Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Закон Ома в комглексной форме. Закон Ома (2.!) может быть переписан в комплексной форме: и. = М., !. = о ()., (3.12) где (7м= Стжсит', 7 =!и,снч' — комплексные амплитУды напРЯже- ния и тока в диссипативном элементе: ф„, т(т, — их начальные фазы. 84 Сложение комплексных амплитуд в соответствии с формулами (3,1!) может производиться и в векторной форме с учетом векторного изображения гармонических колебаний (рис.

3.2, б). Такое сложение производится по правилу параллелограмма. Для примера на рнс. 3.3, а показано векторное сложение двух гармонических колебаний в соответствии с формулой (3.1!). Это сложение можно производить также, совместив начало одного вектора с концом другого (рис. 3.3, б). Закон Ома (3.12) справедлив не только для отдельного диссипативного элемента, но и для любого диссипативного двухполюсника, составленного из различных диссипативньчх сопротивлений, которые соединены друг с другом в тех или иных сочетаниях. В частности, при последовательном и параллельном соединении диссипативных элементов параметры Я и 6 в равенствах (3.12) определяются формулами (2.45), (2.38).

Закон Ома (3.12) может быть переписан раздельно для амплитуд и начальных фаз напряжения и тока. Учитывая, что )х и Й являются вещественными положительными величинами и агд В = ага 6 = О, из равенств (3.12) получаем Г~ = ВГ, 1 = В Г).и ф. = фь (3.13) Согласно последнему равенству напряжение и ток в диссипативном двукполюснике совпадают по фазе, т. е. являются синфазными колебаниялш. Таким фазовым соотношениям соответствует 'векторная диаграмма, показанная на рис. 3.4, а. 4п Кп я,т Вп а) Ап гГ) г) д) Рис.

ЗЛ. Векториые диаграммы напряжения и тока при различных фазовых сааигах Рассмотрим соотношения между гармоническими напряжениями и токами в реактивных элементах. Г1редваритсльно заметим, что дифференцирование' комплексного напряжения (3.7) и комплексного тока г =),„е'"и означает их умножение на оператор )ы: или — =!ыГг' е"" =!гвй, — =!ы),„е"' = !ьз!. ег 'ш (3.14) Подставляя указанные комплексные величины и их производные (3.14) в первые равенства (2.6) и (2.11), получаем после сокращения на временной множитель: и.

= )Х)., !. = ! В Г)., где Х = Хг = го(., Х = Хс = — —, В = Вг = — —, В = Вс = озС. ! 1 еш ' еи'. (3.16) Учитывая знаки величин (3.16), равенства (3.!5) можно переписать раздельно для амплитуд и начальных фаз напряжения и тока; И = !Х!1, 1 = ! В !(1, ф,=»р,~п/2.

(3.17) В последнем равенстве учтено, что ага) =и/2 и ага( — 1)= = — и/2. Прн этом верхний знак относится к индуктивности, а нижний — к емкости. Полученные соотношения (3.15) — (3.17) н их сравнение с равенствами (2.6), (2.11) и законом Ома (3.12), (3.14) позволяют сделать три вывода. Во-первых, при использовании символического метода вместо дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения.

Это положение относится к любым соотношениям, описывающим процессы в линейных цепях, н существенно упрощает их расчеты. Во-вторых, по аналогии с равенствами (3.12), (3.13) соотношения (3.15), (3.17) следует рассматривать как закон Ома для реактивных элементов при гармонических колебаниях. При этом в закон Ома (3.15) входит мнимое реактивное сопротивление )Х и мнимая реактивная проводимость 1В.

Мнимость реактивных параметров означает сдвиг по фазе между напряжением и током на угол ~п/2, что и отражается последним равенством (3.17). В случае индуктивности напряжение опережает ток по фазе (рис. 3.4, б), а в случае емкости напряжение отстает по фазе от тока (рис. 3.4, в). Физически такие фазовые сдвиги объясняются природой реактивных сопротивлений и проводимостей (см. $ 2.1.5). В-третьих, вещественные значения (3.15) реактивных сопротивлений и проводимостей являются функциями частоты, обращаясь в нуль или в бесконечность либо на нулевой, либо на бесконечно большой частоте. Частотные зависимости этих величин для индуктивности показаны на рис.

3.5, а, а для емкости — на рис. 3.5, б. Такой характер частотных зависимостей обусловлен физической природой реактивных сопротивлений и проводимостей (см. $2.1.5). Закон Ома (3.15) справедлив для любь»х реактивных двухполюсников, состоящих иэ произвольно соединенных реактивных элементов. В этом случае вместо равенств (3.16) получаются более сложные соотношения. В частности, если двухполюсник содержит последовательно или параллельно соединенные реактивные элементы, то соответственно их реактивные сопротивления или проводимости складываются: Х= 2, Х», В= ~'„В», (3.!8) »-! »=! Эти формулы получаются аналогично равенствам (2.45), (2.38) на основании соотношений (3.!1).

Однако следует учесть, что в формулах (2.45), (2.38) сопротивления и проводимости складываются арифметически, а в формулах (3.18) — алгебраи- аб чески, поскольку реактивные со- т противления и проводимостимогут быть как положительными, так и отрицательными. 0 Диссипативные или реактивные элементы могут соединяться д друг с другом не только раздельно. Возможны также комбинированные соединения этих элементов в различных сочетаниях, в частности, последовательное или параллельное соединение двухполюсников с диссипативными и реактивными сопротивлениями или проводимостями, как показано на рис.

