Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Кан можно упростить цепь, содержашую параллельно включенныс идеальный источник напряжения и идеальный источник тока? 2.10. Как изменится напрнженне на идеальном источнике тона, если последовательна с ним включить сопротивление ??? 2.11. Как изменится ток через идеальный источник напряжения, если параллельно с ним включить индуктивность 7.? 2.!2. При какам условии цепь может содержать треугольник, составленный нз идеальных источников напряженна? 2.13. Можно ли элементы 2 н 3 на рнс, 2.!7, е считать соединенными последовательно, если через них проходит одинаковый тон? 2.14. Могут ли активные элементы на рис.
2!7, г являться илеальнымп источниками напряжения? 2.15. Почему нельзя соединять последовательно идеальныс источники тока> 2.!6. Какие линейные двухполюсники, не содержащие нзтушки шшуктиинасти, обладают свойствами идеального индуктивного элечента? 2,!7. Какие линейные лвухполюсннки обладают сеайстнз* и отрицательного диссипативного сопротивлении, отрицательной диссипативной пп ~водшюсти. отрицательной индуктивностн и отрицательной емкости? 2.!В. Канне 35 двухполюсников содержит цепь, Изображенная на ппс. 2.17, т? 2.!9. Какими 60-ю способачи можно выделить четырехполюсник в пепи, нзо браженной на рис. 2.17, е? 2.20. Спальне треугольнинов содержкт цень, изображенная на рпс.
3 !7, й? 2.21. Сколько звезд содержит цепь, изображенная на рис. 2.17, а? 2.22. Какой энергетический смысл имеют первый и второй законы Киртгофа? 2.23. Можно лн все возможные деревья графа построить нз одного корня? 2.24. Сколько различных деревьев имеет граф мостовой цепи? 2.25. Какие главные сечения и главные контуры имеет граф мостовой цепи с деревьями, изображенными на рис. 2.2В? ГЛОВО Основные методы расчета электрических цепей Задачи по расчету цепей бывают двух типов. В одних задачах задаются свойства цепи, которые обеспечивают необходимые изменения сигналов.
При этом могут быть заданы, например, допустимые нормы искажения сигналов, частотные свойства цепей и т. п. По заданным свойствам должны быть определены требуемые схема цепи и параметры ее элементов. Такие задачи называют задачами синтеза целей. Задачи синтеза квляюхся весьма важными прн конструировании устройств свпзи. Они относятся к категории наиболее сложных задач и рассмагриваются в последней главе настоящего курса.
В других задачах схема цепи и параметры ее элементов задаются в качестве исходных данных. В этом случае подлежа~ анализу свойства цени, например степень искажений сигналов, частотные свойства н т. п. Такие задачи называют задачами пмллпза целей. На них базируется и синтез цепей. Эти задачи рассматриваются в последующих главах курса. Анализ свойств цепей связан с определением напряжений н токов в заданной цени.
Такое определение составляет содержание основных методов расчета цепей, которые рассматриваются в настоящей главе. й 3.1. РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В электрических цепях, используемых в устройствах связи, сигналы могут иметь сколь угодно сложную форму. Расчез цепей при этом упрощается, если сигналы представляюхся в виде спектра, содержащего гармонические спектральные составлпющис (см. й 1.3.2). Тогда линейные цепи следует рассчитывать при гармонических напряжениях и токах в соответствии с принципом суперпозицин (см. й 1.4.2).
Именно поэхому в настоящей главе будем акцентировать внимание на расчете гармонических напряжений и токов, включая постоянные напряжения и токи, как предельный (вырожденный) случай гармонических колебаний (см. й 1.3.2). указанное упрогцение расчета получается вследствие того, что в линейных цепях ~армоннческие колебании не изменяются по форме и по частоте (см. й 1.4.5). Однако сам расчет гармонических напряжений н токов в линейных цепях получается достаточно простым только в том случае, когда используется представление гармонических колебаний в комплексной форме.
!. Символический метод. Для представления гармонических колебаний в комплексной форме введем понятие операторов поворота векторов. Рассмотрим единичный вектор 1, направленный в декартовой системе координат вдоль положительной оси (рис. 3.1, а). Поворот вектора на угол и/2 будем рассматривать как его умножение на оператор поворота 1; ! ° !. Здесь поворот вектора осуществляется в положительном направлении, за которое принято направление, противоположное направлению вращении часовой стрелки. в) Рис 3.1. Операторы поворота векторов Еще один поворот единичного вектора на угол и/2 дает единичный вектор, направленный вдоль отрицательной оси, т. е.
вектор — 1 = ! ( — 1) =1 ! 1= ! 1'. Отсюда следует, что 1'= — 1 и 1=-~/ — 1, т. е. оператор поворота вектора на угол и/2 представляет собой мнимую единицу. Это позволяет рассматривать плоскость, в которой поворачивается вектор, как комплексную плоскость с вещественной осью абсцисс и мнимой осью ординат. Поворот единичного вектора ! ни произвольньш угол Ф будем рассматривать как его умножение на обобщенный оператор поворота е в (рис. 3.1, б).
