Приложения к лекциям (1077553), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

x n !условияdlnмаксимума,T ( x 1 , ... ,d λполучаемn∑ xi,)λxni =1− n = 0.=λ=ΘΘуравнение,определяющееОтсюда следует, чтоΘ=МП-оценкуΘпараметраλ:1 n∑ x = x.n i =1 iЗадача 1. Пусть время до отказа изделия τ подчиняется закону Ex(λ), где λ неизвестный параметр.

Порезультатам испытаний образцов изделий получена выборка τ1, τ2, ..., τп. Найти оценку параметра λ,используя различные способы.Интервальные оценки (доверительные интервалы)Доверительным интервалом (ДИ) для параметра ϑ, соответствующим доверительной вероятности γ(обычно γ = 0,95), называется интервал Jγ(ϑ) = ( ϑ , ϑ ), где ϑ и ϑ - нижняя и верхняя границы, которыеопределяются по выборочным данным так, чтобы P {ϑ < ϑ < ϑ } = γ , т.е.

вероятность “накрытия”интервалом неизвестного значения параметра ϑ равна доверительной вероятности (уровню доверия) γ.Нижняя и верхняя границы доверительного интервала являются СВ так как определяются порезультатам наблюдений. Полуширина доверительного интервала определяет точность оценки, а γ = 1 α - ее достоверность, α - уровень значимости.Постановка задачи. Пусть СВ X ∼ N(µ, σ). По выборке объема n требуется построить ДИ дляпараметров µ и σ с уровнем доверия γ, т.е.:Jγ(µ) = ( µ , µ ) и Jγ(σ) = ( σ , σ ).Доверительный интервал Jγ(µ) = ( µ , µ )Случай I (σ = σ0 - известная величина).

Будем искать симметричный ДИ в виде Jγ(µ) = ( µ , µ ) = ( x-ε,nx +ε), где x = 1 ∑ xi - выборочное среднее параметра µ. Тогда остается найти ε > 0, соответствующееni = 1доверительной вероятности γ, чтобы P{ x-ε < µ < x +ε} = γ. Если X ∼ N(µ, σ0), тогда СВN(µ, σ0/ n ). Следовательноσ 0.P X − µ < δ = 2 ⋅ Ф (δ ) − 1n X =1 n∑Xni =1 i∼Тогда ε = δ⋅σ0/ n и 2Ф(δ) - 1 = γ. Определимиз этих двух уравнений δ и ε.Очевидно, что δ = t(γ+1)/2 - квантиль уровня (γ+1)/2 нормального распределения, который находится посоответствующим таблицам.Тогда ε(γ) = t(γ+1)/2⋅σ0/ n .

Тем самым получен ДИ для параметра µ следующего вида:Jγ(µ) = ( µ , µ ) = ( x-ε, x +ε), гдеx=1 n∑xn i = 1iи ε = t(γ+1)/2⋅σ0/ n .Пример. Измеряется глубина проникания L с помощью прибора, которое имеет среднеквадратичноеотклонение погрешности измерения σ0 = 10 мм. Проведено четыре измерения и определено выборочноесреднее L = 152 мм. Считая, что L ∼ N(µ, σ0), определить доверительный интервал глубины L с уровнемдоверия γ = 0,9.Решение.

Сначала определим квантиль уровня 0,95 нормального распределения: t(γ+1)/2 = t0,95 = 1,65.Следовательно J0,95(µ) = ( µ , µ ) = ( L - ε, L + ε), где ε = t0,95⋅σ0/ n = 1,65⋅10/2 = 8,25. Тогда J0,95(µ) = L ± ε= 152 ± 8,3 мм.Задача 2. Как изменится доверительный интервал глубины L в рассмотренном примере, еслидоверительная вероятность γ уменьшиться в 1,5 раза? Как изменится доверительная вероятность γ, еслив два раза увеличить число измерений?Доверительный интервал Jγ(µ) = ( µ , µ )Случай II (σ - неизвестная величина). Будем искать симметричный ДИ в виде Jγ(µ) = ( x -ε, x +ε), гдеx=T=1 n∑ x - выборочное среднее параметра µ.

