Control System Toolbox (1086791), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

>> linspace (0,10, 6)

ans =

0 2 4 6 8 10

Функция logspace возвращает вектор-строку логарифмически возрастающих частот:

logspace(d1,d2) logspace(d1,d2,N)

Этой функцией создается вектор-строка, элементами которого являются частоты, логарифмически равномерно возрастающие на отрезке [10^d1, 10^d2]. Число элементов N по умолчанию равно 50. Пример:

>> logspace(0.1, 1, 6)

ans =

1.2589 1.9055 2.8840 4.3652 6.6069 l0.0000

Функция ltiview открывает окно просмотра LTI моделей:

ltiview ltiview(sysl, sys2, ..., sysn)

ltiview('plottype', sys1, sys2, ..., sysn)

ltiview('plottype', sys, extras)

ltiview('clear', viewers)

ltiview('current', sys1, sys2, ..., sysn, viewers)

Функция margin вычисляет запасы устойчивости по фазе и амплитуде:

margin(sys) [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys)

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin (mag, phase, w)

Функция margin (sys) строит логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы с указанием запасов ее устойчивости.

Функция [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin (sys) рассчитывает запас устойчивости по амплитуде (Gm), по фазе (Pm) и соответствующие частоты для одномерной разомкнутой системы sys. Если имеется несколько точек пересечения амплитудной характеристики на уровне 0 дБ и фазовой на уровне –180, то возвращаются наименьшие значения запасов устойчивости.

Функция [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin (mag, phase, w) возвращает значения запасов устойчивости, вычисленных по значениям массива точек (mag, phase, w), где mag — амплитуда, phase — фаза, w — частота. В этом случае для определения запасов устойчивости необходимо выполнить интерполяцию для определения соответствующих точек пересечения.

Пример:

>> hd = tf([0.04798 0.0464], [1 -1.81 0.9048], 0.1)

Transfer function:

0.04798 z + 0.0464

---------------------------

z^2 - 1.81 z + 0.9048

Sampling time: 0.1

>> [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin (hd);

[Gm,Pm.,Wcg,Wcp]

ans = 2.0517 13.5711 5.4374 4.3544

Теперь можно построить нужные характеристики:

>> margin (hd)

Функция nyquist возвращает диаграмму Найквиста (годограф):

nyquist(sys) nyquist (sys, w)

nyquist (sys1, sys2, . . . , sysN) nyquist (sys1, sys2, . . . , sysN,w)

nyquist (sys1, 'PlotStylel', .. . , sysN, ' PlotStyleN' )

[re,im,w] = nyquist (sys) [re,im] = nyquist (sys, w)

Аргументы этой функции уже описывались. Возвращаемые величины:

• диаграмма Найквиста (в многомерном случае — для каждого канала «вход/выход»);

• re и im — соответственно, векторы значений вещественной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи для заданного набора частот.

Пример построения диаграммы Найквиста:

>> Н - tf [2 5 1], [1 2 3])

Transfer function:

2 s^2 + 5 s + 1

------------------------

s^2 + 2 s + 3

>> nyquist(H)

Для построения диаграммы Найквиста с «сеткой» достаточно иисполнить команду вывода «сетки»:

>> grid

Функция nichols возвращает годограф Николса:

nichols(sys) nichols(sys, w)

nichols(sys1, sys2, ..., sysN) nichols(sys1, sys2, ..., sysN, w

nichols(sys1,'PlotStyle1', ..., sysN, 'PlotStyleN')

[mag,phase,w] = nichols(sys) [mag,phase] = nichols(sys,w)

Аргументы — те же, что у предыдущей функции. Возвращаемые величины:

• годографы Николса;

• mag и phase — массивы значений модуля и фазы комплексного комплексного коэффициента передачи;

• w — соответствующий вектор частот.

Для примера построим годограф Николса для одномерной системы с передаточной функцией

и нанесем на график «сетку»:

>> num = [-4 48 -18 250 600)] ; den = [l 30 282 525 60];

>> W=tf (num,den) ; nichols (W); ngrid

Результат вилен на графике…..

