Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

>> H - zpk({[0];[-0.5]},{[0.3];[0.1+i 0.1-i]},[1;2],-1)

Zero/pole/gain from input to output...

z

#1: -------------

(z-0.3)

2 (z+0.5)

#2: ----------------------
(z^2 - 0.2z + 1.01)

Sampling time: unspecified

>> [z,p,k] = zpkdata(H)

z =

[ 0]

[-0.5000]

p =

[ 0.3000]

[2x1 double]

k =

1

2

Функция ssdata возвращает матрицы (и величину интервала дискретизации в дискретном случае) ss-модели:

[a,b,c,d] = ssdata(sys) [a,b,c,d,Ts] = ssdata(sys)

Функция dssdata возвращает информацию о матрицах (и о величине интервала дискретизации) ss-модели в неявной форме Коши (см. описание функции dss):

[a,b,c,d,e] = dssdata(sys) [a,b,с,d,e,Ts] = dssdata(sys)

Функция frdata возвращает информацию о комплексном коэффициенте передачи объекта. Является обратной по отношению к функции f rd. Записывается в виде:

[response,freq] = frdata(sys)

[response,freq,Ts] = frdata(sys)

[response,freq] = frdata(sys,'v')

Смысл всех аргументов и возвращаемых величин пояснен выше.

Функция get возвращает информацию о текущих свойствах модели:

get(sys) Value = get(sys,'PropertyName')

7.3.2. Получение информации об отдельных характеристиках модели

Данную группу образуют следующие функции, которые приведем справки и представлены лишь своими именами:

• class — возвращает информацию о типе модели (tf, zpk, ss или frd);

• hasdelay — тестирует LTI модель на наличие задержки;

• isa — осуществляет проверку, является ли LTI-модель моделью заданного типа;

• isct — осуществляет проверку, является ли LTI-модель непрерывной:

• isdt — осуществляет проверку, является ли LTI-модель дискретной:

• isempty — осуществляет проверку, является ли LTI-модель пустой:

• isproper — осуществляет проверку, является ли LTI-модель правильной;

• issiso — осуществляет проверку, является ли LTI-модель одномерной;

• ndims — возвращает информацию о размере вектора переменных состояния модели х;

• size — возвращает информацию о размерах матриц модели.

Эти функции достаточно просты, так что ограничимся парой примеров на их применение:

>> isa(rand(3,4),'double')

ans =1

>> sys = rss (3,1,1,3); ndims(sys)

ans = 4

7.3.3. Преобразование моделей

К функциям преобразования моделей относятся следующие 12 функций, для краткости описания указанные только именами:

• c2d — преобразует непрерывную модель в дискретную;

• chgunits — изменяет размерность частоты в frd-модели;

• d2c — преобразует дискретную модель в непрерывную;

• d2d — изменяет интервал дискретизации в дискретной модели.

• delay2z — преобразует задержки в дискретно-временные модели или FRD-модели;

• frd — преобразует LTI-модель в frd-форму;

• pade — вычисляет Паде-аппроксимации для задержек;

• reschare — изменяет образ LTI массива;

• residue — выполняет частичное расширение дроби;

• ss — преобразует LTI модель в ss - форму;

• tf — преобразует LTI-модель в tf-форму;

• zpk — преобразует LTI-модель в zpk-форму.

В качестве примера на преобразование моделей рассмотрим применение функции delay2z для создания дискретной временной задержки:

>> z=tf ('z.',-l) ; sys=(-.4*z -.1)/(z^2+1.05*z+.08)

Transfer function:

-0.4 z - 0.1

-------------------------------

z^2 + 1.05 z + 0.08

Sampling time: unspecified

>> sys.Inputd = 1

Transfer function:

-0.4 z - 0.1

z^(-1) * -------------------------------

z^2 + 1.05 z + 0.08

Sampling time: unspecified

>> sys=delay2z(sys)

Transfer function:

-0.4 z - 0.1

------------------------------------

z^3 + 1.05 z^2 + 0.08 z

Sampling time: unspecified

А теперь применим функцию pade для создания динамического звена с передаточной функцией в виде отношения двух полиномов, аппроксимирующего звено временного запаздывания. Величина задержки 1 с, порядок аппроксимирующего звена 2.

>> [num,den] = pade(1,2)

num =

1 -6 12

den =

1 6 12

Отметим, что полученная аппроксимация соответствует известной формуле

.

7.3.4. «Арифметические» операции с моделями

Арифметические операторы пакета позволяют создавать и изменять структуры динамических систем. При этом операндами в данном случае являются LTI-модели. Возможны следующие операции:

• + и - — сложение и вычитание LTI-моделей (параллельное соединение);

• — умножение LTI-моделей (последовательное соединение);

• \ — левое деление (sysl\sys2 равносильно inv(sysl) *sys2);

• / — правое деление (sysl/sys2 равносильно sysl*inv (sys2));

• ^ — возведение LTI-модели в степень (последовательное соединение нескольких одинаковых LTI- моделей);

• ' — операция, означающая замену матрицы системы А(р) на матрицу [А(-р)]^т; для дискретных моделей — замена матрицы A(z) на матрицу [A(z^-1)]^т (так называемая операция pertransposition);

• • ' — транспонирование модели (замена входов на выходы и наоборот);

• [..] — горизонтальное/вертикальное объединение LTI-моделей;

• inv — обращение LTI-модели.

