Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При использовании комплексных амплитуд не только сопротивления и проводимости, но и другие параметры цепи являются комплексными величинами. Например, если на входе некоторого четырехполюсника (рис. 8.8) действует э. д. с. с комплексной амплитудой с = с де', а выходное напряжение имеет комплексную амплитуду () = 0 е'"", то свойства этого , четырехполюсника могут характеризоваться комплексным коэффициентом передачи: ~т ~уы 'К = У /Й = Ксга, Рае. З.а. Схема чехырехполюсаика К=().7В., Е= р.— ф,. (3.28) вз венио при их последовательном и параллельном соединениях: ы е 2= 2„'Д, У= ~ Уь х=! а=! Эти соотношения означают, что несколько последовательно или параллельно соединенных двукполюсников зквивалентнье одному двухполюснику с сопротивлением Л или проводимостью У.
Попеременное использование двух формул (3.26) позволяет рассчитывать сопротивление и проводимость двухполюсника со смешанным соединением диссипативных и реактивных элементов, а также двухполюсника, составленного из других двухполюсников с комплексными сопротивлениями и проводимостями при смешанном соединении этих других двухполюсников. Из закона Ома (3.!9) определяют соотношения между амплитудами и начальными фазами напряжения и тока для двухполюсника с комплексным сопротивлением (комплексной проводи- мастью): () =27, I = У(l, ф„— ф,=ф, ф,— ф,=Х.
(3.27) Величины К и О определяют соответственно отношение амплитуд и сдвиг фаз между всчходным напряжением и з. д. с. источника. Будем называть их соответственно передачей и фазой четырехполюсника. Входящие в схему четырехполюсника реактивные элементы имеют частотозависимые сопротивления. Поэтому в отличие от вещественного коэффициента передачи, использованного в соотношении (1.25), параметры (3.28) являются функциями частоты: й'. = К(ы), К = К(ы), 8 = 0(ы), (3.29) Первую частотную зависимость (3.29) называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ) четырехполюсника. Ее можно изображать одним графиком на комплексной плоскости, как описано в $ 8.5.5.
Вторую и третью частотные зависимости (3.29) изображают графически обычным образом в декартовых системах координат (ы, К) и (ы, 0). График частотной зависимости К(ы) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) или частотной характеристикой четырехполюсника, график частотной зависимости 0(ы) — фаза-частотной или фазовой характеристикой (ФЧХ). Эти характеристики позволяют судить соответственно о частотных и фазовых искажениях сигналов в четырехполюснике. ' Аналогично коэффициенту передачи (3.28) можно рассматривать коэффициент передачи не по напряжению, а по току, если сравнивать выходной ток 1„ = ! е'"' в некоторой цепи с задающим током 1 = .( е" на ее входе: К=).У2.=К,д", К,=).~~., О,=ф,— р,. (3.30) Эти параметры цепи в общем случае также являются частотозависимыми.
Любые функции, показывающие в комплексной форме соотношение между выходными и входными величинами цепи, называют ее передаточными функциями. Разновидностью передаточных функций являются входные и выходные функции, которые определяют в комплексной форме соотношение между напряжениями и токами, измеренными со стороны входных и выходных зажимов цепи. Эти функции опи, сывают входные и выходные сопротивления или проводимости цепи. 6.
Активная мощность. Рассмотрим мгновенную активную мощность (2.4) в диссипативном двухполюснике при гармоническом напряжении (3.5). Согласно закону Ома (2.!) или (3.!2) этому напряжению соответствует синфазный гармонический ток 1=! соз(ы1+ ф) (3.31) с амплитудой /, определяемой первыми двумя равенствами (3.13). Из соотношений (2,4), (3.5) и (3.31) находим рь А!ь соь (ы! + ф) — 6(/т соз (О)1 + ф). эо Преобразуем эти равенства, воспользовавшись тригонометрической формулой для косинуса половинного угла: р,= Р+ р, (3.32) где а) Р = Н„ /2 = 6 (/и /2, (3.33) р = Рсоз2(го!+ф).
(3.34) и,с Таким образом, мгновенная активная мощность ('З.З2) состоит из постоянной составляющей (З.ЗЗ) и переменной составляющей ("З.З4) (рис. 3.9, а). Переменная составляющая изменяется с удвоенной частотой и имеет амплитуду, е) равную постоянной составляюРис 3.9. График мгновенной активиой моизиости ири гермоиичесиии венства мгновенная активная иоиевеииии мощность не принимает отриаательнык значений, а получается пульсирующей, обращаясь в нуль вместе с напряжением и током (рис.
3.9, б). Из формулы (3.31) и рис. 3.9, а видно, что за период гармонических колебаний (3.5), (3.31) переменная составляющая мгновенной мощности дважды имеет положительное значение и дважды — отрицательное. Соответствующие же площади на рис. 3.9, а получаются одинаковыми сверху (вертикальная штриховка) и снизу (горизонтальная штриховка). Это означает, что энергия, расходуемая эа период гармоническин колебаний переменной составляющей мгновенной активной мощности, равна нулю. В этом нетрудно убедиться, подставив мощность (3.34) в последнее равенство (1.5) и произведя интегрирование в пределах (О, Т).
