Приложения к лекциям (1077553), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Такnкак K = 1 ∑ X i = X , тогда из следствия теоремы получаем для любого ε > 0nni =1limn→∞ KP  n− p< ε  = 1илиK P→ pnпри n → ∞, что и требовалось показать. 4Задача 1. Пусть СВ X подчиняется закону Ex(1). С помощью неравенств Чебышева оценитьвероятностиP{X - M[X] < α⋅ D[ X ] } для α = 1, 2, 3. Сравнить эти оценки с точными значениями.Предельные теоремы теории вероятностейЦентральная предельная теорема (ЦПТ) ( в формулировке Ляпунова А.М. для одинаковораспределенных СВ).

Если попарно независимые СВ X1, X2, ..., Xn, ... имеют одинаковый законраспределения с конечными числовыми характеристиками M[Xi] = µ и D[Xi] = σ2, то при n → ∞ законnраспределения СВ Y = ∑ X i неограниченно приближается к нормальному закону N(n⋅µ, σ n ).i = 1Следствие. Если в условии теоремы СВ Y =X=n1∑ X i , то при n → ∞ законn i = 1распределения СВ Y неограниченно приближается к нормальному закону N(µ, σ/ n ).Теорема Муавра-Лапласа. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогдапри n → ∞ и фиксированном значении вероятности “успеха” в одном испытании p закон распределенияСВ K неограниченно приближается к нормальному закону N(n⋅p, n ⋅ pq ).3 Пусть СВ Xi подчиняется закону распределения Бернулли, следовательно M[Xi] = p и D[Xi] = σ2= p⋅q. Так как согласно ЦПТ при n → ∞ и фиксированном значении p закон распределения СВK =n∑ X ii = 1неограниченно приближается к нормальному законуN(n⋅ p, σ n ), что итребовалось показать.

4Следствие. Если в условии теоремы вместо СВ К рассмотреть СВ К/n - частоту “успехов” в nиспытаниях по схеме Бернулли, то ее закон распределения при n → ∞ и фиксированном значении pнеограниченно приближается к нормальному закону N(p, p q ).nЗамечание. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Законом распределениятакой СВ является биноминальный закон. Тогда при n → ∞ биноминальный закон имеет двапредельных распределения:„ распределение Пуассона (при n → ∞ и λ = n⋅p = const);) (при n → ∞ и p = const).„ распределение Гаусса N(n⋅p,n pqПример.

Вероятность “успеха” в одном испытании всего лишь p = 0,8. Сколько нужно провестииспытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно ожидать, что наблюдаемая частота “успеха” виспытаниях по схеме Бернулли отклонится от вероятности p не более чем на ε = 0,01?Решение. Для сравнения решим задачу двумя способами:а) На основе второго неравенства Чебышева имеем:p ⋅q0 ,8 ⋅ 0 ,2Следовательно: n ≥p ⋅q K== 16000.− p < ε > 1−P≥ 0 ,9 . nб)PИспользуя{Y− µ < ε}ε 2 (1 − 0 ,9 )ε 2nтеоремуn≥p ⋅qиучитывая,чтоеслиСВ∼N(µ,Yσ),то ε = 2 ⋅Ф  − 1,σ  KP− p < ε  ≈ 2 ⋅Ф  ε ⋅nε⋅Муавра-Лапласаполучаем:0 , 0 1 2 (1 − 0 ,9 )Следовательно:n  − 1 ≥ 0 ,9 .p ⋅q t 0 ,95 = 1,65; n ≥t 20 ,9 5 ⋅ p ⋅ qε2=1, 6 5 2 ⋅ 0 , 8 ⋅ 0 , 2= 43560 ,0 1 2Фε ⋅1 + 0 ,9n  ≥= 0 ,9 5 ;2p ⋅q , т.е. почти в четыре раза меньше.При этом полученное значение настолько велико, что погрешностью используемой формулы можнопренебречь.Задача 2.

По полосе укреплений противника осуществляется залп из 100 орудий. При стрельбе изодного такого орудия математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднеквадратическоеотклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность того, что в полосу укрепленийпротивника попадет от 180 до 220 снарядов.Задача 3. Противник атакует полосу укреплений, используя в наступлении 50 танков. Вероятностьвывода из строя танка в этом бою равна 0,4. Если выведено из строя не менее 35% танков, то противникпрекращает свое наступление. Требуется найти вероятность того, что противник откажется отнаступления.Точечные оценки параметровСтатистикой называется любая функция выборочных значений x1, x2, ...

xn: G = G(x1, x2, ... xn).Точечной оценкой Θ неизвестного параметра ϑ называется любая статистика G = G(X1, X2, ... Xn),распределение которой сосредоточено вблизи неизвестного значения ϑ. Критерии качества оценок:Несмещенность. Оценка Θ называется несмещенной оценкой ϑ, если M[Θ] = ϑ.Состоятельность. Оценка Θ называется состоятельной, если она становится все более точной с ростомобъема выборки n, т.е.:PΘ → ϑпри n → ∞ или для любого ε > 0P{Θ − ϑlimn→ ∞< ε}= 1.Эффективность.

