3 Глава (1084725), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(3.53)
Функция Ф(х) табулирована и используется в исследованиях. При анализе многих случайных дискретных процессов пользуются распределением Пуассона. Например, поток автомобилей, прибывающих на асфальтобетонный завод, поток автомобилей перед светофором и другие краткосрочные события, протекающие в единицу времени.
В ероятность появления числа событий х = 1, 2, 3 ... в единицу времени выражается законом Пуассона (рис. 3.11):
(3.54)
где х — число событий за данный отрезок времени t, л — плотность, т. е. среднее число событий за единицу времени; лt — среднее число событий за время t, лt = т.
75
Распределение Пуассона относят к редким событиям, т. е. Р(х) — вероятность того,что событие в период какого-то испытания произойдет х раз при очень большом числе измерений m. Для закона Пуассона дисперсия равна математическому ожиданию числа наступления события за время t, т. е. б2= т. Как видно из формулы (3.45), пуассоновский процесс можно задать двумя параметрами х и т. Табличные значения вероятностей Р(х) для х от 0 до 25 и т от 0.1 до 18 составляет соответственно от 0,904 до 0,023,
Рис. 3. 12. Общий вид кривой показательного распределения. Рис. 3. 13. Общий вид кривой распределения Вейбулла.
Рассмотрим пример. С помощью наблюдений установлено, что за пять минут на погрузку под экскаватор поступает 6 автосамосвалов. Какова вероятность поступления 10 автомобилей за 5 минут? В этом
Случае
Как видно, эта вероятность очень мала.
Рассмотрим второй пример. Вероятность возникновения брака составляет 0,02. Какова вероятность того, что в партии из 100 единиц окажется пять бракованных изделий? Имеем 100 • 0,02 = 2;
у = 5, тогда
, т. е. вероятность очень мала.
Для исследования количественных характеристик некоторых процессов (время обслуживания строительных машин в ремонтных мастерских и автомобилей на станции технического обслуживания, время отказов машин и изделий, длительность телефонных разговоров между диспетчером и передвижными оперативными пунктами и т. д.) можно применять показательный закон распределения (рис. 3.12).
Плотность вероятности показательного закона выражается зависимостью
3.55
где л — плотность или интенсивность (среднее число) событий в единицу времени.
76
В показательном законе плотность является величиной, обратной математическому ожиданию

Кроме того, имеет место соотношение
В различных областях исследований широко применяется закон распределения Вейбулла (рис. 3.13).
(3.56)

Здесь n,m - параметры закона; х — аргумент; чаще принимаемый как время.
Рис. 3. 14. Общий вид кривых гамма-распределения:
t — а = 1; л = 1; 2 — а = 3; X = 1; 3 — а = 4; л = 1,5; 4 — а = 5; л = 2; 5 — а = 6;
л = 1.
Рис. 3. 15. Общий вид кривой распределения Пирсона.
Исследуя процессы, связанные с постепенным снижением параметров (ухудшение свойств материалов во времени, деградация конструкций, процессы старения, износовые отказы в машинах и др.), применяют закон гамма-распределения (рис. 3.14)
(3.57)

где л, а — параметры.
Если а=1, гамма-функция превращается в показательный закон
(см. рис. 3.12)
(3.58)
При исследовании многих процессов, связанных с анализом климатических и гидрологических воздействий на сооружения, установлении расчетных характеристик грунтов и материалов и т. д. используют закон распределения Пирсона. Из двенадцати типов этого закона чаще всего применяется третий (рис. 3.15):
(3.59)

• где а — максимальная ордината; d,b — соответственно расстояния от максимальной ординаты до центра распределения и начала координат.
77
Кроме приведенных выше применяют и другие виды распределений — Рэля, бета-распределение, Шарлье, Гудрича.
В исследованиях всегда возникает вопрос — в какой мере существенно влияет тот или иной фактор или комбинация факторов на исследуемый процесс? Так, при измерении какой-либо величины, результаты зависят от многих факторов, но основными являются следующие: техническое состояние прибора и внимание оператора.
Методы установления основных факторов и их влияние на исследуемый процесс рассматриваются в специальном разделе теории вероятностей и математической статистике — дисперсионном анализе. Различают одно- и многофакторный анализ.
Суть однофакторного дисперсионного анализа рассмотрим на примере. Пусть необходимо проверить степень точности группы нивелиров (т приборов) и установить, являются ли их систематические ошибки одинаковыми, т. е. изучить влияние одного фактора-прибора на погрешность измерения. Каждым прибором выполнено n измерений одного и того же объекта. Всего выполнено nm измерений. Обозначим отдельные измерения через xij, где i — номер прибора;
j — номер выполненного на этом приборе измерения. Значение i изменяется от 1 до т, j — от 1 до л.
Дисперсионный анализ допускает, что отклонения подчиняются нормальному закону распределения. Вычисляют для каждой серии измерений среднеарифметическое значение и среднюю из показаний первого прибора и т. д. для каждого из ni измерений и mi приборов. В результате таких расчетов устанавливают Q1 и Q2:
(3.60)

где Xi—среднеарифметическое для пi измерения; х—среднеарифметическое для всех серий измерений (общее среднее значение);
Xij—отдельное i-е измерение на j-м приборе; xi—среднеарифметическое для соответствующей серии (группы) измерений.
Величину Q1 называют суммой квадратов отклонений между измерениями серий. Она показывает степень расхождения в систематических погрешностях всех т приборов, т. е. характеризует рассеивание исследуемого фактора между приборами.
• Величину О2 называют- суммой квадратов отклонений внутри серии. Она характеризует остаточное рассеивание случайных погрешностей опыта (одного прибора).
Метод анализа допускает следующую гипотезу: центры нормальных распределений случайных величин равны (или равны с определенной степенью точности), следовательно, все mn измерений можно рассматривать как выборку из одной и той же нормальной совокупности. Вычисляют критерий
78
Нетрудно видеть, что числитель и знаменатель критерия F представляют собой дисперсии а2 для т и п наблюдений. В зависимости от значений K1= т — 1 и К2= m(п — 1) (числа степеней свободы) и вероятности Р (например, 0,95; 0,99 и др.) составлены табличные значения Fp. Если F =< Fp, то гипотеза удовлетворяется, т. е. в данном примере все приборы имеют одинаковые (допусти- мые) систематические ошибки. При F > Fp гипотеза не удовлетворяется.
Дисперсионный анализ называют многофакторным, если он имеет два и более факторов. Суть его не отличается принципиально от однофакторного, но усложняются выкладки и существенно увеличивается количество расчетов.
Очень часто применяют методы вероятностей и математической статистики в теории надежности, которая в настоящее время широко используется в различных отраслях науки и техники.
Под надежностью понимают свойство изделия (объекта) выполнять заданные функции (сохранять установленные эксплуатационные показатели) в течение требуемого периода времени. Обеспечение надежности, исключение отказов (нарушения работоспособности) продукции стало одной из основных народнохозяйственных задач.
В теории надежности отказы рассматриваются как случайные события. Для количественного описания отказов применяют математические модели — функции распределения вероятностей интервалов времени. Наиболее часто применяют следующие законы:
нормального и экспоненциального распределения, Вейбулла, гамма-распределения.
Основной задачей теории надежности является прогнозирование (предсказание с той или иной вероятностью) различных показателей — безотказной работы, долговечности, срока службы и т. д. Она связана с нахождением вероятностей.
Для исследования сложных процессов вероятностного характера в последнее время (с 1950 г.) стали применять метод Монте-Карло. С помощью этого метода в настоящее время решают широкий круг задач, в которых ставят цель отыскать наилучшее решение из множества рассматриваемых вариантов: отыскать наилучший вариант размещения баз» складов, предприятий; определить оптимальное количество автомобилей, обслуживающих экскаватор или смеситель; установить наилучшие параметры выпускаемой продукции;
уточнить пропускную способность транспортных путей и др.
Метод Монте-Карло, называемый методом статистического моделирования или статистических испытаний, представляет собой численный метод решения сложных задач. Он основан на использовании случайных чисел, моделирующих вероятностные процессы. Результаты решения метода позволяют установить эмпирические зависимости исследуемых процессов. Математической основой метода является закон больших чисел, разработанный П. Л. Чебышевым, который формулируется так: при большом числе статистических испытаний вероятность того. что среднеарифметическое значение
79
случайной величины стремится к ее математическому ожиданию, равна 1:
(3.62)

где е — любое малое положительное число.
Из формулы (3.62) видно, что по мере увеличения числа испытан ий n среднеарифметическое неограниченно
(асимптотически)
приближается к математическому ожиданию.
Последовательность решения задач методом Монте-Карло сводится к следующему: