lect5wav (1083140), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

д., называются первой (илиосновной), второй, третьей и т. д., гармониками сложного периодическогоколебания s = f (t ) .Совокупность этих гармоник образует спектр колебания s = f (t )А.Н.Огурцов. Лекции по физике.41. Волновое уравнение.Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случаеописывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением вчастных производных:∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ++=∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 υ 2 ∂t 2илигде υ — фазовая скорость,∆=∆ξ =1 ∂ 2ξυ 2 ∂t 2∂2∂2∂2+ 2 + 2 — оператор Лапласа.2∂x∂y∂zРешением волнового уравнения является уравнение любой волны (в томчисле и плоская и сферическая волны).Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдольоси x :∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ=∂x 2 υ 2 ∂t 242.

Принцип суперпозиции.Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн,линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения)волн:при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из нихраспространяется так, как будто другие волны отсутствуют, арезультирующее смещение частицы среды в любой момент времени равногеометрическойсуммесмещений,которыеполучаютчастицы,участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.43. Групповая скорость.Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммыодновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммыгармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихсядруг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченнуюобласть пространства.За скорость распространения волнового пакета принимают скоростьперемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).Групповой скоростью u называется скорость движения группы волн,образующих в каждый момент времени локализованный в пространствеволновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).Ее величинаu=dx dω=dt dkСвязь групповой и фазовой скоростей:u =υ − λdυdλКолебания и волны5–225–11Следовательно, функция ξ ( x, t ) является не только периодическойфункцией времени, но и периодической функцией координаты x .В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдольположительного направления оси x в среде, не поглощающей энергию, имеетвидx ξ ( x, t ) = A cosω  t −  + ϕ 0 υ здесь: A = const — амплитуда волны,ω — циклическая частота,ϕ 0 — начальная фаза волны,xω  t −  + ϕ 0 — фаза плоской волны. υЕсли определить волновое число:2π 2π ωk===λ υT υ18.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебанийодинаковой частоты.Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты ω , происходят вовзаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y . Для простотывыберем начало отсчета так, чтобы начальная фаза первого колебания быларавна нулю:x = A cosωt ,x 2 2 xyy2−cosα + 2 = sin 2 α2ABABи такие колебания называются эллиптически поляризованными.19. Линейно поляризованные колебания.Еслиξ ( x, t ) = A cos(ω t − kx + ϕ 0 )или в экспоненциальной формеξ ( x, t ) = A e i (ω t − kx+ϕ 0 )где физический смысл имеет только вещественная часть.В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся вrнаправлении s имеет вид:39.

Фазовая скорость.волны и ее называют фазовой скоростью.Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна:ωt − kx + ϕ 0 = const .откудаdx ω= =υdt k40. Уравнение сферической волны.Aξ (r , t ) = cos(ω t − kr + ϕ 0 )rгде r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием позаконуфазтоэллипс вырождается в отрезокпрямойy = ±BAx,где знак плюс соответствует нулю и четным значениямm , а знак минус — нечетнымзначениям m .является гармоническим колебанием сРезультирующее колебание2dxСкорость υ =в этих уравнениях есть скорость распространения фазыdt1.rразностьα = mπ (m = 0, ± 1, ± 2,K) ,то уравнение плоской бегущей волны можно записать в видеrrrξ (r , t ) = A exp[i (ω t − kr s + ϕ 0 )]y = B cos(ωt + α )где α − разность фаз колебаний, а A и B — их амплитуды. Уравнениетраектории результирующего колебания (исключая t из уравнений) естьуравнение эллипса, произвольно расположенного относительно координатныхосей:2частотой ω и амплитудойA + B и совершается вдоль прямой,составляющей с осью x угол ϕ = arctg( B A cos mπ ) .

Такие колебанияназываются линейно поляризованными колебаниями.20. Циркулярно поляризованные колебания.Если разность фаз α = ( 2m + 1)π(m = 0, ± 1, ± 2,K) , то в данном случае2уравнение траектории принимает вид:x2 y2+=1A2 B 2Это уравнение эллипса, оси которого совпадают сосямикоординат,аегополуосиравнысоответствующим амплитудам A и B .A = B , то эллипс вырождается вЕслиокружность, и такие колебания называются циркулярно поляризованнымиили колебаниями, поляризованными по кругу.21.

