим способом. Прибавляя к правой и левой частям первого уравнения хм второго хз, третьего кз и выполняя преобразования, получим х, †.-,(иы + 1) хз + и,зхз + а,зхз — Ь; кз =~амхз + (азз + 1) к, + азаке — Ьз; ! х = азтхе Р аз,ха+ (азз+ 1) хз.
234 Этой системе уравнений соолюевслюует сигнальный граф, ижбраженный иа рис. 4.21, б. Графы /рис. 4,21, о, б) имеют различную структуру и передачи ветвей, однако оии оютветслюуют одной и той же исходной системе уравнений и поэтому лвляются равносильными. Очевидно, что если первое уравнение, входящее в исходную систему, разрешить не относительно х,, а относительно хь или хь, зю получатся другие варианты представления исходной системы уравнений в причинно-следственной бюрме, каждому из которых можно поставить в соответствие сигнильные графы, равносильные графам, изобрижениым на рис.
4.21. ° ФФФФ Пример 4.16. Составим сигнильный граф, аюлметствующий узловым уравнениям цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Узловые уривнеиия данной цели были получены при рассмотрении примера 4.4. Разрешая первое иэ уравнений относительно Огь, а второе — отиосигюльно 1)ев, »олучаем 1/ж=2, <1/2,+1/2в) 1/ж+2,1; /)гь = Еь (1/Лг+ 1/Лг+ 1/Ее) /)гь — Хе Е/Ль.
Этой системе уравнений жответсввует сигнальный граф, притдениый на рис. 4.22. ° ФФФФ Пример 4.16. Используя метод контурных токов, составим систему уравнений для определения тока /ь цели, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Построим также сигнальный граф, соолыевслюующий втой системе уравнений. ли игу 1 /+24/Й+йу/41 Е -Щг 112 -г ~г2 Рис. 4.22. К примеру 4.15 Рис. 423. К примеру 4.16 Контурные уравнения рассматриваемой цепи были сформированы при рассмотрении примера 4.8. Дополняя зти уравнения соотношением, связывающим вок 1» с контурными токами 1ьг и 1, получаем (Ля+Уз) 1„, — 2ь /в — Е'; — 2, 1„+ Д+2,+гь) /гь=гь11 /ь — 1 + /ьз = б. Разрешим кааэдае иэ этих уравнении оошосивельно адней иэ неизэывьных величин: 1„= <2,+2,) 1„/г,— Е/2,; 1„=(г,+2,.+2,) 1'„Д,— 2ь1/г,; 1в 1 — 1гь.
Этой системе уравнений соолметствует сигнальный граф, иэгбракгпный на рис. 4.23. 222 Преобрдзовання снгнальных графов Используя правила построения сигнальных графов, соответствующих за. данной системе уравнений, можно убедиться, что каждому ривносильному преобразованию исходной системы уравнений соответствует некоторое преобраэовиние сигнального графа и, наоборот, каждому преобразованию сигнального графа соооыетствует определенное преобразование исходной системы уривнений На практике оказывается, что преобразования сигнальных графов выполняются проще и в более наглядной форме, чем преобразование соответствующих им уравнений.
Поэтому при анализе цепей во многих случаях преобразование уравнений электрического равновесия заменяется преобразованием соответствующих сигнальных графов А х,( А+В хн АлВ о) Рис. 4.25. Объединение петель Рис. 4.24. Объединение параллельных ветвей Рассмотрим основные преобразования сигнальных графов.
Объединение параллельных ветвей. Две параллельные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей А + В. Действительно в соответствии с рис. 4.24, а сигнал в узле, к которому сходятся ветви с передачами А и В, исходящие из узла хь будет равен ху= Ах~+ Вхо или х)=(А+В) хг. Последнему уравнению соответствует сигнальный граф, имеющий одну ветвь с передачей А + В, направленную от узла хг к узлу х (рис.
4.24, б). Правило объединения параллельных ветвей обобщается на любое число параллельно включенных ветвей, его можно применять для объединения петель, подключенных к одному узлу (рис. 4.25). Объединение последовательности однонаправленных ветвей. Две последовательно включенные однонаправленные ветви с передачами А н В могут быть заменены одной ветвью с передачей АВ.
Действительяо, графу, приведенному на рис. 4.26, а может быть поставлена в соответствие системз уравнений х =Ахб хь=Вхр Исключая иэ (4.37) переменную х, получаем ха =АВхо (4.33) Уравнению (4.33) соответствует сигнальный граф, содержащий одну ветвь с передачей АВ (рис. 4.26, б). Рассмотренное преобразование представлиет собой частный случай устранения смешанного узла сигнального графа. Устранение промежуточного узла. Смешанный узел, к которому подключено несколько не образующих контуров ветвей, причем только одна из ветвей напьавлена к узлу (рис. 4.27, а) или только одна из ветвей направлена от узла (рнс.
4.27, в), называется п р о м е ж у то ч н ы и. 236 ХЗ КВ х„ хт х хз хз ХЗ ХВ из хт А ч В а) х! Х! Аб Х„ б) ' е) Рис. 4.26. Объединение последовательности однонаправленных ветвей Рис, 4.27, Устранение промежуточного узла, из которого исходит (а, б) н в который вкодит (в, г) несколько ветвей У с т р а н е н и е к о и т у р а.
Сигнальному графу, изображенному на рис. 4.28, а, может быть поставлена в соответствие система уравнений хз = Ах + Схз,' хз = Вх,. Подставляя первое из этик уравнений во второе, получаем хз = АВх + ВСхз. (4.40) Уравнению (4.40) соответствует преобразованный граф, приведенный на рис. 4.28, б. И с к л ю ч е н и е п е тл и. Исключение петли с передачей А, подключенной к какому-либо узлу сигнального графа, сопровожлается умножением передач ветвей, входящих в этот узел, иа (/(! — А). Действительно, для сигнального графа„приведенного иа рис. 4.29, а, можно составить систему уравнений хз = Ахз + Вхз + Схз; ХВ = ВХЗ. Приводя в первом из этих уравнений подобные члеяы н разрешая его относительно хз, получаем хз —— Ахг/(! — С) + Вхз/(! — С); ха = )ухз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
