Приложения к лекциям (1077553), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

xn) = P{ X1 < x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайноговектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующимисвойствами:1. 0 ≤ F(x, у) ≤ 1;2. F(x, у) - неубывающая функция своих аргументов;3.4.lim F ( x , y ) = 0;lim F ( x , y ) = 0;lim F ( x , y ) = 0;lim F ( x , y ) = 1;x → −∞y → −∞x , y → −∞x , y → +∞lim F ( x , y ) = F ( x );lim F ( x , y ) = F ( y ).Свойство 4 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что ФР отдельныхкомпонент случайного вектора могут быть найдены предельным переходом из функции совместногораспределения этих компонент. Вероятность попадания случайной точки на плоскости (X, Y) впрямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, может быть вычислена с помощью ФРпо формуле:P{x1 ≤ X < x2, y1 ≤ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).Двумерный случайный вектор (X,Y) называется случайным вектором дискретного типа(СВДТ), если множество его возможных значений G(x, y) не более чем счетно.

Ее закон распределенияможно задать двумерной таблицей из перечня возможных значений пар компонент {(хi, yi) | (хi, yi) ∈G(x, y)} и соответствующих каждой такой паре вероятностей pij = P{X = xi, Y = yj}, удовлетворяющихусловию ∑ ∑ p ij = 1 .i jДвумерный случайный вектор (X, Y) называется случайным вектором непрерывного типа(СВНТ), если существует такая неотрицательная функция f(x, y) называемая плотностьюраспределения (ПР) вероятностей случайного вектора, что:∂ 2 F ( x, y )f(x, y) =,∂ x∂ yyxтогда F(x, y) = ∫∫ f ( s , t )dtds .−∞−∞ПР вероятностей обладает следующими свойствами:1. f(x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ R2;+ ∞+ ∞2. ∫ ∫ f (s , t )dtds = 1 - условие нормировки.− ∞− ∞ПР вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов отсовместной плотности:+∞+∞f(x) = ∫ f (x , y )dy ;f(y) = ∫ f (x , y )dx .−∞−∞Вероятность попадания случайной точки в произвольную квадрируемую область S на плоскостиопределяется по формулеP{(X, Y) ∈ S}= ∫∫Sf ( x, y )dxdy .Условной плотностью распределения вероятностей случайной компоненты X при условии, чтокомпонента Y приняла определенное значение у, называется функция f(x/y) действительной переменнойх ∈ R: f(x/y) = f(x, y)/f(y).

Аналогично определяется условная плотностью распределения вероятностейслучайной компоненты Y при условии, что компонента X приняла определенное значение x: f(y/x) = f(x,y)/f(x). СВ X1, X2, ..., Хn называются независимыми (в совокупности), если для событий {Xi ∈ Bi}, i = 1,2, ..., n, где B1, B2, ...

Bn - подмножества числовой прямой, выполняется равенство: P{X1 ∈ B1, X2 ∈ B2, ...Xn ∈ Bn} = P{X1 ∈ B1}⋅ P{X2 ∈ B2}⋅ ... ⋅P{Xn ∈ Bn}.Теорема: СВ X1, Х2, .... Хn независимы тогда и только тогда, когда в любой точке x = (x1, x2, ...,xn) имеет место равенство: F(x1, x2, ..., xn) = F(x1) ⋅ F (x2) ⋅ ... ⋅ F (xn) (или f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) ⋅ f(x2) ⋅ ... ⋅f(xn)).Числовые характеристики случайного вектораДля двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительноечисло νr,s, определяемое формулой:νr,s = M[Xr Ys] =+ ∞ + ∞ ∫ ∫ x r y s f (x , y )dxdy ,СВНТ ;− ∞ − ∞∑ ∑ x r y s p ,СВДТ .i j iji jНачальный момент νr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенстваабсолютно сходится.

