Control System Toolbox (1086791), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

а грамиан наблюдаемости — интегралом

Для дискретных моделей аналогами грамианов управляемости и наблюдаемости служат выражения

, .

Грамиан управляемости положительно определен тогда и только тогда, когда пара матриц {А,В} является управляемой. Аналогично грамиан наблюдаемости положительно определен тогда и только тогда, когда пара матриц {А,С} является наблюдаемой.

Функция Gc = gram(sys, 'с ' ) вычисляет грамиан управляемости для непрерывной или дискретной ss-модели.

Функция Go = gram (sys, 'о' ) вычисляет грамиан наблюдаемости для непрерывной или дискретной ss-модели.

Функция obsv формирует матрицу наблюдаемости для модели в пространстве состояний:

Ob = obsv (А, С) Ob = obsv (sys)

Система является наблюдаемой, если матрица наблюдаемости имеет полный ранг. Возвращаемая величина Ob — матрица наблюдаемости, имеющая р строк (р — количество выходов) и п столбцов и описываемая соотношением

.

Пример применения функции obsv:

>> А =[[1 1]; [4 -2]]; С = [[1 0]; [0 1]];

>> Ob = obsv(А,С); unob = length(A)-rank(Ob)

unob =0

Функция obsvf формирует так называемую каноническую форму наблюдаемости:

[Abar,Bbar,Cbar,T,k] = obsvf(А,В,С)

[Abar,Bbar,Cbar,T,k] = obsvf (А, В, С, tol)

Если матрица наблюдаемости для пары {А, С} имеет ранг r < п, где п порядок матрицы А, то существует преобразование подобия вида

, , ,

где Т — унитарная матрица, при которой преобразованная система имеет блочно-треугольную форму с ненаблюдаемыми модами, расположенными в верхнем левом углу:

, , .

Такая форма называется канонической формой наблюдаемости.

Пара матриц {А_o, В_o } является наблюдаемой, так что справедливо соотношение

С_o(рI -A_o)^-1B_o=C(pI-A)^-1B,

то есть передаточная функция всей системы совпадает с передаточной, функцией ее наблюдаемой части, а все моды, соответствующие собственным значениям матрицы А_nо, являются ненаблюдаемыми.

Функция [Abar,Bbar,Cbar,T,k] = obsvf(А,В,С) преобразует ss-модель, описываемую тройкой матриц [А, В, С], в каноническую форму наблюдаемости [Abar, Bbar, Cbar]. Матрица Т описывает преобразование подобия, а элементы вектора k указывают количество наблюдаемых мод, выделенных на каждом шаге расчета матрицы преобразования. Число ненулевых элементов вектора k показывает, сколько итераций потребовалось для расчета матрицы Т, а величина sum(k) указывает число канонических переменных состояния, соответствующих наблюдаемой части матрицы Abar.

Пример применения функции obsvf:

>> А = [[1 1]; [4 -2]]; В = [ [1 -1]; [1 -1]]; С = [[1 0]; [0 1]];

>> [Abar,Bbar,Cbar,T,k] = obsvf(А,В,С)

Abar =

1 1

1. -2

Bbar =

1. -1

1 -1

Cbar =

1. 0

0 1

T =

1. 0

1. 1

k =

1. 0

Функция ssbal выполняет масштабирование ss-моделей:

[sysb,T] = ssbal(sys) [sysb,T] = ssbal(sys,condT)

Рассматриваемая функция выполняет масштабирование матриц ss-модели, используя преобразование подобия с диагональной матрицей Т и скаляром  а такими, что матрица

имеет малые числа обусловленности по отношению к задаче на собственные значения.

Функция [sysb, Т] = ssbal(sys) возвращает масштабированную модель sysb, описываемую четверкой {ТАТ"¹, ТВ/а, аСТ"¹, D}, и матрицу преобразования Т, такую что  = Тх, где  — новый вектор состояния модели.

Функция [sysb, Т] = ssbal (sys, condT) задает верхнюю границу числа обусловленности condT для матрицы Т. Поскольку масштабирование при плохо обусловленной матрице Т может приводить к росту ошибок округления, задание величины condT дает возможность контроля данных ошибок.

Функция ss2ss осуществляет преобразование ss-модели при переходе к новому базису:

sysT = ss2ss(sys,T).

Для заданной ss-модели sys рассматриваемая функция выполняет преобразование вектора состояния  = Тх и создает эквивалентную модель sysT, описываемую системой уравнений:

Функция sysT = ss2ss(sys,T) возвращает преобразованную модель sysT, используя исходную модель sys и матрицу преобразования Т (данная матрица должна быть невырожденной). Функция применима как к непрерывным, так и к дискретным моделям.

7.3.6. Модели динамики

Модели динамики одни из наиболее применяемых. В группу функций для
работы с такими моделями входит 14 функций. Рассмотрим основные из них:

Функция bandwidth вычисляет ширину полосы SISO модели sys:

fb = bandwidth(sys) fb = bandwidth(sys,dbdrop)

Измерения выполняются на уровне -3 дБ в первом случае и dbdrop во втором.

