Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ич О (0)= =(О, О, ..., 0)'. О (2.64) О 1 Π— 1 О (А.) Я = „,, (г|Ьяъаалаб)'. (2.66) ΠΠ— 1 1 О 1 Перемножать матрицы надо по правилу умножения строки на столбец, которое заключается в умножении каждого элемента строки первой матрицы на соответствующий элемент столбца второй матрицы и сложении полученных произведений. По этому правилу произведение матриц (2.66) дает следующую матрицу- столбец: бэ Здесыл — токи ветвей; ил — напряжения ветвей; М =п, — количество ветвей, нулевая матрица имеет М строк, а верхним индексом ат» обозначены транспонированные матрицы, т. е, матрицы, в которых Й-е столбцы и й-е строки переставлены местами (здесь й = !).
Например, для мостовой схемы с шестью ветвями (см. рис. 2.!О), которая имеет ориентированный граф, изображенный иа рис. 2.31, матрицы (2.64) имеют вид (у) = (1дз7лбюьсл)', (и) = (и, и»изи4 илие)", (0) = (000000)'. (2.65) На использовании топологических ма~риц основаны топологические методы расчета цепей, называемые также матричными методами. 2. Первый закон Кнрхгофа в топологической форме. Граф мостовой схемы имеет матрицу ннциденций (2.63). Рассмотрим произведение этой матрицы на матрицу токов (2.65): ;,+и — й (А) (!)= „',+,,' !э+и+и (2.67) Из графа на рис. 2.3! видно, что каждая строка матрицы (2.67) представляет собой алгебраическую сумму токов, сходягцихся соответственно в узлах а, б, в, г. С другой стороны, по первому закону Кирхгофа (2.35) каждая из этих сумм равна нулю:, й + !1 — ю1 = О, — й + !г — (ь = О, -!г-ц+!ь= О, м+ы+!б О.
(2.68) то С учетом этих уравнений матричное произведение (2.67) можно приравнять нулевой матрице (2.64), поскольку равенство матриц означает равенство их элементов: (А„) (!) =(О). (2.69) Таким образом, матричное уравнение ('2.89) идентично системе уравнений (2.б8), т. е. описывает в матричной форме систему уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для всех узлов мостовой схемы. Разумеется, уравнение (2.69), которое записано в общем виде, справедливо для любой цепи при соответствующих значениях матрицы токов ветвей и инцидентной матрицы. 3.
Узловые матрицы. Нетрудно видеть, что любое из уравнений (2.68) может быть получено сложением трех остальных урав- . нений. Это объясняется тем, что часть токов ветвей входит в складываемые уравнения дважды, но с противоположными знаками. После их приведения остаются только те токи, которые входят с противоположными знаками в оставшееся уравнение. Таким образом, из четырех уравнений (2.68) независимыми являются только три. Аналогично, в общем случае произвольной цепи, содержащей пт узлов, взаимно независимыми являются и„— — 1 уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа.
Поэтому и матричное уравнение (2.69) является избыточным, поскольку оно распадается на п„алгебраических, уравнений. Избыточность системы ' уравнений ('2.б8) устраняется, если для одного из узлов цепи не составлять уравнения по первому закону Кирхгофа. Остающаяся при этол система уравнений также может быть записана в матричной форме, если в матрице инциденций вычеркнуть какую-нибудь строку. При таком вычеркивании из матрицы инциденций получается матрица соединений, или узловая матрица цепи (А,).
Например„при вычеркивании последней строки в матрице (2.63) получается следующая узловая матрица: ! з 3 4 5 ь ! О ! Π— ! О а (А)= — ! ! о о о о †! о †! ! о (2. 70) проставляют 0 для ветвей, не входящих в это сечение, +1 Для ветвей, пересекающих соответствующую секущую линию в том же направлении, что и ветвь дерева этого сечения (внутрь или наружу), и — 1 для ветвей другого направления, входящих в это сечение. Например, для графа на рис. 2.32 с его выбранным деревом матрица главных сечений имеет вид ф Рис. 2.32. Сечении графа При использовании узловых матриц неизбыточная система уравнений по первому закону Кирхгофа описывается матричным уравнением, аналогичным (2.69): (А т) (1) = (О).
