Control System Toolbox (1086791), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

k = acker(А, В, р)

Здесь аргументы А и В — матрицы ss-модели, р — вектор желаемых полюсов.

Возвращаемая величина k — вектор коэффициентов усиления обратной связи.

Функция place по назначению аналогична предыдущей функции, но может использоваться как для одномерных, так и для многомерных систем:

К = place(А, В,р) [К,prec,message] = place(А, В, р)

Аргументы этой функции те же, что у функции acker. Возвращаемые величины:

• K — матрица коэффициентов усиления;

• ргес — число точных десятичных цифр у полюсов найденной замкнутой системы;

• message — предупреждение, выдаваемое, если некоторые полюсы замкнутой системы отличаются от желаемых более чем на 10 процентов.

Функция estim формирует наблюдающее устройство (наблюдатель):

est = estim(sys,L) est = estim(sys, L, sensors, known)

Функция estim(sys, L) возвращает ss-модель наблюдателя для непрерывной модели (все входы модели предполагаются случайными и неизмеряемыми, а все выходы измеряемыми) в соответствии с уравнениями

,

где — оценки переменных состояния и выхода объекта.

Наблюдатель для дискретной модели описывается аналогичными уравнениями.

Функция est = estim (sys, L, sensors, known) работает с объектами управления более общей структуры, позволяя учитывать измеряемые сигналы управления u, случайные измеряемые входы w, а также измеряемые выходы у и неизмеряемые выходы z:

Индексы векторов sensors и known определяют, какие выходы являются измеряемыми и какие входы известными. Полученный наблюдатель est использует для вычисления оценок переменных состояния как вектор u, так и вектор у:

Функция reg формирует динамический регулятор (компенсатор) rsys для заданной в пространстве состояний модели объекта управления sys, матрицы коэффициентов обратных связей по переменным состояния К и матрицы L коэффициентов обратных связей наблюдателя:

rsys = reg (sys, K, L)

rsys = reg (sys, К, L, sensors, known, controls)

Уравнения регулятора имеют вид

.

Аргумент controls определяет, какие входы являются измеряемыми, остальные аргументы — как у предыдущей функции. Возвращаемая величина — модель регулятора в ss-форме.

Функции sgrid и zgrid строят сетки постоянных коэффициентов демпфирования от 0 до 1 с шагом 0,1 и собственных частот от 0 до 10 рад/с с шагом 1 рад/с на плоскостях р и z соответственно:

sgrid sgrid(z,wn)

zgrid zgrid(z,wn)

Функции sgrid(z,wn) и zgrid(z,wn) строят сетки постоянных коэффициентов демпфирования и собственных частот для значений, указанных в векторах z и wn.

7.3.13. Аналитическое конструирование регуляторов

Для аналитического конструирования регуляторов служит группа перечисленных ниже функций. Она содержит следующие семь функций.

Функция lqr осуществляет синтез оптимального регулятора для непрерывной системы:

[K, S, e] = lqr (A, B, Q, R) [K, S, e] = lqr (А, В, Q, R, N)

Функция [K, S, e] = lqr (А, В, Q, R, N) рассчитывает матрицу коэффициентов обратных связей К, такую, что закон управления u = -Кх минимизирует квадратичный критерий качества:

для непрерывной ss-модели. Если аргумент N опущен, то по умолчанию N = 0. В дополнение к матрице коэффициентов обратных связей К возвращается решение S непрерывного уравнения Рикатти и собственные значения матрицы замкнутой системы е = eig(A - ВК). При этом матрица К определяется выражением

К = R^-1(B^TS+N^T).

Функция dlqr осуществляет синтез оптимального регулятора для ретной системы:

[K, S, e] - dlqr(A,B,Q,R) [K, S, e] = dlqr (А, В, Q, R, N)

Смысл аргументов и возвращаемых величин — как у предыдущей функции.

Функция Iqry осуществляет синтез оптимального регулятора с ограничением на выходные сигналы:

[K, S, e] = lqry(sys, Q, R) [K, S, e] = lqry(sys, Q, R, N)

Здесь sys — имя модели объекта. Остальные аргументы и возвращаемые величины — как у двух предыдущих функций. Отличие данной функции от функции lqr состоит в виде используемого критерия оптимизации. В данном случае

.

Функция lqrd осуществляет синтез дискретного регулятора для непрерывной системы:

[Kd, S, e] = lqrd(A, B, Q, R, Ts) [Kd, S, e] = lqrd(A, B, Q, R, N, Ts)

Рассматриваемая функция предназначена для расчета дискретных регуляторов с обратными связями по всем переменным состояния с динамическими характеристиками, аналогичными характеристикам непрерывного регулятора, найденного с помощью функции lqr.

Функция, вызванная в форме [Kd, S, e] = lqrd (А, В, Q, R, N, Ts), paccчитывает дискретный закон управления

u(n) = -K_dx(n),

который минимизирует критерий качества, эквивалентный непрерывному критерию, используемому в функции lqr.

Аргумент Ts — интервал дискретизации, остальные аргументы и возвращаемые величины аналогичны используемым в функции lqr.

