3 Глава (1084725), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Дифференциальные уравнения в частных производных находят широкое применение в научном анализе, так как они описывают процессы течения жидкостей, колебательные процессы, диффузию газов, тепловые и другие процессы.

При исследовании многообразных тепловых процессов в строи­тельстве (водно-тепловой режим дорог, расчеты по охлаждению ограждающих конструкций зданий, пропаривание железобетонных изделий, приготовление асфальтобетонных смесей, теплотехниче­ские расчеты при зимней технологии строительства и др.) обычно применяют систему связанных дифференциальных уравнений в ча­стных производных второго порядка гиперболического вида

(3.18)

где a, a1— коэффициенты температурo- и влагопроводности; b- критерий теплообмена вследствие фазовых превращений (испаре­ние, оттаивание, промерзание и др.) мигрирующего вещества;b1— коэффициент термоградиентный влагопроводности.

В уравнении (3.18) коэффициенты а, Ь,a1, Ь1 постоянны. Если они переменные, то система принимает более сложный вид.

Любые дифференциальные уравнения являются моделью целого класса явлений, т. е. совокупностью явлений, характеризуемых одинаковыми процессами. При интегрировании уравнений получают большое количество решений, удовлетворяющих исходному диффе­ренциальному уравнению.

Чтобы получить из множества возможных решений одно, удов­летворяющее только рассматриваемому процессу, необходимо за­дать дополнительные условия к дифференциальному уравнению. Они должны четко выделить изучаемое явление из всего класса явлений. Условия, которые характеризуют все особенности данного уравнения, называются условиями однозначности и характеризуют­ся следующими признаками: геометрией системы (форма и размеры тела); физическими свойствами тела (теплопроводность, влагопро-водность, упругость, вязкость и т. д.); временными условиями, т. е. состоянием системы в начальный момент или распределением

56

переменных величин по всему объему системы; граничными усло­виями, т. е. взаимодействия системы на границах с окружающей средой. При решении задач типа (3.9) — (3.15) необходимо знать условия однозначности. Начальные и граничные условия называют краевыми. Задачи тепломассообмена и им подобные, относимые к задачам математической физики, эффективно решать операционными мето­дами или методами интегрального преобразования Лапласа, Фурье, Бесселя и др.

Суть операционного преобразования заключается в переводе функции f(t) переменного t, называемой начальной или оригиналом, в функцию f*(p) другого переменного р, называемую изображением. Это преобразование позволяет операции дифференцирования и инте­грирования с оригиналом заменить простыми алгебраическими опе­рациями с изображением. Изучают не саму функцию (оригинал), а ее измененное значение (изображение).

Преобразование осуществляется путем умножения начальной функции на другую и интегрирования ее. Так, преобразование Лап­ласа от функции f{t) имеет вид

(3.19)

где р — комплексное число.

Функция f*(p) называется изображением функции f(t) или преобразованием Лапласа. Использование f*(р) позволяет сложные операции дифференцирования и интегрирования f(t) заменить про­стыми алгебраическими операциями с f*(р).

Выполнив простые операции с /*(р), производят обратный пере­ход к f(t).

Применение интегральных преобразований Лапласа имеет ряд преимуществ — простота, возможность решения задач с различными краевыми условиями и др.

Однако с помощью этого метода можно решать линейные задачи со сравнительно простыми краевыми условиями. При решении нели­нейных задач со сложными краевыми условиями, точные аналити­ческие методы встречают значительные трудности. В таких случаях для' анализа моделей применяют численные методы. Например, в настоящее время широко используют метод конечных разностей (метод сеток). Суть его заключается в том, что производную заме­няют приближенным выражением в виде разности значения функции у = f(x) в отдельных точках сетки. В результате этого, дифферен­циальное уравнение заменяют эквивалентным соотношением ко­нечных разностей, которое решают с помощью простейших алгебраи­ческих выражений. Этот метод основан на замене непрерывного процесса изменения функции скачкообразным во времени и про­странстве.

57

С помощью метода конечных разностей можно решать сложные задачи с постоянными и переменными коэффициентами. Особенно эффективен этот метод при использовании ЭВМ, существенно облег­чающих вычислительные операции.

В строительстве ряд задач исследуется с помощью интегральных уравнений, содержащих искомую функцию ф(s) под знаком инте­грала:

(3.20)

где h(x), ф)(х) — известные функции х; л — постоянный параметр, который называют собственным числом; k(x, s) — заданная функция, которую называют ядром интегрального уравнения.

Если h(x) = 0 или h(x) = 1, то уравнение (3.20) преобразуется соответственно в уравнения Фредгольма первого или второго рода. Если при s > х ядро к(х, .s) = 0, то верхний предел интегрирования равен х. Такие интегральные уравнения называют уравнениями Вольтерра. В современной теории ползучести строительных мате­риалов широко используют интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма.

Общего метода решения интегральных уравнений даже линейного типа h(x) = 0, ф)(х) = 0 не существует. Интегральное уравнение является решением дифференциального. Например, решением диф­ференциального уравнения (3.1)

(3.21)

является интегральное уравнение

Если р = р0 = const, имеем

Это позволяет сводить решение дифференциальных уравнений к решению интегральных и наоборот.

Одним из методов решения интегральных уравнений является метод последовательных приближений, который может быть иллю­стрирован примером.