(2.71) В случае узловой матрицы (2.70) уравнение (2.7!) идентично нензбыточной 'системе нз.первых трех уравнений (2.68). 4. Сечения графа. Найденное выше количество независимых уравнений по первому закону Кирхгофа как раз соответствует числу ветвей дерева (2.59). Это позволяет заменить соотношение (2.71) другим неизбыточным матричным уравнением, 'использовав вместо узловой матрицы другую топологическую матрицу, связанную с ветвями дерева графа. Для этого вводят топологнческое понятие сечений графа. Если узел или часть узлов ориентированного графа окружить замкнутой линией, то некоторые ветви графа обязательно пересекут эту линию.
Ее всегда можно выбрать так, что каждая из указанных ветвей пересечет эту линию только один раз. Такие линии будем называть секущими. Например, для графа мостовой схемы (рис. 2.31) некоторые из секущих линий показаны пунктиром на рис. 2.32, где жирными линиями отмечены ветви выбранного дерева. Сечением графа назьсвают совокупность ветвей, пересеченных вьсбранной секущей линией. Главным сечением назьгвают сечение графа, содержащее одну (и только одну) ветвь дерева графа. Например, с учетом нумерации ветвей на рис.
2.31 для секущих линий ! и 1'(рис. 2.32) получаем сечение из ветвей 1, д, 5, а для секущей линии 5 — сечение из ветвей 3, 4, б. При этом первое из указанных сечений является главным, а второе таковым не является, поскольку оно включает две ветви дерева (4 и б). Матрицей главных сечений (матрицей сечений) называют . таблицу, составленную по типу матрицы инциденций (2.бд), в которой строки узлов заменены строками всех главных сечений по числу ветвей дерева (2.58). При этом в строке главного сечения 2 3 4 5 5 о ! о — ! о (Асс) = О ! О ! — ! о 2 (2.72) о †! †! о ! ! з Здесь строки главных сечений пронумерованы в соответствии с нумерацией секущих линий на рис.
2.32, а номера ветвей обозначены по рис. 2.31. В матрице (2.72) можно упорядочить расположение столбцов, как это сделано в $ 2.6.6. Однако при любой ее структуре матрицу главных сечений используют для описания первого закона Кирхгофа. 5. Первый закон Кирхгофа для главных сечений. Если матрицу (2.72) умножить на матрицу токов (2.64), то вместо (2.71) получим другое неизбыточное матричное уравнение: (А„) (!) = (О). (2.73) Действительно, это соотнощение по числу ветвей дерева (2.59) для данного графа распадается на три алгебраических уравнения: 6 +15 — 45=0, 42+14 45=0, !2 43+ 45+ !5 = О.
Здесь первое уравнение совпадает с первым уравнением (2.68), второе уравнение соответствует третьему уравнению (2.68) с измененными знаками, а третье уравнение являетси суммой двух последних уравнений (2.68). Указанное изменение знаков во втором уравнении обусловлено новым правилом знаков для ветвей главного сечения, а сложение двух последних уравнений (2.68) — тем, что секущая линия 3 (рис.
2.32) охватывает два узла. Аналогично из уравнений (2.68) матрица главных сечений (А„) может быть получена путем алгебраического сложения соответствующих строк матрицы инциденций (А,). Согласно уравнению (2.73) первый закон Кирхгофа (2.35) получается справедливым не только для токов ветвей, сходящихся в узле, но и для токов ветвей, входящих в любое сечение графа, в том числе в сечение, объединяющее ветви нескольких узлов. При этом неизбыточное матричное уравнение (2.73) выражает первый закон Кирхгофа для токов ветвей, входящих во все, главные сечения.
Это уравнение записано в общем виде и справедливо для произвольной цепи. 6. Свойства матриц главных сечений. Рассмотрим подробнее основные свойства матриц (А„). Как было отмечено, они могут быть получены путем алгебраического сложения строк матрицы инциденций. Чтобы знать, какие строки следует складывать, надо предварительно наметить главные сечения.