Тогда ! =М'"~', — 1 = е'-е'" и — )=егыг' = =е '"г'. Здесь отрицательный знак угла Ф = — и и Ф = — и/2 означает поворот вектора в отрицательном направлении, т. е. в направлении вращения часовой стрелки. Если на операторы поворотов распространить правило сложения векторов (правило параллелограмма), то оператор может быть представлен в виде суммы векторов, являющихся его проекциями на вещественную и мнимую оси. Следовательно, на комплексной плоскости оператор поворота ем является комплексной величиной, что и выражается формулой Эйлера: е"а = сов Ф+)з)п Ф. (3.1) 81 Модулем и аргументом этой комплексной величины являются ! соответственно длина повернутого единичного вектора и угол его поворота: ~Е'~ — зГ-*оЗ..
*а= ~ .,з." =„Ее — """,' =Е. (Зд) Следует обратить внимание, что нри нахождении модуля (3.2) комплексной величины (3.1) берут сумму квадратов ев вещественной и мнимой составляющих без учета множителя !з= — 1. Это вытекает из геометрического правила сложения сторон параллелограмма (или прямоугольного треугольника) на рис.
3.1, б, где оператор 1 определяет лишь ориентацию соответствующей стороны параллелограмма (нли прямоугольного треугольника). Для перехода к гармоническим колебаниям (1.14) опустим нулевые индексы и примем угол Ф в формуле (3.1) равным фазе колебаний (1.10): ез~ ' ~ гп = сон (со!+ зр) + ! з(п (оз1+ зр). (З.З) Умножив обе части равенства (З.З) на Е/„, получим комплексную величину, которую называют комплексным напряжением и отмечают точкой над буквенным обозначением величины: й = (/ ез" ее'= и+)и, (3.4) где и = ()„сон(Ы+ зр), (3.5) и= ().з!п( !+ф). (3.6) Комплексное напряжение (3.4) отображают на плоскости комплексной переменной й вращающимся вектором длиной () (рис.
3.2, а). Вращение этого вектора происходит с угловой скоростью со, определяемой соотношением (1.11), поскольку угол его поворота Ф увеличивается с течением времени пропорционально со. Такое изображение колебаний называется векторной диаграммой. Формула (3,5) повторяет соотношения (1.9), (1,10) для гармонических колебаний и представляет здесь проекцию вращающегося вектора на вещественную ось. Проекция (З.б) этого вектора на мнимую ось тоже описывает гармонические колебания, Рнс.
3.2. Векторное изображение гкрмоннческнк колебаний сдвинутые по фазе на угол и/2. Эти колебания будем называть сопряженными по фазе относительно колебаний (3.5). Переход от гармонических колебаний Я5) к их комплексному значению (3.4) и дбратный переход ~и й) называют символическим методом расчета гармонических колебаний, а величину й — их символическим отображением.
Символический метод упрощает расчеты за счет использования показательной функции, описывающей комплексную величину (3.4). 2. Метод комплексных амплитуд. В ряде случаев расчеты упрощаются еще больше, если комплексное напряжение (3.3) представить в другом виде: й= () е'ыс»", или (3.7) (3.8) где Величину И"' назьйвают временнь»м множителем, е» вЂ” фазовым множителем, а 0 — комплексной амплитудой еармонических колебаний.
Для любых гармонических колебаний с заданной частотой ы, кбторая в линейной цепи нс изменяется (см. $ !.4.5), временнбй множитель одинаков. Таким образом, комплексная амплитуда дает полную информацию'о параметрах гармонических колебаний и их изменениях в линейной цепи. Поэтому на векторной диаграмме вместо вращающегося вектора длиной П (рис. 3.2, а) принято показывать неподвижный вектор, обозначаемый () (рис. 3.2, б). Угол поворота этого вектора на плоскости комплексной переменной й соответствует начальной фазе колебаний ф Рассмотрение вместо гармонических колебаний (3.5) их комплексной амплитуды (З.В) называют методом комплексных амплитуд.
При пользовании этим методом все промежуточные замены переменных могут не производиться. В этом случае делается непосредственный переход и О . 3. Законы Кирхгофа в комплексной форме. Покажем на примере законов Кирхгофа применение символического метода и метода комплексных амплитуд. В соответствии с символическим методом уравнения (2.36) и (2.48) могут быть переписаны для комплексных значений токов и напряжений; «, и ;Р 1 «Ы" = Х 1 «д",' »чо «чн «, л, 2", 0..«с~"л = ~ Й.«И". «=1 «=1 где 1„« = ««Ив', «)» = 0„»еь«"' — комплексные амплитуды и-х токов и напряжений: 1» =1 «Фм', Е «= Е»Р" — комплексные амплитуды и-х задающих токов и напряжений. аз После сокращения на времсннбй множитель полученные уравнения принимают вид Х(х= ~) и л — ~ а=~ а„ ~ ()ж,= ХЕ„„.
х=~ а=~ (3.9) (3.10) Уравнения (3.9), (3.10) могли быть записаны и сразу на основании законов Кирхгофа (2.36), (2.48) в соответствии с методом комплексных амплитуд. Аналогично суммарный ток двухполюсника (2.37) при параллельном соединении элементов и суммарное напряжение (2.44) при последовательном соединении элементов могут быть записаны в комплексной форме: ! ч~ 7.= Х 7., ()ч, = ~ й„„. х =1 е=! Рис. 3.3. Векторное слаженно гармонических колебаний 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