Для построения “точного” ДИ воспользуемся тем, что СВn i = 1iX −µn ∼ tn-1,2SгдеS2 =1 n2∑ X −Xn − 1i = 1 i() - точечная оценка дисперсии D[X]. Если s(γ+1)/2 - квантильуровня (γ+1)/2 распределения Стьюдента с (n-1) степенью свободы, то справедливо следующее:P{T < s(γ+1)/2} = P{-s(γ+1)/2 < T < s(γ+1)/2} = P{T < s(γ+1)/2} - P{T < -s(γ+1)/2} = P{T < s(γ+1)/2} - P{T < s(1-γ)/2} =(γ+1)/2 - (1-γ)/2 = γ.2Тогда P{ X -µ < s(γ+1)/2⋅ S n } = γ,где S2 - точечная оценка дисперсии D[X]. Следовательно ε(γ) = s(γ+1)/2⋅ s 2 n , где s2 - выборочноезначение дисперсии D[X].

Тем самым получен ДИ для параметра µ следующего вида:nJγ(µ) = ( µ , µ ) = ( x -ε, x +ε), где x = 1 ∑ xi , ε = s(γ+1)/2⋅ s 2 n иni = 1s2 =1 n2∑ x −x .n − 1 i =1 i()Пример. Пусть измеряемая величина X ∼ N(µ, σ) является пределом текучести материала. По четыремиспытаниям установлены: выборочное среднее x = 400 МПа и выборочное значение дисперсии s2 = 16(МПа)2. Требуется определить ДИ для M[X] с уровнем значимости α = 0,1.Решение. Сначала определим квантиль уровня 0,95 распределения Стьюдента с 3 степенями свободы:s(γ+1)/2 = t3; 0,05 = 2,35. Следовательно J0,9(µ) = ( x - t3; 0,05 ⋅ s 2 n , x + t3; 0,05 ⋅ s 2 n ) = (400 - 4,7; 400 + 4,7)МПа.Задача 1.

Как изменится доверительный интервал X в рассмотренном примере, если доверительнаявероятность γ уменьшиться в 1,5 раза? Как изменится доверительный интервал, если положить, что σ2= s2 ?Доверительный интервал Jγ(σ) = ( σ , σ )Постановка задачи. Пусть СВ X ∼ N(µ, σ), где µ и σ - неизвестные параметры. По выборке объема nтребуется построить ДИ для параметра σ с уровнем доверия γ.Для этого воспользуемся тем, что СВW =S2( n − 1)σ 2∼ χ2n-1, гдеS2 =1 n2∑ X −Xn − 1i = 1 i() - точечная оценкадисперсии D[X]. По таблицам χ2 - распределения найдем квантили уровня (1-γ)/2 и (γ+1)/2распределения Пирсона с (n-1) степенями свободы x (1-γ)/2 и x (γ+1)/2, для которых справедливо:P{x (1-γ)/2 < W < x (γ+1)/2} = P{W < x (γ+1)/2} - P{W < x (1-γ)/2} = (γ + 1)/2 - (1 - γ)/2 = γ.Проводя элементарные преобразования, получаем:P{(n-1)S2/x (γ+1)/2 < σ2 < (n-1)S2/x (1-γ)/2} = γ и P{[(n-1)S2/x (γ+1)/2]1/2 < σ < [(n-1)S2/x (1-γ)/2]1/2} = γ,2где S - точечная оценка дисперсии D[X].

