4 часть (1081361), страница 50
Текст из файла (страница 50)
' ~ Г00 Зоо) Выборочное значение т, статистики критерия по формуле (5) 0,08 — 0,043 6,57 10 Так как ио 97я — 1,96, то выборочное значение статистики критерия принадлежит области принятия гипотезы Не; поэтому следует считать, что доля брака в обеих партиях одна и та же. ~> 19.250. Два пресса штампуют детали одного наименования. Из партии деталей, изготовленных первым прессом, проверено 1000 деталей, из которых 25 оказались негодными. Из 800 деталей, изготовленных вторым прессом, негодными оказались 36 деталей. Согласуются ли эти результаты с предположением о равенстве доли брака в продукции двух прессов при а = 0,10? 19.251.
Предполагается, что применение новой технологии в производстве микросхем приведет к увеличению выхода годной продукции. Результаты контроля двух партий продукции, изготовленных по старой и новой технологии, приведены ниже: Подтверждают ли эти результаты предположение об увеличении выхода годной продукции? Принять а = 0,01. 16.252. Для изучения эффективности профилактического лекарства против аллергии обследовались две группы людей, предрасположенных к этому заболеванию.
Результаты обследования следующие: 3 4, Проверка статистических гипотез 273 Агсй г — АггЬ ро 1/~/и — 3 (7) 1 1+т где АгсЬ г = — )и —. 2 1 — г Если гипотеза Не верна, то статистика (7) имеет распределение, близкое к нормальному А((0, 1). Критическая область критерия при уровне значимости а определя- ется неравенствами з, > из при альтернативной гипотезе Н, : р > ро, (1) з, < и„ при альтернативной гипотезе Н, : р < ро, (з) ! з, ( > и1 7з прн альтернативной гипотезе Н,: р ~ ро.
(з) В случае, когда нужно определить значимость выборочного значения коэффициента корреляции г, т. е. проверить гипотезу Но. р = О, можно использовать другой критерий, статистикой которого является г. На уровне значимости о критическая область этого критерия определяется неравенствами (1 — а(я — 2) г> при альтернативной гипотезе Н1( ): р > 0; (1) ( (я — 2) г< ~Г -2,'-Р( -2) при альтернативной гипотезе Н, ): р < 0; '(г! > 7з(я — 2) при альтернативной гипотезе Н,: р ф О.
(з) Показывают ли эти результаты эффективность лекарства, если уровень значимости сз = 0,05? 19.253. В 105 опытах событие А произошло 42 раза. Повторная серия опытов состояла из 195 опытов, причем событие произошло 65 раз. Можно ли считать, что вероятность события А в обеих сериях одна и та же, если исходы опытов независимы. Принять гг = О 01. 3. Проверка гипотез а коэффициенте корреляции р. Пусть г — выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема я из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение.
Для проверки гипотезы Но . р = ро, где ро — заданное значение, используют статистику Гл. 19. Математическая статистика 274 П р и м е р 8. Из генеральной совокупности, имеюшей двумерное нормальное распределение, получена выборка объема и = 67. Выборочный коэффициент корреляции оказался равным г = — 0,159. Можно ли считать, что наблюдаемые переменные отрицательно коррелированы, если уровень значимости а = 0,05? <) Проверим гипотезу Но . р = 0 при альтернативной гипотезе Н,: р < О. Вычислим выборочное значение статистики критерия (7).
Значение АгсЬ г находим по таблице П8. Имеем А г1Ь ( — 0,159) — АгсЬ 0 1/)/67 — 3 Так как ио оь —— — 1,645, то выборочное значение статистики критерия принадлежит области принятия гипотезы Но, следовательно, наблюдаемые переменные не коррелированы. Такой же результат получим, воспользовавшись критерием, статистикой которого является г. Найдем границу критической области при альтернативной гипотезе Н2 .
р < О. Определим квантили го,оэ(65) = — 1о эв(65) — 1,67 (таблица Пб). Вычислим границу критической области: 1 (я — 2) — 1,67 -261 ~ -2) ~67 — 26(-1,67) Так как выборочное значение г = -0,159 статистики принадлежит области принятия гипотезы Но, то гипотеза Но принимается; следует считать, что наблюдаемые переменные не коррелированы. > Пусть г1 и гэ — выборочные коэффициенты корреляции, вычисленные по выборкам объема я2 и иэ из генеральных совокупностей, имеюших двумерное нормальное распределение.
Для проверки гипотезы Нэ . 'Р1 — — Рэ использУют статистикУ АгсЬ г~ — АгФЬ гэ (8) При условии, что гипотеза Но верна, статистика (8) имеет распределение, близкое к нормальному распределению Ф(0, 1). Критическая область критерия при уровне значимости а определяетсн неравенствами аа > и~ „ при альтернативной гипотезе Н, : р2 > рэ, (2) . в6 < и при альтернативной гипотезе Н,: рг < рэ7 (2) / з6 / > и, „~э при альтернативной гипотезе Н,: р2 ф Рэ )з), Пример 9.
Сравнить коэффициенты корреляции двух нормально распределенных генеральных совокупностей по следующим выборочным данным: г2 — — 0,77, пг = 28, гэ — — 0,604, яэ = ЗЗ. Принять а = 0,10. З 4. Проверка статистических гипотез э Имеем Но, р1 = рз; Нн р| ( рт Вычислим выборочное значение статистики критерии (8): Агй 0,77 — Агрй 0,604 1,85. 1 1 28 — 3 33 — 3 Так как ие 95 1,645, то выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области; коэффициенты корреляций генеральных совокупностей следует считать различными.