В частности, νr,0 = M[Xr] - соответствующие начальные моменты компоненты X.Вектор с неслучайными координатами (mX, mY) = (ν1,0, ν0,1) называется математическим ожиданиемслучайного вектора (X, Y) или центром рассеивания.Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительноечисло µr,s определяемое формулойrsµr,s = M[(X-mX) (Y-mY) ] =+ ∞ + ∞ ∫ ∫ (x − m ) r ( y − m ) s f (x , y )dxdy ,СВНТ ;XY− ∞ − ∞r∑ ∑ (x − m ) ( y − m ) s p ,СВДТ .ijjYiXi jЦентральный момент µr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенстваабсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (µ2,0, µ0,2) называетсядисперсией случайного вектора.OOЦентральный момент µ1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M[ X Y ] =M[(X-mX)⋅(Y-mY)] = M[XY]-mX mY.Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора являетсянормированная ковариацияρXY = KXY/(σXσY).

Свойства ковариации (и коэффициента корреляции):1. KXX = DX, KYY = DY, (ρXX = ρYY = 1);2. KXY = KYX, (ρXY = ρYX);3. |KXY| ≤ K X X K Y Y = D X DY , (|ρXY | ≤ 1).Ковариационный момент и коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости междуX и Y. Условие |ρXY | = 1 необходимо и достаточно, чтобы СВ X и Y были связаны линейнойзависимостью Х = a⋅Y + b, где a и b - константы. СВ, для которых KXY = 0 (ρXY = 0), называютсянекоррелированными.

Из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность(обратное, вообще говоря, неверно).Условным математическим ожиданием компоненты Х при условии, что Y приняла одно изсвоих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:mX/Y = M[X/Y = yj] =+∞∫ xf ( x / y )dx , СВНТ ;j−∞∑ x ⋅ P {X = x /Y = y }, СВДТ ,ij i iгде Р{X = xi /Y = yj} =p ij / ∑ p iji, pij = Р{X = xi ,Y = yj}.Условной дисперсией компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможныхзначений yj, называется действительное число определяемое формулой:DX/Y = D[X/Y = yj] =+∞2∫ x − m X /Y f ( x / y )dx ,СВНТ ;j−∞2∑ x − m⋅ P {X = x / Y = y },СВДТ .X /Yiiji()()Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора безтруда обобщаются на случай n-мерного случайного вектора (Х1, Х2, ..., Хn).

Так, например, вектор снеслучайными координатами (m1, m2, ..., mn), где mi - математическое ожидание СВ Хi, определяемоеформулой+∞+∞ +∞∫ ... ∫ x f ( x 1 , x 2 , ... x )dx 1dx 2 ⋅...⋅dxinn−∞−∞ −∞mi = M[Xi] = ∫, называется центром, рассеивания случайноговектора.Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора X = (Х1, Х2, ..., Хn) называетсясимметрическая матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих паркомпонент случайного вектора: K11K12K22K= ... K1n ...

K2 n  ,... ... Knn Oгде Кij = M[ X i X j ] - ковариация i-й и j-й компонент.Очевидно, что Кii = М[Xi2] -дисперсия i-й компоненты.OКорреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называется симметрическая матрица,составленная из коэффициентов корреляции соответствующих пар компонент случайного вектора: 1 ρ12C = 1ρ13 ρ1n ρ23 ρ2 n  ,... ... 1ρij =Kij- коэффициент корреляции i-й и j-й компоненты.σ σXi X jЗадача 1. Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в следующем виде:Y123X11/91/91/9201/61/63001/31.

Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].2. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.Задача 2. Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеютсовместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | -1≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.1. Записать общее выражение для ПР и для ФР вероятности случайного вектора (X,Y).2. Найти центр рассеивания (mX, mY)и вычислить дисперсию (DX, DY) совместного распределениякоординат.3.