Тем самым получены ДИ для параметров σ2 и σ:Jγ(σ2) = ( (n-1)s2/x (γ+1)/2, (n-1)s2/x (1-γ)/2 ) и Jγ(σ) = ( [(n-1)s2/x (γ+1)/2]1/2, [(n-1)s2/x (1-γ)/2]1/2 ),где x (1-γ)/2 и x (γ+1)/2 - квантили уровня (1-γ)/2 и (γ+1)/2 распределения Пирсона с (n-1) степенямисвободы;s2 - выборочное значение дисперсии D[X].Пример. Пусть измеряемая величина X ∼ N(µ, σ) - давление газа.

По четырем испытаниям установлены:выборочное среднее x = 120 МПа и выборочное значение дисперсии s2 = 4 (МПа)2. Требуетсяопределить ДИ для σX с уровнем значимости α = 0,1.Решение. Сначала определим квантили уровня 0,05 и 0,95 распределения Пирсона с 3 степенямисвободы: x0,05 = χ23; 0,95 = 0,35 и x0,95 = χ23; 0,05 = 7,8. Следовательно J0,9(σX) = (1,24; 5,8) МПа.Задача 2. Как изменится доверительный интервал X в рассмотренном примере, если доверительнаявероятность γ уменьшиться в 1,5 раза?Монотонные преобразования параметровПусть ϕ(x) - некоторая монотонная функция, тогда, зная ДИ для параметра ϑ, можно найти ДИ для ξ =ϕ(ϑ). Действительно:„ если ϕ(x) - возрастающая функция, то:„ если ϕ(x) - убывающая функция, то:ξ= ϕ( ϑ ),ξ = ϕ( ϑ ).ξ = ϕ( ϑ ), ξ = ϕ( ϑ ).Пример. Вероятность выхода из строя одного элемента системы равна p.

Вероятность выхода из строявсей системы, состоящей из m (m > 1) параллельно соединенных элементов равна P. Требуетсяопределить ДИ уровня γ для вероятности P, если Jγ(p) = (p1, p2).Решение. Так как P = pm и pm - монотонная возрастающая функция для любых значений p, то Jγ(P) =(p1m, p2m).Распределение Пирсона (или “хи”-квадрат распределение)νПусть СВ X = ∑ X 2i , где Xi ∼ N(0, 1) - независимые нормированныеi =1нормально распределенные СВ.

Тогда X подчиняется распределению “хи”квадрат с ν степенями свободы: X ∼ χν2. С ростом ν “хи”-квадратраспределение приближается к нормальному с параметрами mX = ν и σX =2ν .Значения χчислостепенейсвободыν1234567891011121314151617181920212223242526272829302Таблица 2.ν,αв зависимости от числа степеней свободы ν и вероятности α:P{ X > χ2ν, α } = α.Вероятность α:0,990,000160,0200,1150,300,550,871,241,652,092,563,13,64,14,75,25,86,47,07,68,38,99,510,210,911,512,212,913,614,315,00,9750,000980,0510,2160,480,831,241,692,182,703,253,84,45,05,66,36,97,68,28,99,610,311,011,712,413,113,814,615,316,016,80,950,00390,1030,3520,711,141,632,172,733,323,944,65,25,96,67,38,08,79,410,110,911,612,313,113,814,615,416,216,917,718,50.900,0160,2110,5841,061,612,202,833,494,174,865,66,37,07,88,59,310,110,911,712,413,214,014,815,716,517,318,118,919,820,60,102,74,66,37,89,210,612,013,414,716,017,318,519,821,122,323,524,826,027,228,429,630,832,033,234,435,636,737,939,140,30,053,86,07,89,511,112,614,115,516,918,319,721,022,423,725,026,327,628,930,131,432,733,935,236,437,738,940,141,342,643,80,0255,07,49,311,112,814,416,017,519,020,521,923,324,726,127,528,830,231,532,934,235,536,838,139,440,641,943,244,545,747,00,016,69,211,313,315,116,818,520,121,723,224,726,227,729,130,632,033,434,836,237,638,940,341,643,044,345,647,048,349,650,9t - распределение СтьюдентаПусть СВ V ∼ N(0, 1), а независимая от нее СВ X ∼ χν2, тогда СВVподчиняется t - распределению Стьюдента с ν степенямиT=X νСвойство симметрии:-tν, 1-α= tν, α.свободы, т.е.: T ∼ tν.

