lect5wav (1083140), страница 2
Текст из файла (страница 2)
чтобы выполнялись равенства:ω = ωr = ωd ;r irrk i siτ = k r s rτ = k d s dτСледовательно, частоты всех трех волн должны быть равны междусобой, поскольку частоты колебаний зарядов в диэлектрической среде,вынуждаемых колебаниями электрического вектора, совпадают с частотойr r rвынуждающей силы. Кроме того, единичные векторы si , s r , s d находятся водной плоскости, проходящей через нормаль к плоскости раздела (плоскостьпадения).Выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость xOyсовпадала с плоскостью раздела сред, а плоскость zOx — с плоскостьюrr rпадения, причем ось OzrrEi|| rH r|| sr направим из среды I вH i||srrrH r⊥rEi⊥среду II (см.
рисунок).H i⊥rr ϕ ϕ′r ϕ ϕ ′ Er⊥Обозначим ϕ — уголEssε1ε2r ||ixrEd ||ε1riε2xrψH d ||rrz Ed⊥ sdмежду si и осью Oz (уголпадения), π − ϕ ′ — уголrТаким образом, сила пропорциональна смещению материальной точки инаправлена в сторону, противоположную смещению (к положению равновесия).Такая зависимость от смещения характерна для упругих сил и поэтому силы,которые аналогичным образом зависят от смещения, называютсяквазиупругими.a)7.
Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.Кинетическая энергия материальной точки:нулю, а х-компоненты можно выразить следующим образом:mυ 2 mA2ω 2mA2ω 2K==sin 2 (ωt + ϕ ) =[1 − cos 2(ωt + ϕ )]224Потенциальнаяэнергияматериальнойточки,гармонические колебания под действием квазиупругой силы:xW = − ∫ Fdx =0совершающейmω 2 x 2 mA 2ω 2mA 2ω 2=cos 2 (ω t + ϕ ) =[1 + cos 2(ω t + ϕ )]224Полная энергия:E = K +W =mA 2ω 22остается постоянной, с течением времени происходитпревращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.8. Гармонический осциллятор.Гармоническим осциллятором называется система,колебания, описываемые дифференциальным уравнением&s& + ω 2 s = 0А.Н.Огурцов. Лекции по физике.толькосовершающаяψrrz H d⊥ sdб)между sr и Oz ( ϕ ′ — уголотражения), ψ — уголrsrOz (уголrпреломления).
В этой системе координат у-компоненты векторов sτ равнымеждуиsix = sin ϕ , s rx = sin ϕ ′, s dx = sinψrrrСледовательно, равенство k i siτ = k r s rτ = k d s dτ примет вид:sin ϕ sin ϕ ′ sinψ==υ1υ1υ2Первое равенство означает, что ϕ = ϕ ′ — закон отражения в оптике.Из второго равенства следует оптический закон преломления.Показателем преломления среды n называется величина, равнаяотношению скорости c электромагнитных волн в вакууме к их фазовойскорости υ в среде:n=c= εµυДля среды, не обладающей ферромагнитными свойствами, µ ≈ 1 ипрактически можно считать, чтоn= εКолебания и волны5–285–5rвектору υ скорости распространенияrrrволны, причем векторы E , H и υобразуютправовинтовуюсистему.(Только E y ≠ 0 и H z ≠ 0 )В электромагнитной волне векторы(2)rrE и H всегда колеблются в одинаковыхфазах, причем мгновенные значения E иH в любой точке связаны соотношениемε 0ε E = µ 0 µ H .Примерамигармоническогоосциллятораявляютсяпружинный,математический и физический маятники и электрический колебательныйконтур.9.
Пружинный маятник.Пружинный маятник — это груз массой m , подвешенный на абсолютноупругой пружине и совершающий гармонические колебания под действиемупругой силыF = −kx ,где k − жесткость пружины.Уравнение движения маятникаВолновым уравнениям:∂2Ey∂x 221 ∂ Ey= 2,υ ∂t 22∂ Hz1 ∂ Hz= 2∂x 2υ ∂t 2удовлетворяют плоские монохроматические электромагнитные волны,описываемые уравнениями E y = E0 cos(ωt − kx + ϕ ) , H z = H 0 cos(ωt − kx + ϕ ) ,где E 0 и H 0 — амплитуды напряженностей электрического и магнитного полейволны, ω — круговая частота волны, k = ω υ — волновое число, ϕ —rrначальная фаза колебаний (одинаковая, поскольку колебания E и Hпроисходят с одинаковой фазой).49. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе разделадвух диэлектрических сред.Пусть на границу раздела двух диэлектриков падает плоскаяэлектромагнитная волна. В таком случае, как показывает опыт, от границыраздела диэлектриков будут распространяться две плоские волны —отраженная и преломленная.Запишем выражения для падающей (i ) , отраженной (r ) и преломленной (d ) волн в комплексной экспоненциальной форме:rωrrEi exp[i(ω i t − k i r si )], k i = i ;υirωrrE r exp[i(ω r t − k r r s r )], k r = r ;υrrωrrE d exp[i (ω d t − k d r s d )], k d = dυdrrЗдесь r — радиус-вектор, ω и υ — частота и скорости волн, E —rамплитуды волн, s — единичные векторы, показывающие направлениеrrраспространения соответствующих волн.
Условие s r = const определяетrплоскость, перпендикулярную к s , поэтому данная система выраженийr r rописывает плоские волны, распространяющиеся вдоль векторов si , s r , s d .Граничные условия для тангенциальных (τ ) компонент векторовнапряженности электрического и магнитного поля в любой точке границыrrrrраздела сред (1) и (2) имеют вид (см.