Однако без такой операции можно обойтись, если перенумеровать ветви графа, присвоив первые номера ветвям выбранного дерева, а последующие 72 номера — хордам этого дерева. Такая упорядоченная нумерация отмечена на рассмотренном графе (см. рис. 2.3>) цифрами в скобках. При этом топологические матрицы (2.70) и (2.72) принимают вид и > !з) <з> (д) (з) гз) Пд <З) Сз> Ы> >з) йй )>ос о — ) >П1> (А) — ) о ) ) о о в~, (А„,)=~о Π— ~ — « — ' (сй (л,> (л,) (л.) (л ) (2.74) В этих матрицах столбцы ветвей дерева образуют квадратные подматрицы дерева (А,), (А,)„„ а столбцы хорд — подматрицы хорд (А,), (А„)„„которые в общем случае не являются квадратными.
Подматрицы второй матрицы (2.74) будем называть подматрицами главных сечений. Важнейшей особенностью матрацы главньсх сечений ('2.74) является то, что ее подматрица дерева равна единичной матрице ('!) соответствующего порядка. В рассматриваемом случае )>> ! ) !з) /) о о)р> (А,)„= о > о !з> ')о о ) />з> Отмеченное свойство обусловлено самим выбором нумерации главных сечений, совпадающих с нумерацией ветвей дерева. С учетом этого обстоятельства матрицы (2.74) могут быть записаны в следующем общем виде: (Ау) =((А,)(А,)), (А„) =((!)(А.)„). (2.75) Использование подматриц узловой матрицы позволяет формализовать составление матрицы главных сечений без построения главных сечений.
Для этого достаточно вспомнить, что единичная матрица получается в результате перемножения обратных матриц: (А, ')(А,) =(А,)(А, ')=(!). Узловая матрица может быть умножена на (А, ) только слева, поскольку она имеет два функциональных столбца-подматрицы. Отсюда получаем (Ад ')(Ау) =(Ад ')((Ад)(А„))=((!)((Ад ')(А,))). (2.7б)' Сопоставляя матрицу главных сечений (2.75) с равенством (2.76), находим искомую матрицу и ее подматрицу хорд: (А,„) = (А, ')(А,), (А„)„ = (А, ')(А„).
(2.77) Справедливость этих общих выражений легко устанавливается и в приведенном примере. Для этого рассмотрим подматрицу дерева о о( (Ад)= — ) а — >/. о — ) о 73 узловой матрицы (2.74). Определение обратной матрицы произ- водится в четыре этапа. Сначала находим определитель подмат- рицы дерева о о — Π— ! о — ! о — !)'+'~ о — !) ( — !)'+' — ! — ! — о~ о о ( — 1)' "! — 1 о о — ! -« ° / о Π— ! о о о о — 1 о о о — ! — 1О ! оо! 010 Теперь находим взаимную матрицу дерева путем траиспонирования дополнительной матрицы: / — ! о 01 (А,)=(А„)'= ~ о о!). 11О Наконец, определяем обратную матрицу дерева: (1 О О! (А, ') =(А,)/)А,) = о о — 1~. — — о Умножая эту матрицу на узловую матрицу (2.74) и на ее подматрицу хорд, получаем соответственно матрицу главных сечений (2.74) и ее подматрицу хорд.
Этот результат совпадает с общими выражениями (2.77). Матричные уравнения (2.7!), (2.73) остаются справедливыми и для упорядоченных матриц (2.75), поскольку при упорядочении нумерации ветвей графа соответственно изменяется нумерация токов. Читатель может убедиться в этом на примере матриц (2.70), (2.72) и (2.74). 7. Топологическая форма второго 'закона Кнрхгофа. Матричное уравнение (2.73) не позволяет определить токи всех ветвей, поскольку общее число ветвей (2.58) превышает количество главных сечений, соответствующее числу ветвей дерева (2.59). Однако недостающее число алгебраических уравйеиий можно составить для напряжений ветвей по второму закону Кирхгофа, учитывая, что напряжения и токи ветвей взаимосвязаны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
