Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Иэ полученных внраэаений видно, что комплексный коэффициент передачи рассматриваел>ой цели ло току от эажимов б — б' к эажимам б — Б' и комплексная передаточная проводимость этой цели от зажимов ! — !' к эижимим б — б' (номера эажимов совпадают с номерими ветвей) равна соответственно: йаа ([ю) =-[Лав+7а (Яэ+Ла)[ [Ха Лч+(У~+Ха) (ха+2~)[> )'а> ([ао) = — 7э>[7а ~э+(~а+Уз) (Ха+~в)[. Метод наложения оказывается весьма эффективным и при анализе линейных цепей, находящихся под воздействием колебаний сложной формы.
В этом случае сложное внешнее воздействие представляют в хг ми йг Лч аг> б ! сп б -6 х а) Рнс. 4.9, К примеру 4.8 виде конечной или бесконечной суммы колебаний более простой формы, реакция цепи на воздействие которых может быть определена с помощью известных методов (подробнее см. гл. 6). Необходимо отметить, что принцип наложения применим только для определения токов или напряжений линейной влек>прической цели и не может быть использован для нахождения величин, которые не являюлгся линейными функциями токов или напряжений. В частности, мощность, потребляемая каким-либо участком линейной электрической цепи, находящейся под воздействием нескольких независимых источников, не равна сумме мощностей, потребляемых этим же участком при воздействии каждого из независимых источников в отдельности. Теорема взаимности Прн изучении методов формирования уравнений электрического равновесия было установлено, что матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей линейных цепей, составленных только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока или напряжения, являются снмметричнымн относительно главной диагонали.
Можно показать, что симметричность этих матриц не нарушится и в том случае, когда в цепи имеется произвольное количество связанных индуктивностей. На симметричности матриц узловых проводимостей и контурных сопротивлений основано важное свойство линейных пассивных электрических цепей, которое формулируется в виде теоремы взаимности, или обратимости. Рассмотрим линейную пассивиую электрическую цепь, составленную из сопротивлений, емкостей и иидуктивиостей (в том числе и связанных).
В соответствии с теоремой взаимности контурный ток й-го контура цепи, вызванный действием единственного независимого источника напряжения, помегденного в )-й контур, равен контурному току Ьго контура, вызванному действием того же источника напряжения, перенесенного пз Ыго контура в й-й. Для доказательства теоремы выделим из рассматриваемой цепи главные ветви й-го и гсго контуров, а остальную часть цепи изобразим в виде четырехполюсиика. Если независимый источник напряжения у Рис. 4.!О К доказательству теоремы взаимности (внешнее воздейст- вие задано н виде источника напряжения) Е помещен в !'-й контур (рис.
4.10, а), то в соответствии с выражением (4.14) контурный ток й-го контура !,ь =Лы Еп!Ь = бы Е) Ь. (4.28) Аналогичным образом находим контурный ток 1-го контура, вызванный действием того же источника напряжения Е, перенесенного из 1-го контура в й-й (рис. 4.10, б): (4.29) )и =- Аы Е„ь 'А = Ааг Е1А.
Выражения (4.28) и (4.29) отличаются только порядком индексов в алгебраических дополнениях Л,а и Л„г. Учитывая симметричиость матрицы контурных сопротивлений рассматриваемой цепи отиосительио главной диагонали, нетрудно прийти к выводу, что Л,а = Лаг, а следовательно, г'ьь - 1„. Теорема взаимности для случая, когда внешнее воздействие иа цепь задается в виде независимого источника тока, может быть сформулироваиа следующим образом. Если независимый источник тока э', подключенный к какой-либо паре зажимов линейной пассивной цепи, вызывает на другой паре зажимов напряжение !Г (рнс.
4. )1, а), то этот же источник тока, подключенный ко второй паре зажимов (рис. 4.)1, б). вызовет на первой паре зажимов то же напряжение 1г'. Доказательство этой теоремы взаимности производится 'гак же, как это было сделано при питании цепи от независимого источника напр яжеиия.