4–п.45):Eτ 1 = Eτ 2 , H τ 1 = H τ 2А.Н.Огурцов. Лекции по физике.m&x& = −kx2Сравниваяэтоуравнениесkx=0m&x& +илиуравнениемдвижения2гармонического осциллятора &s& + ω s = 0 , мы видим, чтопружинный маятник совершает колебания по законуx = A ⋅ cos(ωt + ϕ ) с циклической частотой и периодом:ω=kmmkT = 2πПотенциальная энергия пружинного маятника:U=mω 2 x 2 kx 2=22Если на маятник действует сила трения, пропорциональная скоростиFтр = −rx& , где r − коэффициент сопротивления, то колебания маятника будутзатухающими и закон движения маятника будет иметь вид m&x& = − kx − rx& илиrk&x& + x& + x = 0mm10. Математический маятник.Математическим маятником называется идеализированная система,состоящая из материальной точки массой m , подвешенной наневесомой нерастяжимой нити длинной l , и колеблющейсяпод действием силы тяжести без трения.Хорошим приближением математического маятникаявляется небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкойдлинной нити.При малых углах отклонения α можно считать: x ≈ lα .Возвращающая сила:F = P sin α ≈ mgα = mgxlУравнение движения:m&x& = − F = − mgxlКолебания и волныили&x& +gx=0l5–65–27Следовательно, движение математического маятника описываетсядифференциальным уравнением гармонических колебаний, то есть происходитпо закону x = A ⋅ cos(ωt + ϕ ) с частотой и периодом, соответственно:ω=g,lT = 2πlg11.
Физический маятник.Физическим маятником называется твердое тело, совершающее поддействием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, непроходящей через центр масс тела.Если физический маятник отклонен из положенияравновесия на некоторый угол α , то моментвозвращающей силыM = Jβ = Jα&&С другой стороны, при малых углахM = Fτ l = − mgl sin α ≈ −mglαгде J − момент инерции маятника относительнооси, проходящей через точку подвеса O ,l − расстояние между точкой подвеса и центроммасс C маятника,Fτ = −mg sin α — возвращающая сила (со знакомминус, поскольку она всегда направленная противоположно направлениюувеличения α ).&& + mglα = 0 , илиСледовательно: Jαα&& +mglα =0JТаким образом, при малых колебаниях физический маятник совершаетгармонические колебания α = α 0 ⋅ cos(ωt + ϕ ) с циклической частотой ипериодом:ω=где длина L =mgl,JT = 2πJL= 2πmglgJ— называется приведенной длиной физическогоmlмаятника.Приведенная длина физического маятника — это длина такогоматематического маятника, который имеет такой же период колебаний, что иданный физический маятник.Точка O' на продолжении прямой OC , отстоящая от оси подвеса нарасстоянии приведенной длины L , называется центром качаний физическогомаятника.Математический маятник можно представить как частный (предельный)случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре2масс.
При этом J = ml , следовательно T = 2π l g .А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Верхний знак берется, если при движении источника или приемникапроисходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.Если направления скоростей не совпадают с проходящей через источник иприемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле надо брать их проекциюна направление этой прямой.Электромагнитные волны47. Электромагнитные волны.Электромагнитные волны — это переменное электромагнитное поле,распространяющееся в пространстве с конечной скоростью.Существование электромагнитных волн вытекает из уравненийМаксвелла:rrrrr r ∂Dr∂Brot E = − ; div D = ρ ; rot H = j +; div B = 0 ,∂t∂tкоторые в области пространства, не содержащейэлектрических зарядов и макроскопических токов, имеют видсвободныхrrrrr ∂Dr∂Brot E = − ; div D = 0; rot H =; div B = 0∂t∂tЕсли среда — однородный и изотропный диэлектрик, не обладающийrrсегнетоэлектрическими или ферромагнитными свойствами, то D = εε 0 E иrrB = µµ 0 H , где ε 0 и µ 0 — электрическая и магнитная постоянные, ε и µ —диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.В этом случае уравнения Максвеллаrrrrrr∂H∂Erot E = − µµ 0; div H = 0; rot H = εε 0; div E = 0∂rt∂trrИспользуя ∆V = grad div V − rot rot V получим волновые уравнения дляrrвекторов E и H :rrrr∂2E∂2H∆E = εε 0 µµ 0 2 ,∆H = εε 0 µµ 0 2∂t∂t11c∂2∂2∂2=+ 2 — оператор Лапласа, υ =где ∆ = 2 +—2∂x∂y∂zε 0 µ 0 εµεµ1фазовая скорость электромагнитной волны, c =— скорость света вε 0µ0вакууме.
Таким образом, электромагнитные поля действительно могутсуществовать в виде электромагнитных волн.εµ > 1, то υ < c — скорость распространенияПосколькуэлектромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.48. Поперечность электромагнитных волн.Следствия теории Максвелла:rr(1) Векторы E и H напряженностей электрического и магнитного полейволны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярнойКолебания и волны5–265–7Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей иотраженной волн.Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то награнице сред образуется пучность.Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то награнице сред образуется узел стоячей волны.46.
Эффект Доплера.Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний,воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний иприемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляетсякак повышение тона при приближении источника звука к приемнику ипонижения тона звука при удалении источника от приемника.Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой;υ i и υ p — скорости источника и приемника (положительны при сближении иотрицательны при удалении источника и приемника); n0 — частота колебанийисточника; υ — скорость распространения звука в данной среде.1) Источник и приемник покоятся относительно среды: υ i = υ p = 0 .12. Электрический колебательный контур.Электрическим колебательным контуром называется электрическаяцепь состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L ,конденсатораемкостьюирезистораCсопротивлением R .По закону Ома для участка цепиIR = ϕ1 − ϕ 2 + Θ cυ υ== n0λ υT2) Приемник приближается к источнику, а источник покоится:υ p > 0, υ i = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