Пусть дано дифференциальное уравнение у = Ь(х, у) с началь­ными условиями при х = Хо, у = Уо. Его можно представить в виде интегрального уравнения:

(3.22)

58

Подставляя под знак интеграла вместо у его начальное зна­чение уо, получаем

Таким же образом можно получить вторые и более высокие приближения, соответ­ствующие у = y1; у = y2 и т. д.

Для решения интегральных уравнений применяется метод полу­обращения, суть которого заключается в том, что ядро разбивается на две функции. Первая функция позволяет представить интегральное уравнение в виде системы алгебраических уравнений, что упрощает ее решение. Вторая позволяет получить решение интегрального уравнения методом последовательных приближений.

Многие задачи исследуются с помощью вариационного исчисления. Чтобы сформу­лировать задачу вариационного исчисле­ния, вводят понятие функционала. Пусть имеем плоскую кривую у = f(x) с областью определения x0<x<x1(рис. 3.6). Нетруд­но видеть, что длина кривой S1, площадь Р криволинейной тра­пеции, объем тела вращения V зависят от вида заданной кривой

Рис. 3. 6. Схема к понятию. функционала.

У = f(x):

(3.23)

Таким образом, функция у = f(x) однозначно определяет вели­чину S1, Р, V, т. е. она играет роль своеобразного «аргумента».

В этом случае величины S1, Р, V называют функционалом отно­сительно функции у = f(x).

Суть задачи вариационного исчисления состоит в том, что если задан функционал F(y') в области x0<x< x1 то требуется найти такую функцию у = f{x) в заданной области определения функцио­нала F(y), при которой этот функционал принимает минимальное или максимальное значение.

При исследовании процессов методами вариационного исчисле­ния находят такие закономерности, при которых их развитие энер­гетически наиболее экономно. Очень часто они описываются экспо­ненциальными функциями, удовлетворяющими принципам вариа­ционного исчисления.

В области строительных наук широко используется теория фун­кций комплексной переменной. В основе этой теории лежит положе­ние о комфорном преобразовании, согласно которому две пересе­кающиеся кривые z1z2 и z1z3 из области z всегда можно перенести в область W соответственно кривым w1w2 и w1w3, сохраняя равенство углов между кривыми в каждой паре. Это позволяет изменить коор

59

динаты таким образом, чтобы упростить громоздкие математические преобразования. Теория функций комплексной переменной исполь­зуется, например, в теории упругости для определения концентра­ций напряжений в плоскости или пространстве, содержащем раз­личные включения.

Выше были названы лишь основные методы аналитических иссле­дований, применяющихся в строительстве. В случае необходимости их использования, следует обратиться к специальной литературе.

§ 4. Аналитические методы исследований с использованием экспериментов

Физические процессы можно исследовать аналитическими или экспериментальными методами.

Аналитические зависимости позволяют изучать процессы в об­щем виде на основе функционального анализа уравнений и являются математической моделью класса процессов. Математическая модель может быть представлена в виде функции, уравнения, в виде системы уравнений, дифференциальных или интегральных уравнений. Та­кие модели обычно содержат большое количество информации. Ха­рактерной особенностью математических моделей является то, что они могут быть преобразованы с помощью математического аппа­рата. Так, например, функции можно исследовать на экстремум;

дифференциальные или интегральные уравнения можно решить. При этом исследователь получает новую информацию о функцио­нальных связях и свойствах моделей.

Использование математических моделей является одним из основ­ных методов современного научного исследования. Однако, ему свойственны существенные недостатки. Для того чтобы из всего клас­са найти частное решение, присущее лишь данному процессу, не­обходимо задать условия однозначности. Установление краевых условий требует проведения достоверного опыта и тщательного ана­лиза экспериментальных данных. Неправильное принятие краевых условий приводит к тому, что подвергается теоретическому анализу не тот процесс, который планируется, а видоизмененный.

Кроме указанного недостатка аналитических методов, во многих случаях отыскать аналитические выражения с учетом условий одно­значности, наиболее реально отображающими физическую сущность изучаемого процесса, или вообще невозможно или чрезвычайно затруднительно.

Иногда, исследуя сложный физический процесс при хорошо обо­снованных краевых условиях, упрощают исходные дифференциаль­ные уравнения из-за невозможности или чрезмерной громоздкости их решения, что искажает его физическую сущность. Таким образом, очень часто реализовать аналитические зависимости сложно.

Экспериментальные методы позволяют глубоко изучить процессы в пределах точности техники эксперимента и сконцентрировать вни­мание на тех параметрах процесса, которые представляют наиболь

60

ший интерес. Однако результаты конкретного эксперимента не могут быть распространены на другой процесс, даже близкий по физиче­ской сущности, потому что результаты любого эксперимента ото­бражают индивидуальные особенности лишь исследуемого процесса. Из опыта еще невозможно окончательно установить, какие из пара­метров оказывают решающее влияние на ход процесса и как будет протекать процесс, если изменять различные параметры одновре­менно. При экспериментальном методе каждый конкретный процесс должен быть исследован самостоятельно.

В конечном счете эксприментальные методы позволяют устано­вить частные зависимости между отдельными переменными в строго определенных интервалах их изменения. Анализ переменных харак­теристик за пределами этих интервалов может привести к искажению

Характеристики

Список файлов книги