Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Такой ненулевой определитель присущ так называемым неособенным матрицам. Обратные матрицы существуют именно в случае неособенных матриц. Затем определяем дополнительную матрицу, которая образуется из подматрицы дерева заменой ее элементов на их алгебраические дополнения: Из формулы (2.58) следует, что недостающее количество уравнений по второму закону Кирхгофа соответствует числу хорд (2.6!). Чтобы можно было использовать это обстоятельство, вводят понятие главных контуров графа. Главным называют контур, составленный из ветвей дерева и одной (и только одной) хорды. Например, для графа мостовой схемы рис.
2.31 с деревом, показанным на рис. 2.32, получаются три главных контура, составленных из ветвей 2, 4, 6 с хордой 2, ветвей 3, 6, ! с хордой 3 и ветвей 6, ), 6, 4 с хордой 6. Из определения главных контуров следует, что их количество определяется числом хорд (2.61). Таким образом, уравнения по второму закону Кирхгофа следует составлять только для главных контуров. Эти уравнения можно записать в матричной форме, введя понятие матрицы главных контуров (матрицы контуров); каждая строка которой описывает состав того или иного главного контура. Для составления такой матрицы каждый главный контур обходится в направлении входящей в него хорды.
При этом ветви, входящие в контур, считают положительными при совпадении их ориентации с направлением обхода и отрицательными— в противном случае. Положительным ветвям приписывают коэффициент +1, отрицательным — коэффициент — 1, а ветвям цепи, не входящим в главный контур; — коэффициент О. Из этих коэффициентов, расположенных в порядке нумерации ветвей цепи, образуется строка главного контура. Эти строки, расположенные в порядке нумерации 'главных контуров, образуют исйомую матрицу. Например, для рассмотренных главных контуров мостовой схемы матрица главных контуров имеет вид 1 23 «5 е о~о-~о (А,„)= — ~ о ~ оо ~)з ~оо (2.78) 75 Здесь строки главных контуров пронумерованы в соответствии с номерами входящих в них ветвей-хорд.
Как и матрица главных сечений, матрица главных контуров может быть получена формализованно, без выделения главных контуров. Формализованное составление матрицы главных контуров заключается в комбинации столбца хорды с соответствующими столбцами ветвей дерева матрицы инциденций нли узловой матрицы. Признаком необходимой комбинации является получение нулевой матрицы столбца при алгебраическом сложении столбцов искомых ветвей.
При этом ветвям, столбцы которых суммируются со знаком «+», приписывают коэффициент +1, ветвям, столбцы которых суммируются со знаком « — », — коэффициент — 1, а ветвям, не входящим в искомую комбинацию,— коэффициеит О. В основе указанного признака нужной комбинации ветвей лежит то обстоятельство, что в любом замкнутом контуре каждая ветвь направлена от одного узла к другому.
Поэтому ее инцидентные коэффициенты в искомых столбцах матриц (Ан) и (А,) фигурируют дважды с противоположными зна- ' ками. Описанное правило составления матрицы ~лавных контуроа можно проверить иа частном примере матриц (2.78) и (2.б3), (2.70), что предоставляется читателю сделать самостоятельно. Если матрицу (2.78) умножить на матрицу напряжений (2.64), то получим матричное уравнение, описывающее второй закон Кирхгофа в топологической форме: (А „,) (и) = (0). Это соотношение эквивалентно трем алгебраическим уравнениям, составленным для мостовой цепи по второму закону Кирхгофа (2.43): и7 — и4+ ие = О, — и4 + из+ из=О, и~ + и4+ из — из= О. В общем виде матричное уравнение (2.79) справедливо для произвольной цепи.
8. Свойства матриц главных контуров. Рассмотрим подробнее основные свойства матриц (А„.). Как и для матриц главных сечений, примем новую нумерацию ветвей, обозначенную цифрами в скобках на рис. 2.3!. Тогда матрица (2.78) преобразуется таким образом: (г) (з)(4) (з) йй (2.80) (А„.),. (А„),„. Здесь столбцы ветвей дерева образуют подматрицу дерева главных контуров (А,)пп а столбцы хорд — подматрицу хорд главных контуров (А„)„„. Подматрица (А„)„. имеет в общем случае разное число строк и столбцов, а квадратная подматрица хорд (А„),„всегда равна единичной матрице соответствующего порядка.
Последнее обстоятельство обусловлено упорядоченной нумерацией ветвей, при которой нумерация главных контуров совпадает с нумерацией хорд. Таким образом, в общем случае матрица главных контуров разбивается на две подматрицы: (А-) = «А,),.(!)) (2.8!) Матричное уравнение (2.79) остается справедливым и для упорядоченной матрицы главных контуров (2.8!). Читателю полезно убедиться в этом на примере упорядоченной матрицы (2.80) . Сравним подматрицу дерева главных контуров с подматрицей хорд главных сечений. В первой из них число столбцов, а во второй число строк равно количеству ветвей дерева. Число же строк 76 в подматрице (А,)„„и число столбцов в подматрице (А,)„равно числу хорд.
