Дубинин В.В., Бондаренко Н.И., Коровайцева Н.С. - МУ к решению задач и выполнению курсовых заданий по теме Статика (1079957), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Алгебраическим моментом силы Р относительно точки, например точки А, называют взятое со знаком плюс или минус произведение модулд силы Р на ее плечо Ь относительно этой точки: Мл(Р) = ~~Р~Ь. Плечом Ь силы называют кратчайшее расстояние ст точки до линии действия силы. Если вектор силы указывает направление возможного вращения вокруг данной точки против движения стрелки часов, тс алгебраический момент силы относительно этой точки считается положительным. В противном случае алгебраический момент считается отрицательным (рис.
1), Моментом силы Р относительно оси х называют алгебраический момент прсек- ) Р ции Р„ указанной силы на Ь, ) плоскость, перпендикулярную ) Ь этой оси, относительно точки (.Р+ А 0 пересечения оси х и плоскости (рис. 2). Таким образом, согласно определению, Рнс. 1 Мс(Р) ™0(Ри) = -+~Рп~Ьп Если с положительного направления оси 2 видно, что проекция силы Р„стремится Р повернуть тело вокруг точки 0 против движения стрелки А часов, то момент положите! Рс А лен, если по движению стрелки часов — то отрицателен, Момент силы относитель- но оси равен нулю в следу- Рнс. 2 ющих случаях: 1) сила параллельна оси.
В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси: Р„= О; 2) линия действия силы пересекает ось. Здесь равняется нулю плечо силы Р„относительно точки О (Ь„= О), Оба случая можно объединить одним признаком: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости (рис. 3 ). Моменты сил относительно осей можно определить также с помогцью следующих выражений; Мх (Р) = уР— х Р„М' (У) = х Р„- х Р„> М (Р) = х Р„- у Р„, где х, у, Х вЂ” координаты то~к~ п1знлсжения силы, Р„, Ру, Р, проекции силы на координатные оси. При вычислении моментов системы сил относительно оси также можно использовать теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов сил системы относительно той же оси. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение различных способов расчета моментов силы Г относительно осей.
Пример 1, Определить момент силы Р относительно осн 02 (рис. 4, и), если координаты ее точки приложенияхл =О; ул = Ь; хл = О, а направление вектора Р характеризуется углами пи~). Рассмотрим три способа определения момента М,(Р). 1) По определению момента силы относительно оси: Мс(Р) ™с(Рху) Ьху Гну РЬсозпсозД, (Йху = ЬсозД, Р = Рсозсс). Рис. 4 2) С помощью теоремы Вариньона (рис. 4, б); М,(Г) = М, (Г„,) + М, (Р',) = = М (Р)+ М (Ру)+ М (Р ), таккак Р=Г, +Г =Р„+Г +Р„но М,(Р,)=0, таккак Р, параллельна оси Ох,, и М (Г) = Мв(Гху) = Мо(Р„„) (см. и. 1).
Крометогс, М !'Гу)=0, так как Р„пересекает ось Об Следо- вательно, М,(Г)=М,(Р„)=-ЬГ„=-РЬсова соз!3, где Г„= =Р сова соз!3. 3) С помощью теоремы о проекции вектора-момента относи- тельно точки 0 на ось Ож Мг(Р) = [Мс(Р))в = (ОА х Р)в = (хл Гу — УА Ртс) ' следовательно, М,(Г) = -у,1 Г„=-ГЬсова совб, Пример 2. Определить проекции силы Р на оси координат и моменты силы относительно осей координат, если координаты точки А приложения силы (рис. 5, а) хл = с1; ул = 0; зл = Ь и направление вектора Г задано углами а и !3 (рис, 5, б), Решение.
Найаем проекции силы на оси координат: Р =Рсоза; Р, = — Гхусоз(3= — Рсова сов!3; Р, = Р„уз!ар = Рсоа азьч(; Р, = Гз!па. При этом Р = Г„+ Р„+ Р . Рис, В Моменты силы относительно осей координат определим с помощью теоремы Вариньона (рис. 5, а, б): М (Р) = Мх (Г ) = -Гсов а з!п!3 Ь! М,(Г) = М„(Г ° ) + М (Р ) = -Р соз а соз !3 ° Ь вЂ” Гз!па И; М (Г) = М (Р ) = Рсова з!и!3 И. В приведенных ниже примерах 3-5 расчет моментов сил относительно осей и проекций главного вектора на оси координат использован для приведения системы сил к простейшему виду.
Рассмотрим три частных случая приведения пространственной системы сил к паре, равнодействующей, динами. Пример 3. Принести к простейшему виду систему сил(Г1, Г», Р», Р4), приложенныхв вершинах О,А, В, С куба с ребром а (рнс. б, а). Числовые значения сил находятся в отношении ГПГ»'Г»:Г4 =1:~Г2'.1:,/2; Г1 = Г Решение, Построим векторный многоугольник сил, используя грани куба (рис. б, б). В результате получим, что главный всктор системы сил равен нулю Я = ',>" Рв = О. л 1 Так как по условию Р1 = Р, следовательно, Г» = Р, Г» = =Г4 = 6'Р.