С В задачах 19.254-19.260 предполагается, что выборки получены из генеральных совокупностей, имеющих двумерное нормальное распределение. 19.254. Выборочный коэффициент корреляции т, вычисленный по выборке объема п = 39, равен 0,25. Проверить значимость этого результата при альтернативных гипотезах: а) Н~. р ф О, 6) Нр р > О. Принять а = 0,05. 19.255. Проверить значимость коэффициента корреляции по следующим данным: а) т = — 0,41, и = 52, а = 0,1, альтернативная гипотеза Н1.
р<О; б) т = 0,15, и = 39, а = 0,01, альтернативная гипотеза Н1. р~О; в) т = — 0,32, п = 103, а = 0,05, альтернативная гипотеза Нр р~о. 19.256. По выборке объема и = 28 вычислен коэффициент корреляции т = 0,88. Согласуются ли следующие гипотезы относительно коэффициента корреляции генеральной совокупности р с результатами наблюдений: а) р ) 0,90; б) р < 0,6; в) р Ф 0,96? Принять а = 0,05. 19.257. По двум выборкам объемов п1 = 28 и пз = 39 для наблюдений над двумя определенными переменными некоторого процесса вычислены оценки коэффициента корреляции, равные т, = 0,71 и тз = 0,85 соответственно.
а) Можно ли считать, что оценки коэффициентов корреляции, вычисленные по двум выооркам, действительно различны? б) Для каких значений тэ можно считать, что разница оценок коэффициентов корреляции т1 и тз незначима? Принять а = 0,01. Решить задачу 19.257 для следующих данных: 19.258. п1 — — 124, т~ = — 0,87, пз = 147, тз = — 0,65, а = 0,10.
19.259. п1 = 12, т1 = 0,42, пг = 19, тг = 0,36, а = 0,05. 19.260.п1 — — 82, т1 — — 0,95, пг = 67, тэ = 0,82, а = 0,01. Гл. 19. Математическая статистика 4. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез. Очевидно, на множестве значений статистики критерия можно выбрать сколько угодно критических областей Ън для заданного уровня значимости а, однако соответствующие им критерии будут иметь, вообше говоря, различные вероятности ошибок второго рода (см. задачу 19.209). Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая при заданном уровне значимости с» обеспечивает минимальную вероятность ошибки второго рода. Критерий, используюший НКО, имеет максимальную мошность.
При проверке простой гипотезы Но против простой альтернативы Н» НКО определяется леммой Неймана-Н»»ровна: НКО кратер»»я заданного уровня значимости а состоит из точек выборочного пространства (выборок объема и), для которь»х удовлетворяется неравенство Ь(х„хэ, ..., х„/Но) <с, (9) Ь(хы хэ, ..., х„/Н») где с — константа, зависяшая от заданного уровня значимости, хы хэ, ..., х„— элементы выборки, а Ь(хы хэ, ..., х„/Н;) — функция правдоподобия, вычисленная при условии, что верна гипотеза Н,, »' = = О, 1. Для рассмотренных в пп.
1 — 4 критериев значимости НКО размещаются на»хвостах» распределений статистик критериев. Пример 10. Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение )»/(т, о) с известной дисперсией а~. а) Найти НКО для проверки гипотезы Но: т = то против простой альтернативной гипотезы Н1 . т = тм где т» > то. б) Найти функцию мошности критерия и вычислить ее значение при значениях т» —— 1 и т» = 5, если то —— О, объем выборки и = 25, дисперсия генеральной совокупности оэ = 25.
Принять уровень значимости а = 0,05. а а) Запишем отношение функций правдоподобия: »в,,а....,*з»,) ( ( ехр ъ» 2каэ ( 2аэ х (т» — то) г э) то где а = ехр — э 1, х = — лу х,. По лемме Неймана — Пирсона 2оа/и )' и НКО содержит только те точки выборочного пространства, для которых удовлетворяется неравенство (9): ( х (т» — то) ) аехр~ — 1 < с, оэ/и 4.
Проверка статистических гипотез 277 причем по условию задачи т1 — те > О. Так как отношение правдоподобия является убывающей функцией аргумента х, условие леммы удовлетворяется при У > У„, где граница критической области У„находится по заданному уровню значимости о из соотношения Р[Х > х /Но) = о. При условии, что справедлива гипотеза Не, Х имеет нормальное распре- деление Ру(гяе, а/~/п ), следовательно, Р [Х < Ук/Не) = Ф ( " ~ = 1 — ж и/~/я / Отсюда следует, что хк — те :/,-. = -' и 'Хаким образом, граница У„ критической области равна то + и1 ,„ — , о а НКО Ъ'„имеет вид У > то + и1 б) Найдем функцию мощности полученного критерия: При значениях т1 — — 1, то = О, а = 0,05, п = 25, п = 25 мощность критерия М (Р'„, 1) = Ф вЂ” 1,645+ ~/25 — ( = 0,259.
1 — 01 ~/25 ( Если т1 —— 5, то мощность критерия М(Г„, 5) = Ф вЂ” 1,645+ ~/25 — ) = 0,999. > 5 — 0'~ ь/25 ) 19.261а. Найти наилучшую критическую область для проверки гипотезы Но о распределении случайной величины Х с плотностью распределения 278 Гл. 19. Математическая статистика против альтернативной гипотезы Ны предполагающей нормальное распределение случайной величины Х при т = 0 и с«~ = 1, если для проверки гипотезы используются результаты одного наблюдения. Вычислить мощность полученного критерия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
