lect5wav (1083140), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Скорость распространения волны относительно приемникаIR = −qdI−LCdtq— заряд конденсатора иCразность потенциалов его обкладок в произвольный момент времени t ; R −электрическое сопротивление колебательного контура; Θ c − ЭДС самоdqиндукции в катушке. Сила тока I =, поэтому дифференциальноеdtгде q и (ϕ1 − ϕ 2 ) = −уравнение колебаний заряда в колебательном контуре:d 2 q R dq1++q=0dt 2 L dt LCДлина волны λ = υT = υ / n0 .

Распространяясь в среде, волна достигнетприемника и вызовет его колебания с частотой: n =или13. Стадии колебаний в идеализированном колебательном контуре.Идеализированный колебательный контур — колебательный контур,у которого R = 0 .станет равной υ + υ p , при этом длина волны не меняется, следовательноn=υ +υpλ=υ +υpυT=υ +υpυn0Частота колебаний, воспринимаемых приемником увеличится.3) Источник приближается к приемнику, а приемник покоится:υ p = 0, υ i > 0 . Скорость распространенияколебаний v зависит только от свойств среды,поэтому за время, равное периоду колебанийисточника, излученная им волна пройдет внаправлении к приемнику расстояние υT = λ .Источник же пройдет расстояние υ i T .Поэтому к моменту окончания излученияволны длина волны в направлении движениясократится и станет λ ′ = λ − υ iT .

Частота колебаний которые воспринимаетприемник, увеличится: n =υυυ==n0λ ′ (υ − υ i )T υ − υ i4) Источник и приемник движутся друг относительно друга.Этот случай обобщает два предыдущих. Частотавоспринимаемых приемником: n =υ ±υpυ m υin0 .А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Пусть в начальный момент времени t = 0 конденсатор заряжензарядом q . Тогда энергия электрического поля между обкладками конден-q2. При замыкании конденсатора на катушку индуктивности, в2Cконтуре потечет возрастающий ток I .

Энергия электрического поля начнетLI 2 Lq& 2=уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки Wm =будет22возрастать. Поскольку потерь в контуре нет ( R = 0 ), то полная энергиясатора We =колебаний,Колебания и волны5–85–25W = We + Wm сохраняется.В момент времени t =4 T ( T − период колебаний), когда конденсаторполностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, аэнергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшегозначения.Стадии колебаний в контуре можно сопоставить с аналогичными стадиямимеханических колебаний, например, математического маятника, который вмомент времени t = 0 смещен из положения равновесия и имеетмаксимальную потенциальную энергию E = U max .

В момент времени t = 1 4 Tсмещение маятника равно нулю, скорость — максимальна, и потенциальнаяэнергия полностью переходит в кинетическую энергию маятника E = K max .1Начиная с момента времени t = 1 4 T , ток в контуре будет убывать,следовательно, магнитное поле катушки начнет ослабевать. Изменениемагнитного поля вызовет индукционный ток, который, по правилу Ленца, будетиметь то же направление, что и ток разрядки конденсатора. Конденсаторначинает перезаряжаться и к моменту времени t = 1 2 T заряд на обкладкахконденсатора достигнет максимума, ток в цепи прекратится, и энергия контураснова будет равна энергии электрического поля в конденсаторе.Для маятника это будет соответствовать максимальному смещению внаправлении, противоположном первоначальному, остановке маятника вкрайнем положении (υ = 0 ) и обратному превращению кинетической энергии впотенциальную.Далее, все процессы в колебательном контуре будут протекать вобратном направлении и система к моменту времени t = T придет впервоначальное состояние.Таким образом, в колебательном контуре происходят периодическиеизменения заряда q на обкладках конденсатора и силы тока I .

Этиэлектрическиеколебаниясопровождаютсяпревращениемэнергийэлектрического и магнитного полей.Из сравнения электрических колебаний с механическими колебаниями,следует, что: энергия электрического поля конденсатора аналогична потенциальнойэнергии маятника, энергия магнитного поля катушки аналогична кинетической энергиимаятника, сила тока в контуре аналогична скорости движения маятника, индуктивность L выполняет функцию массы, сопротивление R играет роль силы трения, действующей на маятник.14. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре.Свободные электрические колебания в колебательном контуре являютсягармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0 .Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебанийзаряда в контуре:d 2q1+q=02LCdtА.Н.Огурцов.

Лекции по физике.Сложив эти уравнения, с учетом cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β иk = 2π λ , получим уравнение стоячей волны:ξ = ξ1 + ξ 2 = 2 A cos kx cos ω t = 2 A cos2πxcos ω tλВ точках среды, где2πx= ± mπλ(m = 0, 1, 2,K)амплитуда стоячей волныдостигает максимальногозначения AСТ = 2 A .Такие точки называютсяпучностямистоячейволны.Координаты пучностей:xП = ±mλ(m = 0, 1,K)2В точках среды, где2πx1= ± m +  π (m = 0, 1, 2,K) , амплитуда стоячей обращается вλ2нуль AСТ = 0 .

Такие точки называются узлами стоячей волны.1λxУ = ± m + Координаты узлов:(m = 0, 1, 2,K) .2 2Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседнимипучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн. Этувеличину называют длиной стоячей волны: λСТ =В бегущей волнеλ.2В стоячей волнеАмплитуда колебанийвсеточкиволнысовершаютвсе точки между двумя узламиколебания с одинаковой амплитудойколеблются с разными амплитудамиФаза колебанийфаза колебаний зависит от коорвсе точки между двумя узламидинаты x рассматриваемой точкиколеблются с одинаковыми фазамипри переходе через узел фазаколебаний изменяется на π ;точки лежащие по разные стороныот узла колеблются в противофазеПеренос энергииэнергия колебательного движепереноса энергии нет, лишь вния переносится в направлении пределах λ 2 происходят взаимныераспространения бегущей волныпревращения кинетической энергии впотенциальную и обратноКолебания и волны5–245–944.