Функция kalman осуществляет синтез фильтра Калмана:

[kest, L, P] = kalman (sys, Qn, Rn, Nn)

[kest, L, P, M, Z] = kalman(sys, Qn, Rn, Nn) % Только для дискретных моделей

[kest, L, P] = kalman(sys, Qn, Rn, Nn,s ensors, known)

Рассматриваемая функция выполняет синтез фильтра Калмана для оценки переменных состояния объекта управления на основе данных о случайных внешних возмущениях и ошибках измерений.

Для непрерывного случая .предполагается заданной следующая модель объекта управления:

с известными входами u и возмущениями по входам w и измерениям v, которые являются «белым шумом» со следующими характеристиками:

М {w} = M{v} = 0,

М {w(t)w^T()} = Q_n(t-),

M {v(t)v^T()} = R_n ( t-),.

M {v(t)w()} = N_n ( t-),.

Синтез наблюдателя для оценивания вектора переменных состояния объекта проводится исходя из минимизации установившейся ошибки оценивания

.

Оптимальным решением является фильтр Калмана, описываемый уравнениями

,

где матрица коэффициентов обратных связей L определяется на основе решения алгебраического матричного решения Рикатти.

Аналогично определяется фильтр Калмана и для дискретного случая.

Аргументы данной функции следующие:

• sys — имя модели объекта;

• Qn, Rn, Nn — матрицы, определяющие характеристики возмущений и поясненные выше;

• sensors и known — векторы, определяющие, какие выходы системы
  измеряются и какие входы известны (все другие входы предполагаются
  случайными и неизвестными).

Возвращаемые величины:

• kest — ss-модель фильтра Калмана;

• L и Р — матрицы приведенного вида;

• М — обновленная матрица обратных связей;

• Z — ковариационная матрица ошибок оценивания в установившемся режиме.

Функция kalmd осуществляет синтез дискретного фильтра Калмана для непрерывной системы:

[kest, L, P, M, Z] = kalmd(sys, Qn, Rn, Ts)

Рассматриваемая функция рассчитывает дискретный фильтр Калмана с динамическими характеристиками, подобными характеристикам непрерывного фильтра, рассчитанного с помощью функции kalman. Фактически эта функция предназначена для цифровой реализации непрерывного фильтра. Аргумент Ts — интервал дискретизации. Остальные аргументы и возвращаемые величины— как у функции kalman.

Функция lqgreg формирует так называемый линейный квадратичный гауссов регулятор (ЛКГ-регулятор):

rlqg = lqgreg(kest, К) rlqg = lqgreg(kest, К, controls)

rlqg = lqgreg(kest,K,'current') % Только для дискретных моделей.

Рассматриваемая функция формирует ЛКГ-регулятор путем соединения, рассчитанного с помощью функции kalman фильтра Калмана и матриццы коэффициентов обратных связей, рассчитанной с помощью функций lqr или lqry. ЛКГ-регулятор является оптимальным и минимизирует некоторый квадратичный критерий качества, оценивающий эффективность регулирования и затраты на управление. ЛКГ-регулятор синтезируется как динамический объект, обеспечивающий фильтрацию шумов измерений выходных сигналов объекта управления.

В непрерывном варианте данный регулятор имеет следующее описание:

где y_v — вектор измеряемых выходов объекта управления.

Аналогичный вид имеет и описание регулятора для дискретного варианта. Аргументы функции следующие:

• kest — имя фильтра Калмана, синтезированного с помощью функции kalman;

• К — матрица обратных связей (найденная с помощью функций lqr, dlqr или lqry);

• аргумент 'current' задает расчеты сигнала управления на основе текущего измерения, то есть не в режиме реального времени;

• вектор индексов controls указывает, какие входы наблюдателя являются измеряемыми сигналами управления ud.

Возвращаемая величина — ss-модель ЛКГ-регулятора с именем rlqg.

7.3.14. Решение матричных уравнений

Следующие функции используются для решения матричных уравнений с повышенной эффективностью.

Функция саге находит решение непрерывного алгебраического уравнения Рикатти:

[X, L, G, rr] = care(A, B,Q) [X, L, G, rr] = care(А, В, Q, R, S, E)

[X, L, G, report] = care(A, B, Q, ..., 'report')

[X1, X2, L, report] = care(A, B, Q, ...,' implicit')

Функция [X, L, G, rr] = care(A,B,Q) находит единственное решение алгебраического уравнения Рикатти

Ric(X) = А^ТХ + ХА - ХВВ^ТХ + Q = 0

в виде такой матрицы X, что все собственные значения матрицы замкнутой системы А - ВВ^ТХ расположены в левой полуплоскости комплексной переменной p. Кроме этого, функция возвращает:

• собственные значения L матрицы А - ВВ^ТХ;

• матрицу коэффициентов обратных связей G = В^ТХ;

• относительную невязку решения rr, определяемую выражением

.

Функция [X, L, G, rr] = саге (А, В, Q, R, S, Е) решает обобщенное уравнение Рикатти вида

Ric(X) = А^ТХЕ + Е^ТХА - (Е^ТХВ + S)R^-1(B^TXE + S^T) + Q = 0.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы