lect5wav (1083140), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Упругие волны.Упругими (или механическими) волнами называются механическиевозмущения, распространяющиеся в упругой среде.Продольная волна — волна, в которой частицы среды колеблются внаправлении распространения волны.Поперечная волна — волна, в которой частицы среды колеблются вплоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникаютупругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких игазообразных телах).Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которойвозникают упругие силы при деформации сдвига (только в твердых телах).36.

Упругая гармоническая волна.Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ейколебания частиц среды являются гармоническими.Пусть гармоническая волна распространяется со скоростью υ вдольоси OX . Обозначим смещения частиц среды через ξ = ξ ( x, t ) .Для данного момента времени t зависимость между смещением частицсреды и расстоянием x этих частиц от источника колебаний O можнопредставить в виде графика волны.Отличие графика волны от графика гармонического колебания:А.Н.Огурцов. Лекции по физике.<< ω 02 )s = A0 e −δt cos(ωt + ϕ )где:A = A0 e −δt — амплитуда зату-Волны в упругой среде.34.

Волновой процесс.Если возбудить колебания в какой-либо точке среды (твердой, жидкой илигазообразной) то, вследствие взаимодействия между частицами среды, этиколебания будут передаваться от одной точки среды к другой со скоростью,зависящей от свойств среды.При рассмотрении колебаний не учитывается детальное строение среды;среда рассматривается как сплошная, непрерывно распределенная впространстве и обладающая упругими свойствами.Среда называется линейной, если ее свойства не изменяются поддействием возмущений, создаваемых колебаниями.Волновым процессом или волной — называется процесс распространения колебаний в сплошной среде.При распространении волны частицы колеблются около своих положенийравновесия, а не перемещаются вслед за волной.Вместе с волной от частицы к частице передается только состояниеколебательного движения и его энергия.Основным свойством всех волн является перенос энергии безпереноса вещества.2хающих колебаний,A0 – начальная амплитуда,ω = ω 02 − δ 2— циклическаячастота затухающих колебаний.Промежуток времени τ =1, в течение которого амплитуда затухающихδколебаний уменьшается в e раз называется временем релаксации.Затухание нарушает периодичность колебаний.Затухающие колебания не являются периодическими.Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятиемпериода затухающих колебаний как промежутка времени между двумяпоследующими максимумами колеблющейся физической величины:T=2π2π=2ωω0 − δ 224.

Декремент затухания.Если A(t ) и A(t + T ) — амплитуды двух последовательных колебаний,соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношениеA(t )= eδTA(t + T )называется декрементом затухания, а его логарифмθ = lnA(t )T 1= δT = =A(t + T )τ Nназывается логарифмическим декрементом затухания.Здесь N — число колебаний, совершаемых за время уменьшенияамплитуды в e раз.25. Добротность колебательной системы.Добротностью колебательной системы называется безразмернаявеличина Q , равная произведению 2π на отношение энергии W (t ) колебанийсистемы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии запромежуток времени от t до t + T (за один условный период затухающихколебаний):Q = 2πW (t )W (t ) − W (t + T )Энергия W (t ) пропорциональна квадрату амплитуды A(t ) , поэтому:Колебания и волны5–145–19Q = 2πA 2 (t )2π2π==A (t ) − A 2 (t + T ) 1 − e −2δT 1 − e −2θ2При малых значениях логарифмического декремента затухания (θ << 1)1 − e −2θ ≈ 2θ , поэтому (принимая T ≈ T0 )Q=ωππ= πN == 0θδ ⋅ T 2δ31.

Резонанс токов.К цепи переменного тока, содержащей параллельно включенныеконденсатор емкостью C и катушку индуктивностью L , приложено напряжениеU = U m cos ω t .Токи в ветвях 1С2 ( R = 0, L = 0) и 1L2 ( R = 0, C = ∞) равныI m1 =26. Примеры свободных затухающих колебанийРассмотрим затухающие колебания различной физической природы:1) механические колебания — пружинный маятник с массой m , которыйсовершает малые колебания под действием упругой силы F = −kx исилы трения Fтр = −rx& ( r — коэффициент сопротивления)2) электромагнитные колебания — колебания в колебательномконтуре состоящем из сопротивления R , индуктивности L и емкости CБудем сравнивать оба случая с дифференциальным уравнениемсвободных затухающих колебаний линейной системы&s& + 2δ s& + ω 02 s = 0решение которого имеет видs = A0 e −δt cos(ω t + ϕ )1) пружинный маятник2) колебательный контурвели- смещение относительнозаряд qположения равновесия xколеблющаясячинаrkx& + x = 0mmчастота незатухающихkω0 =колебаний ω 0mrкоэффициентδ=затухания δ2mдифференциальноеуравнение колебанийчастотазатухающихколебанийω = ω 02 − δ 2добротностьQзакон колебаний&x& +ω=kr2−m 4m 2kmrx = A0 e −δt cos(ω t + ϕ )Q=R1q& +q=0LLC1ω0 =LCRδ=2Lq&& +ω=1R2− 2LC 4 L1 LR Cq = q 0 e −δt cos(ω t + ϕ )Q=27.

Вынужденные колебания.Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающиеколебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможнас помощью какого-либо периодически действующего фактора X (t ) ,изменяющегося по гармоническому закону:X (t ) = X 0 cos ω tА.Н.Огурцов.

Лекции по физике.Um,1ωCI m2 =UmωLи противоположны по фазам. Амплитуда силытока во внешней (неразветвленной) цепиI m = I m1 − I m 2 = U m ωC −Еслиω = ω рез =1, тоLCI m1 = I m 2и1ωLI m = 0 . Явление резкогоуменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельновключенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частотыω приложенного напряжения к резонансной частоте ω рез называетсярезонансом токов (параллельным резонансом).В реальных цепях R ≠ 0 , поэтому сила тока I m > 0 , но принимаетнаименьшее возможное значение.32.

Действующее значение переменного тока.Действующим или эффективным значением переменного токаI = I 0 cos ωt называется среднее квадратичное значение силы тока за периодT его изменения:TI эф =I1 2I (t ) dt = 0 ,T ∫022поскольку cos ωt =Аналогично, действующее значение напряжения: U эф =12U0233. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока.Мгновенная мощность тока в цепиP (t ) = U (t ) I (t ) = U m cos ωt ⋅ I m cos(ωt − ϕ )Среднее за период значение мгновенной мощности называется активноймощностью P токаT11U m cosωt ⋅ I m cos(ωt − ϕ ) dt = I mU m cosϕ = I эфU эф cosϕ∫T02Множитель cosϕ называется коэффициентом мощности.P=Так как I эф =U эфZ, и cosϕ =R=ZR1 R 2 +  ωL −ωCКолебания и волны2, тоP=2RU эфZ22= RI эф5–185–15ВеличинаВ случае механических колебаний таким фактором являетсявынуждающая сила F = F0 cos ωt . Закон движения для пружинного маятникабудет иметь вид1RC =ωCназываетсяреактивнымемкостнымсопротивлением.Дляпостоянного тока (ω = 0) RC = ∞ , т.е.

постоянный ток через конденсатортечь не может.В общем случае R ≠ 0, C ≠ 0, L ≠ 0 . Если напряжение в цепи(5)изменяется по закону U = U m cos ω t , то в цепи течет токВ случае электрического колебательного контура роль X (t ) играетподводимая к контуру внешняя ЭДС или переменное напряжениеU = U m cos ωt . Уравнение колебаний в контуре будет иметь видq&& +I = I m cos(ω t − ϕ )В общем видеколебаний имеет видгде I m и ϕ определяются формуламиIm =m&x& = −kx − rx& + F0 cos ω tUm1 R 2 +  ωL −ωC −δtωL −R1ωCs = A cos(ω t + ϕ )где A и ϕ задаются формулами2A== R 2 + ( RL − RC ) 2называетсянием цепи.полнымВеличина:X = RL − RC = ωL −сопротивле-1ωCпричемcosϕ =RX, sin ϕ =.ZZ30. Резонанс напряжений.1, то ϕ = 0 — изменения тока и напряжения происходятωCсинфазно.