7.3.5. Модели для переменных состояния

Рассмотрим функции моделей для переменных состояния.

Функция canon возвращает так называемую каноническую форму ss=модели:

csys = canon(sys,'type¹) [csys,Т] = canon(sys,'type')

Функцией поддерживаются две канонические формы: модальная и присоединенная.

В модальной канонической форме действительные собственные значения матрицы А расположены на ее главной диагонали, а паре комплексно-сопряженных собственных значений соответствует блок размера 22, также расположенный на диагонали этой матрицы. Для системы с собственными значениями (₁,  ± j, ₂) модальная матрица А имеет вид

В присоединенной канонической форме данная матрица имеет вид

где a₁ – a _n — коэффициенты характеристического многочлена системы:

.

Аргументы этой функции следующие:

sys — имя исходной ss-модели;

'type' — строковая переменная, задающая тип канонической формы ('modal' — модальная форма, 'companion' — присоединенная).

Возвращаемые величины: csys — преобразованная модель, T — матрица преобразования, связывающая вектор состояния в канонической форме с вектором состояния исходной модели.

Функция ctrb формирует матрицу управляемости для модели в пространстве состояний:

Со = ctrb (А, В) Со = ctrb (sys)

Здесь sys — имя ss-модели, А и В — матрицы этой модели.

Система является управляемой, если матрица управляемости имеет полный ранг. Возвращаемая величина Со — матрица управляемости, имеющая n строк и nm столбцов (т — количество входов) и описываемая соотношением

Со = [В АВ А²В ... А^n-1В].

Для примера проверим, является ли управляемой система 2-го порядка с матрицами

, .

Проверка осуществляется с использованием следующих функций:

>> А=[1 1; 4 -2]; В=[1 -1; 1 -1];

>> Co=ctrb(A,B)

Со =

1. –1 2 -2

1 -1 2 -2

>> rank(Co)

ans = 1

В данном случае ранг матрицы управляемости равен 1, а порядок системы — 2. Следовательно, система не является полностью управляемой.

Функция ctrbf формирует так называемую каноническую форму управляемости:

[Abar,Bbar,Cbar,T,k] = ctrbf(А,В,С)

[Abar,Bbar,Cbar,Т,k] = ctrbf(А,В,С,tol)

Здесь аргумент tol позволяет задать точность вычислений. Если матрица управляемости для пары {А, В} имеет ранг r < п, где п — порядок матрицы А, то существует преобразование подобия вида

, , ,

где Т — унитарная матрица, при которой преобразованная система имеет блочно-треугольную форму с неуправляемыми модами, расположенными в верхнем левом углу:

, , .

Такая форма называется канонической формой управляемости.

Пара матриц {А_с, B_с} является управляемой, так что справедливо соотношение

С_с(рI – А_c)^-1В_c = С(рI - А)^-1В,

где I — единичная матрица, то есть передаточная функция всей системы совпадает с передаточной функцией ее управляемой части, а все моды, соответствующие собственным значениям матрицы А_uс, являются неуправляемыми.

Функция [Abar,Bbar,Cbar,Т,k] .= ctrbf(А,В,С) преобразует ss-модель, описываемую тройкой матриц [А, В, С], в каноническую форму управляемости [Abar, Bbar, Cbar]. Матрица T описывает преобразование подобия, а элементы вектора k указывают количество управляемых мод, выделенных на каждом шаге расчета матрицы преобразования. Число ненулевых элементов вектора k показывает, сколько итераций потребовалось для расчета матрицы Т, а величина sum(k) указывает число канонических переменных состояния, соответствующих управляемой части матрицы Abar.

Пример применения функции ctrbf:

>> А = [[1 1]; [4 -2]]; В =[[1 -1]; [1 -1]]; С = [[1 0]; [ 0 1]];

>> [Abar,Bbar,Cbar,Т,k]=ctrbf(А,В,С)

Abar =

-3.0000 0.0000

3.0000 2.0000

Bbar =

0 0

-1.4142 1.4142

Cbar =

-0.7071 -0.7071

0.7071 -0.7071

T =

-0.7071 0.7071

-0.7071 -0.7071

k =

1. 0

Функция gram позволяет вычислить функции Грама для оценки управляемости и наблюдаемости системы, называемые соответственно грамианами управляемости и наблюдаемости. Грамианы применяются для исследования свойств управляемости и наблюдаемости моделей систем, заданных в про странстве состояний, а также для построения их минимальных реализаций.
Они более удобны для вычислений, чем матрицы управляемости и наблюдаемости (матрица А модели должна быть устойчивой).

Для непрерывной ss-мод ели грамиан управляемости определяется интегралом

,

Характеристики

Список файлов лабораторной работы