4 часть (1081361), страница 57
Текст из файла (страница 57)
у„, ..., у,„и ~~ и! = и, где и — объем всей выл=! борки. В этом случае можно проверить адекватность модели результатам наблюдений. Для этого используется статистика (сравните с (20)); Я„/(т — /с) = Г(т — !с, п — т), ь„!р/(п — т) где р= х~' у' 1 у=! з=1,2,...,т, Яи — Юе Юр. Пример 4. Найти оценки параметров модели у = !уо + !8! х + отх по следующим данным: Проверить значимость модели. Определить коэффициент детерминации, вычислить оценки дисперсии ошибок наблюдений и ковариационной матрицы МНК-оценок параметров модели. Найти доверительные интервалы для параметров модели и дисперсии ошибок наблюдений.
Принять а = 0,06. а Для вычисления оценок параметров составим таблицу 7.2. Система нормальных уравнений (23) имеет вид 7,9о+ 28)Уэ = 3 28!У! = 28, 28До+ 196!Зэ = -92 (32) где а — диагональный элемент матрицы (А"А) ', а о — заданный уровень значимости; доверительный иитереал длл дисперсии ошибок наблюдений определяется соотношением Гл.19. Математическая статистика 318 Решая эту систему, получим 1то 5,38, А =1, )Уз = — 1,24. Таблица 7.2 Для проверки значимости модели последовательно находим у = 3/7 = в 0,429, ~~~ уу = 165, А У = (3; 28; -92)" — правая часть системы -т нормальных уравнений (32), 6 А~ э' и 158,22. Далее вычисляем 1~к —— )3 А~У вЂ” иуэ = 158,22 — 7 ° 0,429т и 156,93, Я„= ~~~ у1 — пуув = 165 — 7 0,429 ю 163,71, Я, = Яэ — Яв = 163,71 — 156,93 = 6,78.
Выборочное значение статистики (28) равно 156,93/(3 — 1) 6,78/(7 — 3) Так как Года(2, 4) = 6,94 (таблица П7), то гипотеза о незначимости модели отклоняется. Коэффициент детерминации по формуле (17) В~ = — ' ж 0,958. 156,93 163,71 Оценка дисперсии ошибок наблюдений определяется па формуле (26): 6,78 э~ = — ' = 1,695, а = 1,302. 7 — 3 3 7. Элементы егрессионного анализа 319 Оценка ковариационной матрицы по формуле (29) Определим доверительные интервалы для параметров модели.
По таблице Пб находим 1о д75(4) = 2,776. По формуле (30) границы доверительных интервалов для,Зо: 5,38 ~ 2,776 1,302 ~/О 333; для З1: 1х 2,776 1,302 ь/О,ОИ; для,уд: -1,24 х 2,776 1,302 . ~/0,012 или ;Зо Е (3 29; 7,47): А 6 (0,31; 1,69), Ад 6 ( — 1,64; — 0,84). Найдем доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений. По таблице П5 находим ~~од дж(4) = 11,1, сдд ддд(4) = 0,48. По формуле (31) доверительный интервал для ид имеет вид (7 — 3) 1,695 (7 — 3) 1,695'~ 11,1 ' 0,48 Большой разброс границ доверительных интервалов объясняется тем, что оценки параметров и дисперсии ошибок наблюдений определены по малому числу наблюдений (и = 7). о 19.345.
Предполагается, что зависимость между переменными У и х достаточно точно описывается функцией р =,Зо+Дх+~З2хт. Найти оценки параметров До, Д и,Зт, а также оценку ковариационной матрицы этих оценок по следующей выборке: В задачах 19.346 — 19.348 по выборкам наблюдений требуется: а) найти оценки параметров модели р = Д + Д х + )Зтх; б) проверить значимость модели; в) найти оценки дисперсии ошибок наблюдений и ковариационной матрицы; 7 0 К=1,695 0 28 28 0 0,333 ж 1,695 0 -0,048 196 ) 0 -0,048 0,565 0 -0,081 0,036 0 = 0 0,061 0 0 0,012 — 0,081 0 0,02 Гл, 19.
Математическая статистика 320 г) определить доверительные интервалы для параметров в дисперсии ошибок наблюдений при заданном уровне значимости сг. Предполагается, что ошибки наблюдений не коррелированы и имеют нормальное распределение г110, о). 19.346. сх = 0,10. 19.347.
а = 0,05. 19.348. сг = 0,10. В задачах 19.349-19.352 предполагается, что результаты наблюдений достаточно точно описываются многочленом второго порядка. Найти МНК-оценки параметров втой модели и проверить адекватность модели результатам наблюдений. Можно ли использовать для представления данных линейную регрессиюч 19.349. сх = 0,5. 19.350.
х 2,5 4,5 5,0 1,5 3,5 6,0 6,5 4,0 3,5 2,0 р 0,5 1,2 1,7 0,3 0,8 2,7 3,3 1,0 0,7 0,4 сг = 0,10. 3 7. Элементы регрессионного анализа 321 19.351. Использовать данные из задачи 19.333. Принять а = = 0,05. Построить график остатков. 19.352. Использовать данные из задачи 19.334.