В этом случае Z = R и ток определяется только активнымЕсли ωL =сопротивлением и достигает максимально возможного значения. Падениенапряжения на конденсаторе U C и на катушке индуктивности U L одинаковы поамплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансомнапряжений (последовательным резонансом).Частота1LCназывается резонансной.А.Н.Огурцов. Лекции по физике.(ω 02x02 22− ω ) + 4δ ω2, ϕ = arctg2δωω 02 − ω 2Так для электромагнитных колебаний, если обозначить α — сдвиг пофазе между зарядом и приложенным напряжением, то можно показать, чторешение дифференциального уравнения будет иметь вид q = q m cos(ω t − α ) ,гдеqm =называется реактивным сопротивлением.ω рез =вынужденныхЕго решение равно сумме общего решения s = A0 e cos(ω t + ϕ ) однородногоуравнения и частного решения неоднородного уравнения. Можно показать,частное решение имеет вид1 Z = R 2 +  ωL − =ωCUmX, tg ϕ =;ZRуравнениеЭто уравнение — линейное неоднородное дифференциальное уравнение.ВеличинаIm =дифференциальное&s& + 2δ s& + ω 02 s = x0 cos ω t2tg ϕ =Таким образом:UR1q& +q = m cos ω tLLCLUm1 ω R 2 +  ωL −ωC 2, tgα =R1− ωLωCСила тока при установившихся колебаниях:I=dq= −ωq m sin(ω t − α ) = I m cos(ω t − α + π 2 )dtгдеI m = ωq m =Um21 R 2 +  ωL −ωCСилу тока можно записать в виде I = I m cos(ωt − ϕ ) , где ϕ = α − π 2 —сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением.

Тогда можнопоказать, чтоπ1tg ϕ = tgα −  = −=α2tgКолебания и волныωL −R1ωC5–165–1728. Резонанс.РезонансомРассмотрим частные случаи цепи.называетсяявление резкого возрастания амплитудывынужденных колебаний при приближениичастоты вынуждающей силы (или, в случаеэлектрических колебаний, частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте,равной или близкой собственной частотеколебательной системы.АмплитудавынужденныхколебанийA=приx0(ω 02 − ω 2 ) 2 + 4δ 2ω 2имеет максимумω рез = ω 02 − 2δ 2 ,частотекотораяназывается резонансной частотой.

(Первая производная знаменателя(−4(ω 02 − ω 2 )ω + 8δ 2ω = 0) обращается в нуль при ω 2 = ω 02 − 2δ 2 .)x0Aрез =2δ ω 02 − δ 2При ω → 0 , амплитуда достигает предельного значения(1) R ≠ 0, C → 0, L → 0 : переменное напряжение приложено к сопротивлению R . Закон Ома:U U cos ωt= I m cos ω tI= = mRRUАмплитуда силы тока I m = m .RКолебания тока происходят в одной фазе снапряжением.Для наглядности воспользуемся методом векторныхдиаграмм и будем изображать векторами, угол междукоторыми равен разности фаз.(2) R → 0, C → 0, L ≠ 0 : переменное напряжение приложено к катушкеиндуктивности.ЭДС самоиндукции в катушке: Θ s = − LA0 =x0,ω 02Закон Ома: Lкоторое называется статическим отклонением. В случае механическихF0Um. В случае электромагнитных колебаний: A0 =2mω 0Lω 02При ω → ∞ , амплитуда стремится к нулю.22В случае малого затухания, когда δ << ω 0 , резонансная амплитудаω xxAрез = 0 = 0 02 = Q ⋅ A02δω 0 2δ ω 0где Q — добротность колебательной системы, A0 — статическоеколебаний A0 =отклонение.

Таким образом, добротность характеризует резонансные свойстваколебательной системы: чем больше Q , тем больше Aрез .29. Переменный ток.Переменным током называются вынужденные колебания тока в цепи,совпадающие с частотой вынуждающей ЭДС.Пусть переменная ЭДС (или переменное напряжение) имеет видU = U m cos ω tгде U m — амплитуда напряжения.Тогда на участке цепи, имеющей сопротивление R , емкость Cиндуктивность L , закон Ома будет иметь видq&& +UR1q& +q = m cos ω tLLCLилиLdIq+ IR + = U m cos ω tdtCА.Н.Огурцов. Лекции по физике.dI.dtdI= U L = U m cos ω t , откуда после интегрирования получимdtUπI = m sin ωt = I m cos ω t −  ,ωL2Uгде I m =.ωLТаким образом, падение напряжения U L опережаетπпо фазе ток I , текущий через катушку, на .2R L = ωLВеличинаназывается реактивным индуктивным сопротивлением.

Для постоянного тока (ω = 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления.(3) R → 0, C ≠ 0, L → 0 : переменное напряжение приложено к конденсатору.(4)q= U C = U m cos ω tCСила токаπdq= −ωCU m sin ωt = I m cos ω t +  ,2dtUmгде I m = ωCU m =1ωCТаким образом, падение напряжения U C отстает поπфазе от текущего через конденсатор тока I на .2I=иКолебания и волны.

Характеристики

Список файлов лекций