Поэтому при транспонировании одной из этих подматриц количество ее строк и столбцов становится таким же, как и в другой подматрице. Такие матрицы можно складывать. Покажем, что сумма указанных подматриц равна нулю: (А„)„„ + (А„)), = (0), (А,У„ + (А,)„, = (0), (2.82) где (О) — нулевые матрицы с соответствующими числами строк и столбцов. На пересечении некоторого л-го столбца и (-й строки подматриц (А,)„„(А„),", стоят коэффициенты й-й ветви дерева и (-й хорды, входящих или не входящих в состав соответственно (-го главного контура и й-го главного сечения. Аналогична также структура подматриц (А,)'„„(А„)пм На рис. 2.33 изображены фрагменты графа некоторой цепи.
Здесь пунктирными окружностями показаны секущие линии для некоторых главных сечений, а пунктирными овалами — соответствующие главные контуры. Из рис. 2.33, а видно, что если й-я г й ! с ! ! Рис. 2.33. Фрагменты графа цепи ветвь дерева не принадлежит 7-му главному контуру, то и (-я хорда не входит н состав й-го главного сечения. При этом одноименные коэффициенты Ам подматриц (А,)„„и (А„)'„, равны нулю. На рис. 2.33, б, в показаны й-я ветвь дерева и (-я хорда, входящие в состав как 7г-го главного сечения, так и (-го главного контура.
При этом, если в матрице (А,),„коэффициент Ам = — 1, то в матрице (А„)'„одноименный коэффициент Ам= ! (рис. 2.33, б). Наоборот, если Ам=! в матрице (А,)„„, то в матрице (А„)ы соответственно Ам= — 1 (рис, 2.33, в) . Аналогично соотношения имеют место и в матрицах (А,)'„, (А„)„. Таким образом, а любых возможных случаях одноименные коэффициенты в складываемых подматрицах (2.82) дают в сумме нуль. Тем самым доказана справедливость соотношений (2.82). В рассмотренном частном случае справедливость этих соотношений подтверждается значениями матриц (2.80) и (2.74), где о — ! у о — ! (А,)„„= ( ! ! — !, (А„)„= ! — ! о~, откуда '! — ! О ! †! ! †! 77 о ! — 1! ( о (.4х)гх = — ! 1 % (А,)гс = ~-1 1 — ! 1 1 Π— 1 Из первого равенства (2.82) определяют искомую подматрицу дерева главных контуров (А,)„= — (А.)~, = — (А„)'(Ая ')'.
(2.83) Здесь последнее равенство написано на основании второго равенства (2.77) с учетом того, что прн транспонировании произведения матриц транспонированные матрицытсомножители изменяют порядок следования на обратный. Таким образом, как и в случае матрицы главных сечений, 1)?ормализованное составление матрицы главных контуров возможно с помощью нодматриц узловой матрицы, В заключение отметим, что на основании равенств (2.82) можно доказать еше одно свойство топологических матриц (2.75) и (2.8!): (А,.) (А „)' = (О), (А„) (А„)" = (О).
(2.84) Доказательство равенств (2.84) предоставляется читателю сделать самостоятельно. Ранее отмечалось, что построение дерева графа можно осушествлять машинным способом. Поскольку матрицы главных сечений и главных контуров однозначно соответствуют выбранному дереву, можно составить программу определения этих матриц на ЭВМ. Такое определение предельно упрошается при использовании соотношений (2.75), (2.77) и (2.8!), (2.83). Таким образом, в конечном счете матричные уравнения (2.73) и (2.79) могут быть составлены машинным способом. Для решения же таких уравнений ЭВМ обеспечиваются специальными стандартными программами.
Вопросы для самоконтроля 2.1. Какими уравнениям связаны напряжения н токи в линейных, параметрическик и нелипеиных пассивных элементах? 2.2. й1огут ли иметь форму прямоугольных импульсов напряжение на ем. кости и ток в индуктивности? '2.3. Какое сойрагивление прн и ( О имеет элемент с вальт-ампернай харак. теристикой, показанной на рис. 2.3, г? 2.4. Какую форме имеет ток в диссипативном элементе и в индуктивности при напряжении, заданном графиком на рнс. 2.б? 2.5. Как трансформируются задающие напряжения и токи в идеальном трансформаторе? 2.б.
Как изменятся напряжения на каждом из элементов цепи 'с источником тока (см. рис. 2.14, б), если последовательно с ним включить идеальный источник напряжения е? 2.7, Какое входное сопротивление в режимах холастога хода и короткого замыкания имеют трансформатор, конвертор и инвертор сопротивлений? 2.а Как можно упростить цепь, содержащую последовательно включенные идеальный источник напряжения и идеальный источник тока? 2.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