Функция ngrid (без аргументов) наносит диаграмму (сетку) Николса на одноименный годограф.

Функция sigma осуществляет построение частотной характеристики сингулярных чисел модели:

sigma (sys) sigma (sys, w)

sigma (sys, w, type) sigma (sys1, sys2, . . . , sysN)

sigma (sys1, sys2, . . . , sysN, w)

sigma (sys1, sys2, . . . , sysN, w, type)

sigma (sys1, 'PlotStyle1', . . . , sysN, 'PlotStyleN')

[sv,w] = sigma (sys) sv = sigma (sys, w)

Для непрерывных моделей рассматриваемая функция вычисляет частотную характеристику сингулярных чисел матрицы W(j). Для дискретных моделей с дискретной матричной передаточной функцией W(z) вычисляется частотная характеристика матрицы W(e^jTs) для диапазона частот от 0 до /Ts. Частотные характеристики сингулярных чисел являются обобщением понятия логарифмических частотных характеристик и оказываются весьма полезными при анализе робастности.

Аргументы этой функции следующие:

• sys, sys1, sys2,..., sysN — имена моделей;

• w — диапазон частот, w = {wmin,wmax};

• 'PlotStyle1', ..., 'PlotStyleN' — аргументы, определяющие стили графиков (типы линий);

• аргумент type задает модификацию частотной характеристики сингулярных чисел:

• 1 — для W^-1(j);

• 2 — для I + W(j);

• 3 для I + W^-1(j).

Возвращаемые величины:

• графики частотных характеристик сингулярных чисел для моделей с указанными именами;

• sv — массив значений сингулярных чисел;

• w — соответствующий вектор частот,

Пример применения функции sigma:

>> Н = [0 tf([3 0], [l 1 10] ) ; tf([1 1], [1 5]) tf(2, [1 6]) ]

Transfer function from input 1 to output.

#1: 0

s + 1

#2 -------------

s + 5

Transfer function from input 2 to output...

3 s

#1: --------------

s^2 + s + 10

2

#2: ----------

s + 6

>> subplot (211); sigma(H); subplot(212); sigma(H, [],2) ;

Постройте по этому примеру графики.

7.3.10. Композиция систем

Функции композиции систем позволяют формировать системы различной структуры, используя в качестве элементов такой структуры LTI-модели. Это нечасто применяемые функции, поэтому мы ограничимся упоминанием их имен и назначения:

• append — объединение LTI-систем путем объединения входов и выходов;

• augstate — дополняет выходы переменными состояния модели;

• feedback — образование замкнутой структуры из двух систем;

• connect — построение LTI-модели на основе структурной схемы;

• conv — умножение двух полиномов;

• lft — образование системы с перекрестными связями (соединение систем так называемой звездой Редхеффера);

• ord2 — формирование модели 2-го порядка;

• parallel — обобщенное параллельное соединение (см. также процедуру «сложения» систем в разделе «Арифметические операции с моделями»);

• series — обобщенное последовательное соединение (см. также процедуру «умножения» систем в разделе «Арифметические операции с моделями»);

• stack — создание массива моделей (все модели имеют одинаковое число входов и выходов);

Более подробная информация о данных функциях может быть получена с помощью справочной системы MATLA.B или командой help имя_функции.

7.3.11. Редукция порядка модели

Для осуществления редукции моделей служат 4 функции.

Функция balreal возвращает сбалансированную реализацию ss-модели, которая имеет равные грамианы управляемости и наблюдаемости:

sysb = balreal(sys) [sysb,g,Т,Ti] = balreal(sys)

Здесь аргумент sys — имя исходной (несбалансированной) модели. Возвращаемые величины:

• sysb — сбалансированная модель;

• g — вектор, содержащий диагональные элементы сбалансированного грамиана;

• Т и Ti — матрица преобразования подобия и обратная ей матрица.

