4 часть (1081361), страница 52
Текст из файла (страница 52)
> В задачах 19.271 †.278 предполагается, что выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей с равными дисперсиями. В каждой задаче требуется проверить гипотезу Но о равенстве средних. Если гипотеза Но принимается, то найти несмещенные оценки среднего и дисперсии. В случае, если гипотеза Но отклоняется, провести попарное сравнение средних, используя метод линейных контрастов. 19.271.
а = 0,05. Гл. 19. Математическая статистика 284 19.272. а = 0,10. 19.273. сг = 0,05. 19.274, В трех магазинах, продающих товары одного вида, данные товарооборота за 8 месяцев работы (в тыс. руб.) составили следующую сводку: 3 8 ~) ~ х~ь — — 12592. Принять сг = 0,10. ь=~ ~=~ 19.275. Ниже приводятся данные о содержании иммуноглобулина 1д А в сыворотке крови (в мг%) у больных пяти возрастных групп: ~~) ~ хсь = 2189, ~ ~) х~ь — — 191 791. Принять а = 0,01. з 5.
Однофакторный дисперсионный анализ 285 19.276. На химическом заводе разработаны два новых варианта технологического процесса. Чтобы оценить, как изменится дневная производительность при переходе на работу по новым вариантам технологического процесса, завод в течение 10 дней работает по каждому варианту, включая существующий вариант. Дневная производительность завода (в условных единицах) приводится в таблице: ~) ~) х;и = 1932, ~~) ~) х~ь — — 128810. Принять а = 0,10. 19.277. Из большой группы полевых транзисторов с недельным интервалом были получены три выборки. Ниже приводятся результаты измерения емкости затвор — сток у этих транзисторов (в пикофарадах): ~~) хн = 52,2, ~~) ха = ~) х,з = 39, ~~ ~~ хос = 130,2, ~~) ~~> х~ь —— 428,48, я = 40. Принять а = 0,10. Гл.
19. Математическая статистика 286 19.278. Время химической реакции при различном содержании катализатора распределилось следующим образом (в секундах): х~ь — — 1466,68. Принять сс = 0,10. 19.279с. Доказать основное тождество (1) дисперсионного анализа. 19.280. Показать, что если гипотеза о равенстве средних верна, ~ь~2 то общее среднее х и статистика — являются несмещенными и — 1 оценками математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.
86. Критерий Хз и его применение 1. Проверка гипотезы о вице распределения генеральной совокупности. Пусть хс, хт, ..., х„— выборка наблюдений случайной величины Х. Провернется гипотеза Но, утверждающан, что Х имеет функцию распределенин У~(х). Проверка гипотезы Но прн помощи критерия Хт осуществлнетсн по следующей схеме. По выборке наблюдений находнт оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения случайной величины Х. Далее, область возможных значений случайной величины Х разбивается на г множеств Ь|, Ьт,..., Ь„, например, т интервалов в случае, когда Х - — непрерывная случайная величина, или г групп, состоящих из отдельных значений, для дискретной случайной величины Х.
Пусть нь — число элементов выборки, принадлежащих множеству Ьь, г х = 1, 2,..., т. Очевидно, что ~ ~нс = н. Используя предполагаемый с=1 закон распределения случайной величины Х, находят вероятности рь 3 6. Критерий Хт и его применение 287 того, что значение Х принадлежит множеству Ьь, т.е. рь = Р ~Х б Ьь), к я = 1, 2..., г. Очевидно, что ~ рь = 1. Полученные результаты можно а=1 представить в виде следующей таблицы: 2 %-~ 1яь — нрь)' Хв яра Гипотеза Но согласуется с результатами наблюдений на уровне значимости а, если Х, (Х вЂ” (г — 1 — 1) где Хэ, (г — 1 — 1) — квантиль порядка 1 — а распределения Хз с т — 1 — 1 степенями свободы, а 1 — число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке; если же Х~ > Хт, (г — 1 — 1), то гипотеза Но отклоняется. Замечание.
Критерий Х~ использует тот факт, что случайная вень нрь дичина , й = 1, 2, ..., г, имеет распределение, близкое к нор,/ярь мальному Н(0, 1). Чтобы это утверждение было достаточно точным необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие прь > 5. Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними. П р и м е р 1. Проверка гипотезы о распределении по закону Пуассона. В первых двух столбцах таблицы 6.1 приведены данные об отказах аппаратуры за 10000 часов работы, Общее числа обследованных экземпляров аппаратуры я = 757, при этом наблюдался 0 427 + 1 235 + 2 72 + 3 21 + 4 1 + 5 1 = 451 отказ. Проверить гипотезу о том, что число отказов имеет распределение Пуас- сона: Аь рь=Р)Х=Ц= —,е ", 1с=0,1,..., при а=0,01.
Выборочное значение статистики критерия Хэ вычисляется по фор- муле Гл. 19. Математическая статистика 288 Таблица 6.1 з Оценка параметра Л равна среднему числу отказов: Л = 451/757 и 0,6. По таблице ПЗ с Л = 0,6 находим вероятности рь н ожидаемое число случаев с Л отказами (третий и четвертый столбцы таблицы 6.1). Для Л = 4, 5 и 6 значения ярд ( 5, поэтому объединяем этн строки со строкой для Л = 3. В результате получим значения, приведенныс в таблице 6.2. Таблица 6.2 Так как по выборке оценивался один параметр Л, та 1 = 1, число степеней свободы равно 4 — 1 — 1 = 2. По таблице П5 находим фдд(2) = = 9,21, следовательно, гипотеза о распределении числа отказов по закону Пуассона принимается.