С ростом ν распределение Стьюдентаприближается к нормированному нормальному распределениюN(0, 1). Уже для ν ≥ 60 распределение Стьюдента с высокойстепеньюточностиаппроксимируетсянормированнымнормальным распределением.Таблица 3.Значения tν, α в зависимости от числа степеней свободы ν и вероятности α:P{ T > tν,α } = α.числостепенейсвободыν12345678910111213141516171819202122232425304060120∞Вероятность α:0,201,381,060,980,940,920,910,900,890,880,880,880,870,870,870,870,860,860,860,860,860,860,860,860,860,860,850,850,850,840,840,103,081,891,641,531,481,441,421,401,381,371,361,361,351,341,341,341,331,331,331,331 ,321,321,321,321,321,311,301,301,291,280,056,312,922,352,132,021,941,901,861,831,811,801,781,771,761,751,751,741,731,731,731,721,721,711,711,711,701,681,671,661,640,02512,714,303,182,782,572,452,372,312,262,232,202,182,162,152,132,122,112,102,092,092,082,072,072,062,062,042,022,001,981,960,0131,826,974,543,753,373,143,002,902,822,762,722,682,652,622,602,582,572,552,542,532,522,512,502,492,482,462,422,392,362,330,00563,669,935,844,604,033,713,503,363,253,173,113,063,012,982,952,922,902,882,862,852,832,822,812,802,792,752,702,662,622,580,001318,3122,3310,217,175,895,214,784,504,304,144,023,933,853,793,733,693,653,613,583,553,533,503,483,473,453,393,313,233,163,090,0005636,6231,6012,948,616,865,965,415,044,784,594,444,324,224,144,074,023,973,923,883,853,823.793,773,753,733,653,553,463,373,29F - распределение ФишераПусть СВ X1 ∼ χν12, а независимая от нее СВ X2 ∼ χν22, тогда СВX νF = 1 1 подчиняется F - распределению Фишера с ν1 и ν2X 2 ν2степенями свободы, т.е.: F ∼ Fν1,ν2.

