4 часть (1081361), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Входное сопротивление 130 электронных ламп (Ом): Границы кцтернала 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2 2 3 35 43 22 15 5 Частота 19.299. Рост 1004 девушек в возрасте 16 лет (см): 134-137 137-140 140-143 143-146 146-149 149-152 152-155 Частота 1 4 16 53 121 197 229 Границы интервала 155-158 158-161 161-164 164-167 167-170 170-173 Частота 186 121 53 17 5 2. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин. Предположим, что проведено и экспериментов, результаты которых являются значениями дискретных случайных величин Х и У, которые принимают соответственно значения хы тз, ..., хь и у1, уз, ..., уь Обозначим пи число экспериментов, в которых Х = х, и У = у„1 = 1, 2, ..., 1с; у = 1, 2,..., 1. Если Х и У вЂ” непрерывные случайные величины, то область значений каждой нз них разбивается на конечное число интервалов.
В этом случае пи — число экспериментов, в которых случайная величина Х попала в 4-й интервал, а случайная величина У вЂ” в уьй интервал. Результаты и экспериментов можно представить в виде таблицы гцппалжеккосгпи признаков размера 7с х 1 (таблица 6.4). з 6. Критерий Хз и его применение 293 Таблипа 6.4 Проверяется гипотеза Но, утверждаюшая, что случайные величины Х и У независимы. Если гипотеза Но верна, то по определению Р [Х = х,; У = у ] = Р [Х = х ] Р [1 = у ] = р ц,. ггг Пусть р; = — и ф = — ~ — опенки вероятностей р; и ц,. и ' я Если гипотеза Но верна, то ожидаемое число экспериментов й;„в которых случайная величина Х попала в гьй интервал, а случайная величина У в у-й интервал, равно Для проверки гипотезы Но по критерию тз используют следующую статистику; в (и;,— й,)- (1) ~=1 у=1 й; 9 При условии, что гипотеза Но верна, а все ожидаемые частоты й, > 4, 1 = 1, 2,..., )с; у' = 1, 2, ..., 1, статистика (1) имеет распределение Хв с ()с — 1)(( — 1) степенями свобопы.
Гипотеза Но о независимости случайных величин Х и У принимается на уровне значимости гг, если выборочное значение статистики (1) меньше квантили гт1 ((Й вЂ” 1)(! — 1)), т.е. если Если Хз > г'; ((к — 1)(( — 1)), то гипотеза Но отклоняется. 294 Гл. 19. Математическая статистика Длн вычислении выборочного значении статистики (1) критерия удобно использовать формулу 3 а м е ч а н и я. 1. Если ожидаемые частоты й," для некоторых клеток таблицы 6.4 не удовлетворяют условию 60 > 4, то соответствующие строки и столбцы должны быть объединейы с соседними строками и столбцами. 2.
Если (?с — 1)(1 — 1) > 8 и и > 40, то минимальное допустимое значение ожидаемых частот может быть равным единице. Случайные величины Х и У можно рассматривать как два признака, по которым классифицируется выборка объема и; независимость Х и У соответствует независимости этих признаков. Во многих случаих требуетсн проверить гипотезу об однородности нескольких выборок или, иными словами, гипотезу о том, что эти выборки получены из одной генеральной совокупности. Если провернется однородность к различных выборок с объемами им пю ..., вь и зти выборки могут быть записаны в виде таблицы соприженности признаков размера )г х 1 (см.
табл. 6.4), то лли проверки используетси тот же критерий, что и для проверки независимости двух признаков. Пример 3. Комплектующие изделии одного наименования поступают с трех предприлтий А, В и С. Результаты проверки изделий следующие: Можно ли считать, что качество изделий не зависит от поставщика? Принять г! = 0,10. а Провернется гипотеза о независимости двух признаков: качества изделии и места его изготовления. По формуле (2) находим 29Я 38з 53з 1т 2з 7г (30 .
120 40 120 60 . 120 30 10 40 10 60 10 ) число степеней свободы (2 — 1)(3 — 1) = 2. Так как по таблице П5 ф~о(2) 4,605, слелует считать, что качество изделий не зависит от поставщика. З 6. Критерий з н его применение. 295 Заметим, что утверждение о том, что качество изделий ке зависит от поставщика, можно трактовать как проверку гипотезы об однородности трех выборок изделий объемом 30, 40 и 60, полученных соответственно от поставщиков А, В и С.