Принять а = = 0,05. В задачах 19.353 — 19.356 найти оценки для параметров модели У = Ро + А*+ А*'. 19.353. 19.354. х 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 0,43 0,94 1,91 3,01 4 4,56 6,45 8,59 11,15 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 6,4 6,8 у 13,88 16,93 20,4? 24,15 28,29 32,61 37,41 42,39 19.355. х 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 25 26 4 7 6 13 30 26 32 40 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 у 32 21 11 5 16 3 21 22 19 32 19.356.
х 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 0,22 0,23 0,31 0,43 0,56 0,82 1,06 1,25 1,72 2,28 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 у 2,67 3,26 3,72 4,32 5,11 5,98 6,64 7,02 8,32 Гл. 19. Математическая статистика 322 В задачах 19.357, 19.358 найти оценки для параметров модели 9 = до+А1 19.357. 19.358. В задачах 19.359-19.360 найти оценки для параметров модели ф,+д еодх 19.359. 19.360. В задачах 19.361, 19.362 найти оценки для параметров модели У = А+Дппх+~~созх. 19.361. 3 7.
Элементы регрессионного анализа 323 19.362. 3. Использование ортогональных систем функций. Система функций фо(х), ф1(х), ..., фь 1(х) называется ортогональной на ыножестиве хы хг,..., х„, если 4~ (х)вч(х) =0 при т~1; т,1=0,1,..., )с — 1. Пусть (х,, у;), 1 = 1, 2,, н — результаты наблюдений переменных х и У. Оценки параметров линейной модели у = Яфо(х) + Дф1(х) + + Ц 1фь 1(х), определяемые по методу наименьших квадратов, при использовании ортогональной системы функций ф (х), у = О, 1, 2, ..., Й-1, вычисляются по формулам В случае, когда длл представленин данных используетсл палиномиальнал модель, а значения хы хг,..., х„ переменной х одинаково отстолт одно от другого с шагом 6, применают артогональные на атом множестве нногочлены Чебышева; и+1 1о(х) — = 1, 6 (х) = х — — , 2 многочлены более высокого порядка определлютсл по рекуррентной формуле Р( г (г) Ог ы(х) = С1(х) Ях) — 0,(х). Конкретные вычислении удобно проводить, используя табулированные значении ортогональных многочленов Рь(1) = ЛьСь(г), где 1 принимает аначения 1, 2, ..., и.
В таблице П9 приведены значения Рь(1) при й = = 1, 2,..., б, и и = 8, 10, 12, 13. Там ие приведены значения ~~ Рьг(1), 3 7. Элементы регрессионного анализа 325 Пример 5. Подобрать порлдок и найти оценки параметров полиномиальной модели (33) длл представления данных х 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 у 0,11 0,26 0,16 0,28 1,27 2,32 2,68 3,85 4,83 7,2 Предполагается, что ошибки наблюдений не коррелированы, имеют равные дисперсии и нормальное распределение. Принять а = 0,05.
а Длл вычислений используем модель (33). Значения х; преобра- Х; — Х1 зуем по формуле (34): 1 = ' + 1, 4 = 1, 2, ..., 10. В таблице 7.6 Таблица 7.6 выписаны значения переменных 1 и у и первых трех ортогональных многочленов при и = 10 (см. таблицу П9). Предварительно вычислнем у = 2,276, сЗ„ = 50,659. Использул зна- и ченил Р~(4) в третьем столбце таблицы 7.6, получим ~~ у;Р~(1) = 121,1. 121,1 Следовательно, по формуле (35) А = — ' = 0,367, а значение остаточной суммы квадратов и оценка дисперсии по формулам (36) и (37) таковы: Ю.
(до, А) = 50,659 — 0,367з 330 = 6,219; з~(1) = — ' = 0,777, 6,219 10 — 2 Гл. 19. Математическая статистика 326 Далее, используя значения Рт(с) в четвертом столбце, вычислим ~у Рт(т) = 26,39. Находим ьы с т = 0,200~ Ое())о~ )Ум Дт) = 0,853, в (2) = ' = 0 122, 26,39 - - - т 0,853 132 ' ' ' ' ' ' ' 10 — 3 вт(1) 0,777 Так как ва(1) > вт(2), причем — = ' = 6,372, что больше, чем вт(2) 0,122 Ро,вв(8, 7) = 3,726, увеличим степень многочлена на единицу. По значениям Ра(1) в пятом столбце таблицы 7.6 находим ~ у,Рз(т) = 20,45, следовательно, 20,45 0,804 ~За = 0,0024, Яе())о~ )У1~ /Ут~ 1)а) = 0~804~ а (3) = = 0 134 8580 ' ' ' ' ' ' ' ' 10 — 4 вт(3) 0,134 Так как — = — ' = 1,099 а), что меньше, чем Ро вв(б, 7) = 5,119, вт(2) 0,122 различие оценок дисперсии ат(2) и вт(3) незначимо и вычисления прекрашаются. Таким образом, длн представлении данных получена модель 2-го порядка: у, = 2,276+ 0,367Р1(с) + 0,2Рт(с), 1 = 1, 2, 3,..., 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