Если электрическая цепь удовлетворяет теореме взаимности (в любой формулировке), то говорят, по оиа обладает в з а и м и ос т ь ю (о б р а т и м о с т ь ю). Электрические цепи, обладающие 222 взаимностью, называются в з а и м н ы м и (о б р а т и м ы и и), Если электрическая цепь не обладает взаимностью, то она является н ев з а и м н о й (н е о 6 р а т и и о й). К необратимым цепям относятся, в частности, нелинейные цепи (злементы матриц контурных сопротивлений и узловых проводимостей таких цепей зависят от токов или напряжений ветвей) и цепи, содержащие зависимые источники (матрнць( контурных сопротивлений и узловых проводимостей таких цепей, как правило, несимметричны относительно главных диагоналей).
()к=й ()(=() и> Рис 4,11 К доказательству теоремы взаимности (внешнее воздейст- вие зздвно в виде источники токо) Применение теоремы взаимности в сочетании с принципом наложения позволяет в ряде случаев существенно упростить определение тока или напряжения какой-либо ветви электрической цепи, содержащей несколько независимых источников напряжения или тока. ° ЭЭЭЭ Прпмер 4.9. Пусть, например, линейная злектрическая цепь содержит (у независимых источников напряженин Е,, Ез, ..., Еь ..., Ею размещенных соотеетспюенно в ветвях!, 2...
(, ..., Ф. Определ(гм ток й-й ветви, не содержащей источников внергии. Найдем сначала токи 1(( >, 1З (>, ..., 1г >... 1й > гоответственно 1, 2, ..., (, .„, Ф ветвей цепи, вызванные действием некоторого дополнительного испючника ь.д.г. Ею помещенного в П-ю ветвь, при выключенных источниках Е,, Ею .. „Еь ..., Ен. Далее, в соответствии с теоремой взаимности найдем част(гчныг токи 1(~ > вызываемые в й.и ветви действием каждого из источников Е; .и> е отдельности. Если бы з.д.с.
источники, расположенного в (-й ветви, Е(, была равна Еь, то согласно теореме взаимности частичный ток й-и вепюи, 1(ь(>, вызванный действием источника, раслолояеенного в (-й ветви, был бы равен 1(( >. Если '(ь> Е, чь Еь, то частичный ток Ьй ветви 1ь еызвинный действием з.д.г. Еь '((> пропорционален '(яи 1((> .. Е( 1,.(ь>1Еь, Суммируя частичные токи, вызванные действием всех независимых ис. точников напряжения, находим 1ьи> -- ~ц „е, 1'(гь>1Еь. Таким образом, анализ сложнои злектрическои цепи, содержащей й> независимых источников напряжения, свелся к определению токов >ч' ветвей более простой цепи, содержащей один нгзивисимый (гспючник напряжения, 223 Теорема компенсации Теорема компенсвцин формулируется следующим образом: токи н ивпряже ния произвольной электрической цепи ие изменятся, если любую ветвь этой цепи заменить либо ндевльным источником икпряжения, э.д.с.
которого равна ивпряжению данной ветви и ивпрэвлеив противоположно этому напряжению, либо идевльиым источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви н совпадает с иим по ияправлеиию. Теорема компенсации базируется на общих свойствах основной системы уравнений электрического равновесия цепи и не накладывает ограничений на тип рассматриваемой цепи или характер внешнего воздействия. Рассмотрим, например, линейную электрическую цепь, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим в данной -пе-г,г» сг Рнс. 4.12. К доказательству теоремы компенсэцип цепи произвольную ветвь, комплексное сопротивление которой равно Л„, (рис. 4.12, а), Напряжение и ток этой ветви связаны уравнением, составленным на основании закона Ома в комплексной форме у, = — Лцть. В соответствии с теоремой компенсации выделечную ветвь можно заменить либо идеальным источником напряжения, э. д. с; которого равна напряжению данной ветви Е = ()д =- 2,1„ и направлена навстречу этому напряжению (рис.
4.12, б), либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви г = = 1ь —— Уь/Л„ и совпадает с ним по направлению (рнс, 4.12, и). Составляя основную систему уравнений электрического равновесия каждой из цепей (рис. 4.12, б, и), убедимся, что она совпадает с основной системой уравнений электрического равновесия исходной цепи. Действительно, при формировании уравнений электрического равновесия исходной цепи напряжение Ьь =- Х„!ь на выделенной ветви учитывается со знаком плюс в левой части уравнений баланса напряжений, составленных для контуров, содержащих рассматриваемую ветвь (предполагается, что направление обхода этих контуров совпа-. дает с направлением тока 1д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