В таблице 4 приведенызначения лишь для α = 0,05, однако, ее можно использовать ипри α = 0,95, поскольку Fν1,ν2, 1-α = 1/Fν2,ν1, α.Таблица 4.Значения Fν1,ν2, α в зависимости отчисла степеней свободы ν1, ν2 и вероятности α = 0,05: P{ F > Fν1,ν2, α } = α.ν112345678916118,510,17,716,615,995,595,325,124,964,844,754,674,604,544,494,454,414,384,354,324,304,284,264,244,234,214,204,184,174,084,003,923,8420019,09,556,945,795,144,744,464,264,103,983,883,803,743,683,633,593,553,523,493,473,443,423,403,383,373,353,343,333,323,233,153,073,0021619,29,286,595,414,764,354,073,863,713,593,493,413,343,293,243,203,163,133,103,073,053,033,012,992,982,962,952,932,922,842,762,682,6022519,29,126,395,194,534,123,843,633,483,363,263,183,113,063,012,962,932,902,872,842,822,802,782,762,742,732,712,702,692,612,532,452,3723019,39,016,265,054,393,973,693,483,333,203,113,032,962,902,852,812,772,742,712,682,662,642,622,602,592,572,562,552,532,452,372,292,2123419,38,946,164,954,283,873,583,373,223,093,002,922,852,792,742,702,662,632,602,572,552,532,512,492,472,462,452,432,422,342,252,172,1023719,48,896,094,884,213,793,503,293,143,012,912,832,762,712,662,612,582,542,512,492,462,442,422,402,392,372,362,352,332,252,172,092,0123919,48,856,044,824,153,733,443,233,072,952,852,772,702,642,592,552,512,482,452,422,402,372,362,342,322,312,292,282,272,182,102,021,9424119,48,816,004,774,103,683,393,183,022,902,802,712,652,592,542,492,462,422,392,372,342,322,302,282,272,252,242,222,212,122,041,961,88ν21234567891011121314151617181920212223242526272829304060120∞ν1101215202430406025119,58,595,724,463,773,343,042,832,662,532,432,342,272,202,152,102,062,031,991,961,941,911,891,871,851,841,821,811,791,691,591,501,3925219,58,575,694,433,743,303,012,792,622,492,382,302,222,162,112,062,021,981,951,921,891,861,841,821,801,791,771,751,741,641,531,431,32120∞ν21234567891011121314151617181920212223242526272829304060120∞24219,48,795,964,744,063,643,353,142,982,852,752,672,602,542,492,452,412,382,352,322,302,272,252,242,222,202,192,182,162,081,991,911,8324419,48,745,914,684,003,573,283,072,912,792,692,602,532,482,422,382,342,312,282,252,232,202,182,162,152,132,122,102,092,001,921,831,7524619,48,705,864,623,943,513,223,012,852,722,622,532,462,402,352,312,272,232,202,182,152,132,112,092,072,062,042,032,011,921,841,751,6724819,48,665,804,563,873,443,152,942,772,652,542,462,392,332,282,232,192,162,122,102,072,052,032,011,991,971,961,941,931,841,751,661,5724919,58,645,774,533,843,413,122,902,742,612,512,422,352,292,242,192,152,112,082,052,032,011,981,961,951,931,911,901,891,791,701,611,5225019,58,625,754,503,813,383,082,862,702,572,472,382,312,252,192,152,112,072,042,011,981,961,941,921,901,881,871,851,841,741,651,551,4625319,58,555,664,403,703,272,972,752,582,452,342,252,182,112,062,011,971,931,901,871,841,811,791,771,751,731,711,701,681,581,471,351,2225419,58,535,634,363,673,232,932,712,542,402,302,212,132,072,011,961,921,881,841,811,781,761,731,711,691,671,651,641,621,511,391,251,00Таблица 5.Доверительные интервалы для неизвестных параметровнормальных распределений№п/п1.ПараметрmXИнформация о другихпараметрах распределенияσX известно2.mXσX неизвестно3.σ2XmX известно4.σ2XmX неизвестно5.σXmX неизвестно6.σ 2X / σ 2X12mX2неизвестныm7.mX ,1ρσmX ,1иX ,1σXX22неизвестныДоверительный интервал параметра с доверительной вероятностью γx − sx−t(γ + 1) / 2(σn − 1,(1 − γ ) / 2X/n) < m( s2 / n ) < mX< x + s( γ + 1) / 2< x+t(σn − 1,(1 − γ ) / 2nn< σ 2 < s2s2 22Xχχn ,(1 − γ ) / 2n ,(γ + 1) / 2n −1n −1< σ 2 < s2s2 22Xχχn − 1,(1 − γ ) / 2n − 1,(γ + 1) / 2ν ⋅ s2χ 2ν , (1 − γ ) / 2< σXX<ν ⋅ s2;χ 2ν , (γ + 1) / 2X/n)( s2 / n )ν = n − 1σ 2X2s1211 < s1 F<s 22 n 2 − 1 , n 1 − 1 , ( 1 − γ ) / 2σ 2Xs 22 F n 1 − 1 , n 2 − 1 , ( 1 − γ ) / 22 1 1 + ρ$ s(γ + 1) / 2  1 1 + ρ$ s(γ + 1) / 2 th ln−< ρ < th ln+2 1 − ρ$n−3 n−3  2 1 − ρ$это справедливо для достаточно больших n (n > 10)____________Примечание:n - объем выборки x1, x2, ...

Характеристики

Список файлов лекций