с 19.297. Утверждается, что результат действил лекарства зависит от способа его применения. Проверить это утверждение при сь = 0,05 по следующим данным: 19.298. Отношение зрителей к включению одной из телепередач в программу выразилось следующими данными: Отрицательное Положительное Безразличное Мужчины Женщины 14 29 24 Зб 2 15 Можно ли считать, что проведение этих мероприятий не влияет на производительность труда? Принять сг = 0,10. 19,300.
Ниже приводятся результаты опроса 100 студентов первых трех курсов на вопрос «считаете ли Вы, что курение мешает учебе?» Можно ли считать, что отношение к включению данной передачи в программу не зависит от пола зрителя? Принять гь = 0,10. 19.299. Изменение производительности труда на предприятии при проведении мероприятий А, В и С выражаетсн следующими данными: Гл.
19. Математическая статистика 296 Подтверждают ли зти данные предположение о том, что отношение к курению студентов разных курсов различно? Принять гт = 0,01. 19.301, Для определения зависимости цвета волос жителей от их местожительства были обследованы три группы людей из районов А, В и С, Свидетельствуют ли приводимые ниже результаты обследования о зависимости цвета волос жителей от их местожительства? Принять гт = 0,05.
19.302. Содержание никотина (в мг) для двух марок сигарет характеризуется следующими данными: Указывают ли эти результаты на различие в содержании никотина в сигаретах зтих марок? Принять гг = 0,10. 3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух бииомиальных распределений. Предположим, что независимо проведены две серии, содержашие и~ и пт испытаний соответственно. В первой серии событие А произошло яы раз, а во второй нм раз. Требуется проверить гипотезу Не о том, что вероятность появления события А в обеих сериях одна и та же, т.е. Не .. р1 = рт. Результаты обеих серий можно представить в виде таблицы сопряженности признаков размера 2 х 2: Гипотеза Не .
р1 — — рт эквивалентна гипотезе о том, что обе выборки получены нз одной генеральной совокупности, т.е. однородны, и проверяется по критерию Хт (см. п. 2 настоящего параграфа). 3 6. Критерий Х2 н его и вменение 297 2 П (П!1П22 — П12П21) Х, = П1.ПЭ.П.1П 2 Гипотеза Но принимается на уровне значимости а, если (3) Х! <Х2 .(1), если Х2 > Х21 (1), то гипотеза Но отклоняется. 3 а м е ч а н и е. Критерий Х2 можно использовать прн условии, что пыле все ожидаемые частоты п1 = > 3, 1, у = 1, 2 и п > 20. Для малых п при вычислении Х2 по формуле (3) нужно п заменить на п — 1; П1. при этОм должно быть п1. > 5 и п2.
> 3 Пример 4. Проверить гипотезу НО о равенстве вероятностей появления события А в двух сериях опытов по результатам таблицы 6.5. Принять а = 0,05. Таблица 6.5 О Минимальное значение ожидаемой частоты П1.П.1 13 9 911= — = — =3,25>3, я=36, п 36 слеловательно, для проверки гипотезы НО можно использовать критерий Х2. По формуле (3) выборочное значение Х2 равно Зб (3 17 — 6 10)2 13.23.9 27 0,04.
Число степеней свободы (2 — 1) (2 — 1) = 1. По таблице П5 находим ХО2 ээ (1) 3,84; так как Х2 < ХО ээ (1), то гипотеза Но принимается. с 19.303. Исследуются два производственных процесса изготовления поршневых колец. Используя критерий Х2, проверьте гипотезу о равенстве процента брака в обоих процессах по следующим В этом случае для вычисления выборочного значения статистики (1) критерия удобно использовать формулу Гл. 19. Математнчесяая статистика 298 данным при сг = 0,01: 19.304. В течение месяца завод поставил предприятию 200 корпусов, из которых 3 оказались дефектными.
В следующий месяц было поставлено 850 корпусов, из которых 7 оказались дефектными. Изменилась ли доля дефектных корпусов в поставках завода? Принять а = 0,01. 19.305. ГООО человек классифицировали по признаку дальтониама. По приведенным ниже данным проверить, есть ли зависимость между наличием дальтонизма и полом человека, при сг = 0,05. 19.306. Во время эпидемии гриппа изучалась эффективность прививок против этого заболевания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