Интерференция волн.Когерентностью называется согласованное протекание во времени ипространстве нескольких колебательных или волновых процессов.Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависитот времени.Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда.Интерференцией волн называется явление наложения волн, прикотором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в однихточках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношениямежду фазами этих волн.Рассмотримналожениедвухкогерентныхсферическихволн,возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковымиамплитудой A0 , частотой ω и постоянной разностью фаз:AAξ1 = 0 cos(ω t − kr1 + ϕ1 ),ξ 2 = 0 cos(ω t − kr2 + ϕ 2 )r1r2где r1 и r2 — расстояния от источников до рассматриваемой точки, k —волновое число, ϕ1 и ϕ 2 — начальные фазы волн.Амплитуда результирующей волны112cos[k (r1 − r2 ) − (ϕ1 − ϕ 2 )]A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(∆ϕ ) = A02  2 + 2 + r1 r2 r1r2Поскольку для когерентных источников ϕ1 − ϕ 2 = const , то результатинтерференции двух волн зависит от величины ( r1 − r2 ) , называемойразностью хода.AA Интерференционный максимум  A = 0 + 0  наблюдается в точках,r1r2 (m = 0, 1, 2,K) .где k ( r1 − r2 ) − (ϕ1 − ϕ 2 ) = ±2mπЧисла ( m = 0, 1, 2,K) называются порядком интерференционногомаксимума.AA Интерференционный минимум  A = 0 − 0  наблюдается в точках,rr2 1(m = 0, 1, 2,K) .где k ( r1 − r2 ) − (ϕ1 − ϕ 2 ) = ± ( 2m + 1)πЧисла ( m = 0, 1, 2,K) называются порядком интерференционногоминимума.45.

Стоячие волны.Особым случаем интерференции являются стоячие волны.Стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двухбегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковымичастотами и амплитудами.Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами ичастотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси x :ξ1 = A cos(ω t − kx),ξ 2 = A cos(ω t + kx)А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Заряд q совершает гармонические колебания по закону:q = q max cos(ωt + ϕ )где qmax − амплитуда колебаний зарядас циклической частотой:ω=1LCи периодом:T = 2π LC .Эта формула называется — формула Томсона.Сила тока в колебательном контуре:πdq= −ωq max sin(ω t + ϕ ) = I max cos ω t + ϕ + 2dtопережает по фазе колебания заряда q на π 2 .qЗдесь I max = ωq = max — амплитуда силы тока.LCРазность потенциалов обкладок конденсатора U = ϕ 2 − ϕ1 такжеизменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом q :qU = = U max cos(ω t + ϕ )Cq maxгде U max =— амплитуда разности потенциалов.

Амплитуда токаCCI max = U maxLLВеличинаназывается волновым сопротивлением колебаCI=тельного контура.15. Сложение гармонических колебаний.Если система одновременно участвует в нескольких колебательныхпроцессах, то под сложением колебаний понимают нахождение закона,описывающего результирующий колебательныйпроцесс.Для сложения колебаний x1 и x2x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ),x 2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )используем метод вращающегося вектораамплитуды (метод векторных диаграмм).Так как векторы A1 и A2 вращаются содинаковой угловой скоростью ω , то разностьфаз (ϕ 2 − ϕ1 ) между ними остается постоянной.Уравнение результирующего колебания будетx = x1 + x 2 = A cos(ω t + ϕ )Колебания и волны5–105–23где амплитуда A и начальная фаза ϕ задаются соотношениями:A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ),tg ϕ =A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2A1 cosϕ1 + A2 cosϕ 2Сумма двух гармонических колебаний одного направления и одинаковойчастоты есть гармоническое колебание в том же направлении и с той жечастотой, что и складываемые колебания.Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фазскладываемых колебаний:1) ϕ 2 − ϕ1 = ±2mπ , где ( m = 0,1,2,...) , тогда A = A1 + A2 ;2) ϕ 2 − ϕ1 = ± ( 2m + 1)π , где ( m = 0,1,2,...) , тогда A = A1 − A2 .16.

Биения.Биениями называются периодические изменения амплитуды колебания,возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкимичастотами.Пусть амплитуды складываемых колебаний равны A , а частоты равны ωи ω + ∆ω , причем ∆ω << ω . Путь для простоты начало отсчета выбрано так,чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:x1 = A cos ωt ,x2 = A cos(ω + ∆ω )tРезультирующеебудет иметь вид:колебание∆ω x =  2 A cost  ⋅ cos ωt2 — гармоническое колебание с частотой ω , амплитуда которого изменяется по∆ωt с частотой ω Биений = ∆ω (частота биений вдвое2больше частоты изменения косинуса, поскольку AБиений берется по модулю).закону AБиений = 2 A cos17. Разложение Фурье.Любое сложное периодическое колебание s = f (t ) можно представить ввиде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами,кратными основной циклической частоте ω 0 :s = f (t ) =nA0+ ∑ Am cos(mω 0t + ϕ m )2 m=1Такое представление периодической функцииf (t ) называетсяразложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложногопериодического колебания.Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям сциклическими частотами ω 0 , 2ω 0 , 3ω 0 и т.

Характеристики

Список файлов лекций