Функция сovaг возвращает матрицу ковариаций сигнала на выходе
устойчивой линейной модели с постоянными параметрами при действии на входах возмущений типа белого шума:

Р = covar(sys,W)

[P,Q] = covar(sys,W)

Здесь sys — имя модели и W — матрица интенсивностей входного сигнала. Возвращаемые величины: Р — матрица ковариаций выходов и Q — матрица ковариаций переменных состояния.

Функция damp возвращает собственные частоты и коэффициенты демпфирования LTI-модели:

[Wn,Z] = damp (sys)

[Wn,Z,P] = damp(sys)

Функция damp предназначена для расчета собственных чисел и коэффициентов демпфирования, соответствующих полюсам LTI-модели sys. Если функция вызывается без выходных аргументов, тб на дисплей выводится таблица собственных значений Р, соответствующих им собственных частот Wn и коэффициентов демпфирования Z.

Функция dcgain возвращает статический коэффициент передачи (матрицу таких коэффициентов в многомерном случае) LTI-модели:

k = dcgain(sys)

Рассмотрим пример. Пусть дискретная передаточная функция имеет вид

Создадим ее tf-модель, а затем найдем матрицу статических коэффициен-
тов усиления:

>> W=tf(l [1 -1], [1 1 3]); tf (1, [1 I]) tf ([1 2], [1 -3])]

Transfer function from input 1 to output...

#1: 1

1

#2: -------
s + 1

Transfer function from input 2 to output...

s - 1

#1: ------------------

s^2 + s + 3

s + 2

#2: -----------

s - 3

>> cdcgain(W)

ans =

1.0000 -0.333.3

1.0000 -0.6667

Используя свойства преобразования Лапласа, нетрудно убедиться в правильности ответа.

Функция dsort сортирует полюсы дискретной LTI-модели в порядке убывания их модулей. Неустойчивые полюсы располагаются в начале списка:

s = dsort(p)

[s,ndx] = dsort(p)

Функция eig вычисляет полюсы LTI модели:

d = eig(A) d = eig(A,B) [V,D] = eig(A)

[V,D] = eig(A,B) [V, D] = eig (A, B,.flag)

[V,D] = eig(A,'nobalance')

Пример применения этой функции для сортировки матрицы В:

>> В = [ 3 -2 -.9 2*eps

-2 4 1 -eps

-eps/4 eps/2 -1 0

-.5 -.5 .1 1 ];

>> [VB,DB] = eig(В)

>> B*VB - VB*DB

>> [VN,DN] = eig(B,'nobalance')

>> B*VN - VN*DN

VB = …

DB= …

ans = …

VN = …

DN = ….

ans = …

Функция esort сортирует полюсы непрерывной LTI-модели в порядке убывания значений их действительной части:

s = esort(p) [s,ndx] = esort(p)

Неустойчивые полюсы располагаются в начале списка. В этой функции р — вектор-строка полюсов модели; s — вектор, содержащий отсортированные полюсы; ndx — вектор, содержащий индексы, использованные при сортировке.

>>p = [

-0.2410+ 0.55731

-0.2410- 0.55731

0.1503

-0.0972

-0.2590]

>>esort(p)

ans =

0.1503

-0.0972

-0.2410 + 0.5573i

-0.2410 - 0.5573i

-0.2590

Функция norm предназначена для вычисления норм типа || ||₂ или || ||_, для
непрерывной или дискретной LTI-модели (норма равна бесконечности для неустойчивых систем):

norm(sys) norm(sys,2) norm (sys, inf)

norm(sys,inf,tol) [ninf,fpeak] = norm(sys)

Отметим, что норма ||W(p)||₂ устойчивой непрерывной системы с передаточной матрицей W(p) — это квадратный корень из среднего значения квадрата импульсной характеристики системы, а при переходе к преобразованию Лапласа данная норма, в соответствии с теоремой Парсеваля, определяется соотношением

,

где tr{} — обозначение следа матрицы, W*(j) — матрица, сопряженная по отношению к W(j).

Норма || ||_, равна максимальному значению модуля частотной характеристики:

• для одномерных моделей

;

• для многомерных моделей

,

где _max – максимальное сингулярное число матрицы W(j), то есть неотрицательный корень квадратный из максимального собственного числа матрицы W*(j) W(j);

• для дискретной модели

Аргументы функции norm следующие:

• sys – имя модели;

• 2 – задание нормы || ||₂ ;

• inf - задание нормы || ||_

• tol – точность при расчете нормы, по умолчанию tol= 1е-2.

Возвращаемые величины:

• ninf – норма модели ( по умолчанию - || ||₂ );

• speak – частота, на которой нора достигает максимального значения.

Пример применения функции norm:

>> H = tf([1 -2.841 2.875 -1.004], [1 -2.417 2.003 -0.5488], 0.1)

Transfer function:

z^3 – 2.841 z^2 +2.875 z –1.004

---------------------------------------

z^3 - 2.417 z^2 + 2.003 z - 0.5488

Sampling time: 0.1

>> norm(H)

ans =

1.2438

Функция pole возвращает вектор, элементами которого являются полюсs LTI-модели:

p = pole(sys)

Пример:

Характеристики

Список файлов лабораторной работы