3.6, а, б. На этих рисунках К„„1, и 0 „1, — ам- уп а) плитуды активных и реактивных найряжений и токов, которые соответственно или совпадают по фазе (см. рнс, 3.4, а), или сдвинуты по фазе на угол -+-я/2 (см, рис. й) 3.4, б, в)с При этом, учитывая значения (г' = 1/лы + Оя, (рис. 3.6, а) и' 1 =1, +1, (рис.

3.6, б), из формул (3.13) и (3.15) получаем закон Ома в комплексной форме; О„=л1 ', 1 Здесь Х и У являются соответственно комплг тивлением и комплексной проводимостью сосгавно яика: а) л) Рис. 3.5. Частотные зависимости сопротивлений и проводимостей реактивных злементов ) й 1Х Рис. Зли Эквивалентные схемы комплексного сопротивлении и комплексной проводимости (3.19) ксным сопрого двухполюс- Х = й +)Х = ! /У, У = 0 + )В = 1/2.

(320) Последние равенства в этих формулах означают, что двухполюсники, на рис. З.б являются эквивалентными (взаимозаменяемыми) при равенстве их комплексных сопротивлений или проводимостей. Эти параметры не являются векторами, как комплексные'амплитуды гармонических колебаний.

Поэтому их комплексность отмечается не точкой сверху, а чертой снизу. Как любые комплексные величины, они могут быть выражены в показательной форме: 2 =Ы', У= Уез', (3.21) где г-~г~ =-га*.гг*=гГг, г=~ г~-теза*= ~Ге (зее1 — модули Л и У, называемые соответственно полным сопротивлением и полной проводимостью двухполюсника: ф= агре = агс1я — = — Х, к= агу У = агс1я — = — ф (3.23) в — аргументы 2 н У, которые будем называть фазой соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника.

Их физический смысл рассматривается ниже. Закон Ома (3.19) справедлив для произвольного двухполюсника с любым количеством диссипативных и реактивных элементов, соединенных друг с другом в различных сочетаниях. При этом формулы (3.20) — (3.23) сохраняются, но формулы (3.20) приобретают обобщенный смысл. В них )7 =- Ке2 = Я соз гр = 6/ У", 6 = не У = У соз Х = В/Я' (3.24) — вещественная, или реальная часть Л и У, называемая по- прежнему диссипативным сопротивлением и диссипативной проводимостью; Х = !пав = 2 з!пчр = — В/У', В = !щ У = Уз!пХ = — Х/Е' (3.25) — мнимая часть Л и У, называемая по-прежнему реактивным сопротивлением и реактивной проводимостью.

Последние равенства в формулах (3.24) и (3.25) получены путем освобождения от мнимости в знаменателях дробей Х = = 1/(6+ !В), У= 1/()С+)Х), соответствующих последним ра- венствам в формулах (3.20). Следует подчеркнуть, что мнимость реактивных составляю- щих сопротивления и проводимости обусловлена множителем 1 в формулах (3.20). Поэтому В и Х, а также 6 и В не могут скла- дываться непосредственно.

!1х надо суммировать либо с учетом мнимой единицы 1, как в равенствах (3.20), либо квадратично, как в формулах (3.22). Численное сложение актионых и реактивных сопротивлений или проводимостей возможно только в квадратичной форме. Это наглядно видно нз треугольников сопротивлений и проводимо- стей (рнс. 3.7), которые геометрически интерпретируют количест- венные соотношения (3.20) — (3.25). Например, при В=3 Ом и Х = 4 Ом полное сопротивление двухполюсннка равно не 7 Ом, а 5 Ом. Поэтому абсурдными являются выражения В+ Х и 6+ В1 Таким образом, е отличие от арифметического сложения диссипативных сопротииленнй (проводимостей) и алгебраического сложения реактивных сопротивлений (проводимостей) У диссипативные и реактивные со!гр! !"! )т! ь! противления (проводимости) скла!й дываются геометрически, ь" Из формул (2.45), (2.38) и (3.18), (3.20) вытекают правила Рис.

З.7. Треуголыыки сапрьтиьль- сложения комплексных сопротивнна и проводимостей лений и проводимостей соответст- Таким образом, соотношение между амплитудами напряжения и тока определяется полными сопротивлениями или проводимостями (З.22). Фазовый сдвиг, т. е. разность (сдвиг) фаз между напряжением и током (током и напряжением) определяется фазой сопротивления или проводимости (З.2З).

Как видно из двух последних равенств (3.27), при ~р) О напряжение опережает по фазе ток (см. рис. 3.4, г), т. е. ток отстает по фазе от напряжения, а при Х ) О ток опережает по фазе напряжение (см. рис. 3.4, д), т. е. напряжение отстает по фазе от тока, Поскольку Х = Х(ы), 'В = В(ы), фаза и модуль сопротивления являются функциями частотьи ~р = гр(ы), 2 = Л(ы). Это непосредственно вытекает из формул (3.22) и (3.23). Из формулы же (3.24) видно, что у двухполюсника, содержашего реактивные элементы, являются функциями частоты также дйссипативное сопротивление и диссипативная проводимость: )7 = В(ы), 6 = = О(ы). 5. Комплексный коэффициент передачи.

Характеристики

Список файлов книги