Построить ковариационную и корреляционную матрицы.Закон больших чиселСледующие утверждения и теоремы составляют основу законов, объединенных общим названием законбольших чисел.Первое неравенство Чебышева. Если СВ X ≥ 0 имеет конечное значение µ = M[X], то для любого ε > 0справедливо:P{X ≥ ε} ≤ µ/ε или P{X < ε} > 1 - µ/ε.3 Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым идля СВДТ. Так какµ = M [X ]=ε+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞∫ x f ( x ) d x = ∫ x f ( x ) d x + ∫ x f ( x ) d x ≥ ∫ x f ( x ) d x ≥ ∫ ε f ( x ) d x = ε ⋅ P { X ≥ ε }.− ∞εεε− ∞Тогда P{X ≥ ε} ≤ µ/ε, что и требовалось показать.

4Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения µ = M[X] и σ2 =D[X], то для любого ε > 0 справедливо:P{X - µ ≥ ε} ≤ σ2/ε2 или P{X - µ < ε} > 1 - σ2/ε2.3 Проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x). Так какε + µ−ε + µ+ ∞+ ∞( x − µ ) 2 f ( x )dx +∫ ( x − µ ) 2 f ( x )dx =∫∫ ( x − µ ) 2 f ( x )dx + ∫ ( x − µ ) 2 f ( x )dx ≥ε + µ− ∞−∞−ε + µ− ε + µ− ε + µ+ ∞+ ∞( x − µ ) 2 f ( x )dx + ∫ ( x − µ ) 2 f ( x )dx ≥≥ε 2 f ( x )dx + ∫ ε 2 f ( x )dx = ε 2 ⋅ P { X − µ ≥ ε}.∫∫ε + µε + µ− ∞− ∞σ 2 = D[X ] =Тогда P{X - µ ≥ ε} ≤ σ2/ε2, что и требовалось показать. 4Последовательность СВ X1, X2, ..., Xn, ...

называется сходящийся по вероятности при n → ∞ к СВ X(обозначение: X n →P X при n → ∞), если для любого, сколь угодно малого ε > 0 справедливоlimn → ∞P{ X n − X < ε }= 1,или, иными словами, для любых, сколь угодно малых чисел ε > 0 и δ > 0найдется номер k, что для всех n > k выполняется условие:P{Xn - X < ε} > 1 - δ.Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если попарно независимые СВ X1, X2, ..., Xn, ...имеют конечные значения M[Xi] = µi и D[Xi] = σi2≤ σ2, то для любого ε > 0 справедливо следующее:limn → ∞P{ X − µ < ε}= 1,nгде X = 1 ∑ X i ,ni=1µ =1 n∑ µ ,ni=1 iилиPX → µ при n → ∞.n3 Пусть СВ Y = 1 ∑ X i , следовательно математическое ожидание и дисперсия этой СВni=1определяется следующим образомnn11∑ X i =M [Y ] = M ∑ µ i = µnni = 1i = 1иnn1n ⋅σ 21σ 2D [Y ] = D ∑ X i =∑ σ i2 ≤=22nnn i = 1n i = 1 .Из второго неравенства Чебышева следует, чтоP{Y - M[Y] < ε} > 1 - D[Y]/ε2 ≥ 1 - c2/n, где c = σ/ε > 0.Тогда при n → ∞ для любого ε > 0 вероятность P{ X - µ  < ε} → 1, что и требовалосьпоказать.

4Следствие. Если в условии теоремы СВ X1, ..., Xn, ... имеют одинаковые значения M[Xi] = µ, то длялюбого ε > 0 справедливо следующее:P{ X − µ < ε }l imn → ∞= 1,гдеX =1 n∑ X ,n i = 1 iилиPX → µпри n → ∞.Теорема (Закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях посхеме Бернулли. Тогда при n → ∞ частота “успехов” сходится по вероятности к p, где p - вероятность“успеха” в одном испытании, т.е.:K P→ p при n → ∞nилиlimn→∞ KP  n− p < ε  = 1для любого ε > 0.3 Пусть СВ Xi подчиняется закону распределения Бернулли, следовательно M[Xi] = p и D[Xi] = p⋅q.

Характеристики

Список файлов лекций