Найдем проекции главного момента системы сил относительно точки 0 на оси координат, равньш главным моментам относительно осей координат.' 15 Рвс, б (7,,), =/.„=~М„(/:,)=Г,,Гг/2 а-Вза=б; (ьО)у = /у = ~~> лгу(Га)= — Рз ./2 /2 а =-Ва; (~о)с = Цс =",) Мс(Ра)= Рг /2 /2 ° а+ Рза =2Га. а Систеь(а снл приводится к паре сил с векторным моментом Хр (рн'. б, а): 1 = /. +Т~; ~ЕО~=,Н2+ 4 =.Г5Р. Пример 4. Систему сил (/2„Рз, Рз), приложенных в вершинах А, В, Скуба с ребром а (рис, 7, а), привести к простейшему виду.
Числовые значения сил находятся в соотношении .Р)'.Рз'Рз =!:1:43; г) = Рг = Г, Гз =-/зВ. Решение. Для определения главного вектора Х воспользуемся 3 построением на ребрах куба многоугольника сил Л = ~~" Г» Ф "-1 (рис. 7, б). Сила Я является замыкающей стороной многоугольника, направленной против оси Ох: Я=В„7; Л„=Г„=-В; Ву=Ю; В, =б, |Л!=В, Для определения главного момента системы сил Ьо найдем его проекции на оси координат: 16 Рис. 7 (Т )„= .(,„= ,"г М„(Га ) = б,' (В,)„= Ьу = ХМу(Ве) = б; а (Хо), = 7,, = ~>" М,(Ра ) = В1 а = Ва. Модуль главного момента относительно точки О равен ~ Хо~ = =А =Ва, Система сил (Х, Х~) приводится к равнодействующей Ла, так как К и Хр взаимно перпендикулярны (рис. 7, а), Яо = Я.
Точка приложения равнодействующей находится на расстоянии г/ от начала координат по оси Оу: г7 = Ьр/й = а, Таким образом, так как/., -(ВЬ,Хо), (ВЬ,Х)- б,то (В,/с)-(В,ВОЛо)-йа. Пример 5. Систему сил (7н Рз, Рз) (рис. 8, а), приложенных в точках Л, В, С куба с ребром а, привести к простейшему виду, Числовые значения сил находятся в отношении Г~. В'з. Гз = ):): Л; В1 = В'2 = /Ч Вз = 6В'. Решение, Выбрав центром приведения точку О, определим главный вектор и главный момент системы сил.
Проекции главного вектора Я на оси координат: Вх = ~ /г„, - — Рз соз х сов ~3; х м~ гз '~ *>" ~й тт у = ~~'., ~Ау = Рг — Р3 соз а зги~3; Ф О (Хо) = Е, = Рги = Ра, М (Р) =-~Р~ 1г-~Р~ )г ! О Р =Рсоза, Р =Рз!па; Рнс, 9 Х Ркс Р2 Рг згпп> гс где (3 = 45'; з(па = 1/43; сова = Ч2/3.
Следовательно, Я„=-Р; Я =Я, =0. Проекции главного момента относительно точки О йа осй координат: ~Хо) = ~, = Р,с= Рс; (Хо) = ~у =О; У Главный момент относительно точки О определяется соотн: го -"кг„~ г,. ~ ~у Ад =.Д с~ = Р,Г2. Система сил (Рн Рг, Рз) приводится к силе Я и паре сил с Хо, или к динамо (Я', Х,): (Ры Рг, Рз) (Я, Хо) -(Я,Я',Я;Т..) (Я',Х ) — рис. 8, б, Здесь То =Хк + Хс, (Х ) (Я',Я"); (Я,Я") (). Пример б. Рассмотрим пример расчета пространственной рамы (рис.
9, с). Проекции силы Р определяготся соотношениями: Р = Р„+ Р,„Р„= Р„сов~3 = Р сова сов ~3, РУ = -Р созазгп(3. Далее моменты силы относительно осей определяются по теореме Вариньона по формулам, приведенным на рис. 9, б А З Рис. 10 Рис, 11 Пример 7, Показать, что суммы моментов сил пары М(Р1, Гз) относительна осей координат (рис. 10, а) равны проекциям вектора-момента пары на соответствующие оси. Момент пары М(Р1, РЗ) имеет модуль ~М) = РЛ (Г = Р1 = РЗ) и направлен перпендикулярно ее плоскости действия (рис. 10, б).
Суммы моментов сил пары относительно асей координат равны проекциям вектора-момента пары на аси координат; 1М(Р1Рз))х = Мх(Р1) + Мх(Р2) = 0; (М(Р1,71)) "-М (Р1)+ М (Р1) = Рз(~1 + Р1ь1 = =-РЯг — 4) =-РЬе)па = -~М~е(па; (М(Р1,Рз)), = М,(У)+ М,(Р,) =Р,1, р1, =Р(11 — 11? = Рйсоеа = ~М~соеа, 2, ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 1. Выбрать тело или систему тел, равновесие которых изучается, 2. Если тело нагружено распределенными силами, то, поскольку все аксиомы и теоремы статики сформулированы для сосредото сенных сил, заменить распределенные силы эквивалентными сосредоточенными. ! На рис.
11, а показана замена приложенных к прямолиней1 ному отрезку АЗ распределенных параллельных сил, интенсивность которых постоянна, На рис. 11, 6 показана замена приложенных к прямолинейному отрезку АЗ распределенных параллельных сил, интенсивность которых изменяется по линейному закону от нуля до максимального значения фосс Рис. 11, э иллюстрирует замену распределенных параллельных сил с постоянной интенсивностью, приложенных к отрезку АЗ в виде дуги окружности. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