Таким образом, постоянная составляющая мгновенной активной мощности является средней за период мощностью Р = р= = шг/Т, где гвг — энергия, расходуемая в течение периода гармонических колебаний. Поэтому расходование энергии при гармонических колебаниях в диссипативном элементе обусловлено фактически постоянной составляющей (3.33) мгновенной активной мощности. За счет же переменной составляющей (3.34) расходование энергии ускоряется (при р = О) нли замедляется (прн р„(0).
Если при постоянном напряжении (/ через диссипативный элемент протекает постоянный ток г'= У/)т = 6(l, то активная мощность (!.7) имеет значение Р )7(2 6 (/т (3.35) 91 0 = (/6г', ) = Ыэ . (3.37) Использование комплексных действующих значений величин (3.37) вместо комплексных амплитуд напряжения и тока означает деление на у)2 соответствующих уравнений, например (3.9)— (3.!2) и (3.15), (3.19). В формулах же типа (3.28), (З.ЗО) при этом делятся на -~Г2 числители и знаменатели дробей.
Это позволяет не загромождать формулы индексом ш для амплитуды колебаний. Аналогично, векторные диаграммы напряжений и токов можно строить для их комплексных действующих значений (3.37) . 7. Реактивная мощность. Рассмотрим мгновенную реактивную мощность (1.6) в двухполюснике, имеющем чисто реактивное сопротивление л =)Х ()7 = О, Х = | Х |).
Учитывая сдвиг фаз между напряжением и током на угол ~л/2, запишем их выражения в виде и= О соз(Ы+Ф), 1=)„з|п(ы)+Ф). (3.38) Здесь в соответствии с законом Ома амплитуда тока 7. = (/./Х (3.39) может иметь и положительное (при Х= О, ~э = я/2), и отрицательное (при Х«-О, ц~ = — и/2) значение. Отрицательное значение амплитуды колебаний означает изменение их фазы на угол я. Из формул (3.38) и (1.6) можно определить мгновенную реактивную мощность: р = р, = (/„,)„, з1п(о>1+ ф)соэ(ш(+ ф), или, с учетом формулы для синуса двойного угла, р, = — О ! з|п 2(~1+ ф) = О! з!и 2(ы1+ ф). (3.40) Здесь последнее равенство написано с учетом формул (3.36). 92 Сравнивая формулы (3.33) и (3.35), приходим к выводу, что средняя мощность (3.33), расходуемая в диссипативном элементе, равна постоянной активной мощности (3.35), если ) = ( / 1Г2, О = О, / 1) 2.
(3.36) Эти значения постоянного тока и напряжения называют действуюи(ими (эффективными) значениями гармонического тока и напряжения. Амперметры и вольтметры некоторых типов, предназначенные для измерений гармонических токов и напряжений, измеряют именно их действующие значения. С учетом формул (3.36) активная мощность (3.33) при гармонических колебаниях может быть записана в виде соотношений (3.35) для действующих значений тока и напряжения.
Как и для комплексных амплитуд, для действующих значений величин (3.36) можно использовать комплексную форму записи: Графики изменения вели- р и,, чин (3.38) и (3.40) при Х '- 0 р и хг (0 показаны на рис. 3.!О. Из соотношения (3.40) и рис. 3.10 видно, что мгновенная реактивная мощность изменяется с удвоенной частотой, как и переменная составляющая мгновенной активной мощности (3.34). Однако и этом слу- рнс, з.)о.
график мгноаенной реактивчае нет пОстОяннОЙ Составляю нан нанн[ната ннн Гааманнческнк наяещей мгновенной мощности. По- баннях этому изменение ее знака означает накопление энергии или возвращение в цепь накопленной энергии, т. е. перекачку энергии в цепь и обратно. Мгновенная реактивная мощность (3.40) определяется количественно ее амплитудой: Ре = ((.,(.(2 = ((( = Х(' = (('(Х. (3А1) Эта постоянная величина называется реактивной мощностью. Она может быть и положительной, и отрицательной в зависимости от знака Х (знака (). Последние равенства (3.41) написаны с учетом формулы (3.39). В них вместо сопротивления Х может быть использована реактивная проводимость двухполюсника В = — 1/Х. 8. Комплексная и полная мощности.
Рассмотрим общий случай, когда двухполюсник имеет комплексное сопротивление (3.20), т. е. содержит диссипативные и реактивные элементы. Прн этом и=(( соз(ха(+тр,), (=( соз(ха(+х(ч), (3.42) где амплитуды и начальные фазы напряжения и тока связаны соотношениями (3.27) .
Из равенств (1.6) и (3.42) определяем мгновенную мощность в рассматриваемом двухполюснике: р = ш' = К„( соз(ха(+ ф,) соэ(ха(+ х(ч). Очевидно, она состоит из мгновенных активной и реактивной мощностей, которые расходуются илн перекачиваются соответственно диссипативными и реактивными элементами двухполюсника. Если принять, что напряжение и создается источником э.д. с е (и=в), то согласно закону сохранения энергии (2.50) мощность (3.43) можно выразить в виде р = г( = 2„' иа(а + ~ иа(а = р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