Функция modred используется (обычно вместе с функцией balreal) для понижения порядка модели:

rsys = modred(sys,elim) rsys = modred(sys,elim,'mdc')

rsys = modred(sys,elim,'del')

Здесь:

• sys — имя исходной модели;

• elim — вектор, элементы которого являются номерами подлежащих удалению переменных состояния;

• 'mdc' — задает метод понижения размерности, заключающийся в приравнивании производных удаляемых переменных состояния нулю и решении системы уравнений для определения их установившихся значений;

• 'del' - задает метод понижения размерности, при котором просто удаляются переменные состояния, определяемые вектором elim. Этот способ не гарантирует сохранения значения коэффициента передачи, но более точно аппроксимирует переходные процессы в модели.

Возвращаемая величина rsys - модель, имеющая порядок на length (elim) меньше, чем исходная.

Рассмотрим пример. Пусть исходная модель имеет передаточную функцию

Понизим ее порядок, построив вначале с помощью функции balreal ее сбалансированную реализацию:

>> W = tf([1 11 36 26], [1 14.6 74.96 153.7 99.65]);

>> [Wb,g] = balreal (W) ; g'

ans =

0.1394 0.0095 0.0006 0.0000

Три последних диагональных элемента грамиана здесь имеют малые значения по сравнению с первым элементом, поэтому порядок модели можно понизить до первого, удалив соответствующие переменные состояния. С этой целью используем функцию modred в двух модификациях: в первом случае гарантируем сохранение коэффициента передачи, во втором — просто удалим переменные состояния:

>> Wmdc = modred(Wb, 2:4, 'mdc') ; Wdel = modred(Wb, 2 :4, 'del') ;

Сравним теперь частотные характеристики редуцированных моделей с частотными характеристиками исходной модели:

>> bode(W, '-', Wmdc, 'x', Wdel, '*')…..

Как будет видно из графика, частотные характеристики редуцированной моделли Wdel более точно, чем характеристики модели Wmdc, воспроизводят частную характеристику исходной системы.
Проведем аналогичное сравнение для переходных процессов:

>> step(W, '-', Wmdc, '-.', Wdel, '-')

Обратите внимание, что редуцированная модель Wdel точнее аппроксимирует переходный процесс, а модель Wmdc — установившееся значение.

Функция minreal строит минимальную реализацию для некоторой мoдели. При этом удаляются неуправляемые или ненаблюдаемые переменные состояния и выполняется сокращение совпадающих нулей и полюсов. Результирующая модель имеет минимальный порядок и те же самые частотные характеристики, что и первоначальная модель системы. Функция записывается в виде:

sysr = minreal (sys) sysr = minreal (sys, tol)

Смысл аргументов и возвращаемой величины пояснен выше.

Функция sminreal выполняет понижение порядка системы за счет удаления переменных состояния, не оказывающих влияния на отклик системы, вызываемый входным сигналом:

msys = sminreal(sys)

7.3.12. Традиционное проектирование систем

Небольшая группа функций служит целям традиционного проектирования систем. Три из этих функций allmargin, margin и rlocus уже были рассмотрены.

Функция rlocfind осуществляет подбор коэффициента передачи звена обратной связи по заданному набору полюсов:

[k,poles] = rlocfind(sys) [k,poles] = rlocfind(sys,p)

Функция [k,poles] = rlocfind(sys) выполняется в интерактивном режиме после выполнения функции rlocus, при этом йа комплексной плоскости указывается желаемое положение полюса.

Функция [k, poles] = rlocfind (sys, p) аналогична, но желаемые полюсы задаются в векторе-строке р.

Возвращаемые величины: обобщенный коэффициент усиления k и вектор полюсов poles.

Для примера создадим модель W и зададим полюс, равный -2:

>> W=tf([2 5 1],[1 2 3]); rlocus(W)

>> [k, poles] = rlocfind(W, -2)

k = 3.0000

poles =

-2.0000

-0.4286

Результат расчета: при k = 3 полюса замкнутой системы равны -2 и -0,4286.

Функция acker возвращает значение вектора усиления обратной связи, обеспечивающего желаемое расположение полюсов для одномерных систем:

Характеристики

Список файлов лабораторной работы