> Пример 2. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки из примера 2 з 1. Принять о = 0,1. О Объем выборки я = 55. Для проверки гипотезы о нормальнол~ распределении нужно найти оценки математического ожидания и дисперсии. Имеем ьь т = х = — ~~ х, 17,84, к ~=1 вв бг ат = ~ (х, — х)г 853 п — 1 ь=1 36. Критерий Хэ и его применение 289 Воспользуемся результатами группировки выборки в примере 2 3 1 1см. таблицу 1.1), расширив первый и последний интервалы.
Результаты группировки приведены во втором и третьем столбцах таблицы 6.3. Таблица 6.3 ,О а 1м ом" аох дох к а х \ Ор ярь а х~ Жх — оо — 12 12 — 14 14 — 16 16 — 18 18 — 20 20 — 22 -22 — +оо 5,274 9,273 14,168 13,662 0,725 -1,273 -2,168 -2,338 0,010 0,175 0,332 0,400 12,633 0,366 0,011 Сумма 1,0001 0,928 55 55 55 В четвертом столбце таблицы 6.3 приведены вероятности ры вычисляемые по формуле у'5,:, — ху /аь — ху рь=Р)ХЕЬь]=Ф~ — ) — Ф1 — ), ус=1,2,...,7, тле аь и 6ь — соответственно нижняя и верхняя границы интервалов, а значения функции Ф(х) берутсн нз таблицы П1. В пятом столбце приводятся ожидаемые частоты яры а в шестом — значения яра после объединения первых двух и последних двух интервалов.
Так как после объединения осталось т = 5 интервалов, а по выборке определены оценки двух параметров, т.е. 1 = 2, то число степеней свободы равно 5 — 2 — 1 = 2. По таблице П5 находим уСоэ дс (2) = 4,61. Выборочное значение статистики критерия равно ус~ = 0,928, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки принимаетсн. с 19.281**. При 50 подбрасываниях монеты герб появился 20 раз. Можно ли считать монету симметричной? Принять гт = 0,10.
19.282. При 120 бросаниях игральной кости шестерка выпала 40 раз. Согласуется ли этот результат с утверждением, что кость правильная? Приннть о = 0,05. 19.283. Решить задачи 19.281, 19.282, используя методы проверки гипотез из 3 4, п. 3. е и Б х о. х О ПП х 2 4 8 12 16 10 3 0,0228 0,0731 0,1666 0,2576 0,2464 0,1519 0,0778 1,254 4,020 ) 9,273 14,168 13,662 8,3541 4,279 )' Гл, 19. Математическая статистика 290 19.284.
Число выпадений герба при 20 подбрасываниях двух монет распределились следующим образом: Согласуются ли эти результаты с предположениями о симметричности монет и независимости результатов подбрасываний? Принять ст = 0,05. 19.285. Ниже приводятся данные о фактических объемах сбыта (в условных единицах) в пяти районах: Согласуются ли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах должен быть одинаковым? Принять ст = 0,01. 19.286. На экзамене студент отвечает только на один вопрос по одной из трех частей курса.
Анализ вопросов, заданных 60 студентам, показал, что 23 студента получили вопросы из первой, 15— из второй и 22 — из третьей части курса. Можно ли считать, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью получит вопрос по любой из трех частей курса? Принять се = 0,10. 19.28?. Метод получения случайных чисел был применен 250 раз.
при этом получены следующие результаты: 0 1 2 3 4 3 б 7 8 9 Цифра 27 18 23 31 21 23 28 23 22 32 Частота появления Можно ли считать, что примененный метод действительно дает случайные числа? Принять се = 0,10. 19.288. В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты которых приведены ниже: Проверить гипотезу Оо о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона.
Принять ст = 0,05. е зб. Критерий 7ст и его применение 291 19.289. Во время второй мировой войны на Лондон упало 537 самолетов-снарядов. Вся территория Лондона была разделена на 576 участков площадью по 0,25 км2. Ниже приведены числа участков пь, на которые упало 1с снарядов: Согласуются ли эти данные с гипотезой о том, что число снарядов, упавших на каждый из участков, имеет распределение Пуассонау Принять ст = 0,05.
19.290. Ниже приводятся данные о числе деталей, поступающих на конвейер в течение 600 двухминутных интервалов: Используя критерий 71~, проверить гипотезу Оо о пуассоновском распределении числа деталей при ст = 0,05. 19.291. При испытании радиоэлектронной аппаратуры фикси- ровалось число отказов. Результаты 59 испытаний приводятся , ниже: Проверить гипотезу Но о том, что число отказов имеет распределение Пуассона, при ст = 0,10. В задачах 19.292 — 19.296 для приведенных группированных выборок, приняв 10 %-ный уровень значимости, проверить гипотезу Но о том, что они получены из нормально распределенной генеральной совокупности.
19.292. 200 отклонений размера вала от номинального значения 1мкм): Середина интервала — 0,14 -0,12 — 0,10 — 0,08 -0,06 — 0,04 — 0,02 Частота 3 8 11 20 27 36 29 Середина интервала 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 Частота 18 17 17 8 4 1 1 Гл.19. Математическая статистика 292 19.293. 150 отклонений диаметров папф передней оси от номинального размера (мкм): 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 Середина интервала 1 4 13 23 22 29 29 16 11 2 Частота 19.294. Величина контрольного размера 68 деталей, изготовленных на одном станке (мм): 2,9-3,9 3,9-4,9 4,9-5,9 5,9-6,9 6,9-7,9 Границы интервала Частота 5 15 23 19 6 19.295.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