Фигуры Лиссажу.Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическимичастотам pω и qω , где q и p — целые числа:А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Колебания и волны5–125–21x = A cos( pωt ),y = B cos(qωt + α )то значения координат x и y одновременно повторяются через одинаковыепромежутки времени T0 равные наименьшему общему кратному периодовT1 = 2π pω и T2 = 2π qω колебаний вдоль осей x и y . Траектории замкнутыхкривых, которые получаются вэтихслучаях,называютсяфигурами Лиссажу. Вид этихкривых зависит от соотношенияамплитуд, частот и разности фазскладываемых колебаний.

Нарисунке показан вид фигурЛиссажу при трех различныхзначениях отношения (2:1, 3:2, 4:3) и разности фаз α = π 2 .Затухающие и вынужденные колебания22. Затухающие колебания.Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебанийс течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.Затухание механических колебаний вызывается главным образомтрением. Затухание в электрических колебательных системах вызываетсятепловыми потерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а такжетепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствиеэлектрического и магнитного гистерезиса.Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательныхсистем.Система называется линейной, если параметры, характеризующие тефизические свойства системы, которые существенны для рассматриваемогопроцесса, не изменяются в ходе процесса.Линейные системы описываются линейными дифференциальнымиуравнениями.Различные по своей природе линейные системы описываютсяодинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единый подход кизучению колебаний различной физической природы.23.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системыДифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы имеет видd 2sds+ 2δ+ ω 02 s = 02dtdtгде s − колеблющаяся величина,δ = const — коэффициент затухания,ω 0 − циклическая частота свободных незатухающих колебаний той жеколебательной системы (при δ = 0 ).А.Н.Огурцов. Лекции по физике.распространяетсяколебаний T :1) график волны представляет зависимостьсмещения всех частиц среды от расстояния доисточника колебаний в данный момент времениξ = ξ ( x, t = const ) ;2) графикгармоническогоколебанияэтозависимость смещения данной частицы отвремени ξ = ξ ( x = const, t ) .Длиной волны λ называется расстояниемежду ближайшими частицами, колеблющимися водинаковой фазе.Длина волны равна расстоянию, на котороегармоническая волна за время, равное периодуλ = υTυ = λnилигде n — частота колебаний, υ — скорость распространения волны.Волновым фронтом называется геометрическое место точек, докоторых доходят колебания к определенному моменту времени t .Волновой поверхностью называется геометрическое место точек,колеблющихся в одинаковой фазе.Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, аволновой фронт в каждый момент времени — один.37.

Бегущие волны.Бегущими волнами называются волны, которые переносят впространстве энергию.Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотностипотока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает снаправлением распространения энергии, а его модуль равен энергии,переносимой волной за единицу времени через единичную площадку,расположенную перпендикулярно волне.Важными примерами бегущих волн являются плоская и сферическаяволны.Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляютсовокупность плоскостей, параллельных друг другу.Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеютвид концентрических сфер. Центры этих сфер называются центром волны.38.

Уравнение плоской волны.Пусть точки, которые расположены в плоскости x = 0 , колеблются позакону ξ (0, t ) = A cos ω t . И пусть υ — скорость распространения колебаний вданной среде.Колебания частицы B среды (см. рисунок), расположенной на расстоянииx от источника колебаний O , будут происходить по тому же закону. Но,поскольку для прохождения волной расстояния x требуется время τ = x υ , тоее колебания будут отставать по времени от колебания источника на τ .Уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x , имеет видxξ ( x, t ) = A cosω  t −  υКолебания и волны5–205–13Если в цепи отсутствует реактивное сопротивление ( X = 0) , то cosϕ = 1 иP = IUЕсли цепь содержит только реактивное сопротивлениеcosϕ = 0 и P = 0 , какими бы большими ни были ток и напряжение.В случае малых затуханий (δрешение этого уравнения:( R = 0) , то35.

Характеристики

Список файлов лекций