Оценка Θ называется эффективной среди оценок Θi, если ее дисперсия являетсянаименьшей среди всех дисперсий этих оценок Θi.Точечные оценки M[X], D[X] и их свойстваУтверждение 1. Точечная оценка X = 1 ∑n X параметра M[X], является несмещенной, состоятельной иni =1 iэффективной в классе всех линейных оценок вида:Θ =n∑ Z i X i,i =1n∑ Z i = 1.i =13 Так как Xi являются независимыми СВ, закон распределения которых совпадает с закономраспределения СВ X, т.е. M[X] = M[Xi], D[X] = D[Xi].

Тогда, используя свойства математическогоожидания и дисперсии имеем:1 n1 nM[X ] = M ∑ M∑ X i =nn i1 i1[ i] =XM[X ], т.е. несмещенность доказана.Из следствия закона больших чисел в форме Чебышева очевидно, чтолюбого ε > 0 справедливоlimP { X→−M [ X ] < ε }∞PX → M[X ]при n → ∞ или для= 1, т.е. состоятельность оценки доказана.Покажем, что точечная оценка является эффективной в классе всех линейных оценок вида:nΘ =n∑ Z i X i,i =1n∑ Z i = 1.i =1Имеемn nD [Θ ] = D  ∑ Z i X i = ∑ Z i2 D X i i = 1i = 1n∑ Z i2i=1принимает минимальное значение при условии[]=Определим значения Zi, при которых функцияnD[X ] ∑ Z i2.i = 1n.1− ∑ Zi = 0i =1Для нахождения условногоэкстремума составим функцию Лагранжа(L Z 1 , Z 2 ,L , Z n , λ∂∂∂ ∂)=nn∑ Z i 2 + λ  1 − ∑ Z i i = 1i = 1 ,тогда необходимые условия минимума функции Лагранжаопределяетсистема из уравнений (1) и (2).n=1− ∑ Zi = 0(2)Из уравнения (1) для i = 1,2, ..., n получаем Zi = λ/2.

Из уравненияλi =1(2) следует λ = 2/n. Тогда Zi = 1/n для i = 1,2, ..., n, что итребовалось показать. 4Утверждение 2. Точечная оценка ~ 2 = 1 ∑n X − X 2 параметра D[X], является смещенной так как()LZiL= 2 Z i − λ = 0,i = 1, n;(1)S[ ]n−1D[ X ] .M S~ 2 =nУтверждение 3. Точечная оценкаni =1S2 =iпараметра D[X], является несмещенной,n12∑ Xi − Xn − 1i = 1()состоятельной и эффективной в классе всех квадратичных оценок вида:n2Θ = ∑ Zi X i − X ,i=1()n∑ Z i = 1.i =1Методы получения точечных оценокМетод моментов основан на приравнивании моментов (центральных, начальных) СВ X к ихвыборочным оценкам. При этом число составляемых уравнений равно числу неизвестных параметров.Пример. Пусть Х ∼ R(a, b), где a и b - неизвестные параметры.

Нужно найти точечные оценки A и Bпараметров a и b соответственно. A+BСогласно этому методу нужно вычислить два момента (начальный 1-го порядка и(1)= X;2центральный 2-го порядка) СВ X: mX = (a+b)/2 и DX = (b-a)2/12 и составить два2()B−Aуравнения (1) и (2), приравнивая моменты (A+B)/2 и (B-A)2/12 к их= S 2 .

(2)12соответствующим выборочным значениямn1 n12.∑ X i и S2 =∑Xi − Xn i = 1n −1i = 1Следовательно: A = X − S 3; B = X + S 3.X =()Метод максимального правдоподобия (Метод МП). Пусть получена конкретная выборка x1, x2, ..., xnобъема n и известен закон распределения СВ X с точностью до параметров ϑ1, ϑ2, ..., ϑk. В качествеоценок неизвестных параметров ϑ1, ϑ2, ..., ϑk, по этому методу принимают значения Θ1, Θ2, ..., Θk,которые называют МП-оценками. Для их нахождения составим так называемую функциюправдоподобия: nСВДТ; ∏ pi (ϑ 1, ϑ 2 , ..., ϑ k ),T ( x1 , x2 , ..., x n ; ϑ 1, ϑ 2 , ..., ϑ k ) =  ni = 1 ∏ f ( x ; ϑ , ϑ , ..., ϑ ), СВНТ ,12iki = 1где pi(ϑ1, ϑ2, ..., ϑk) = P{Xi = xi} - вероятность того, что СВДТ Xi примет значение xi; f(x; ϑ1, ϑ2, ..., ϑk) плотность распределения СВНТ X.

Функция T(x1, x 2, ..., x k; ϑ1, ϑ2, ..., ϑk) показывает, на сколькоправдоподобны значения СВ X, полученные в выборке объема n при некоторых параметрах ϑ1, ϑ2, ...,ϑk. Если ϑ1, ϑ2, ..., ϑk - истинные значения, то, очевидно, что T(x1, x 2, ..., x k; ϑ1, ϑ2, ..., ϑk) > T(x1, x 2, ..., xk; θ1, θ2, ..., θk), где θ1, θ2, ..., θk - значения отличные от истинных. Следовательно в качестве оценок Θ1,Θ2, ..., Θk неизвестных параметров выбирают такие, при которых функция правдоподобия принимаетмаксимальное значение, т.е.

T(x1, x 2, ..., x k; Θ1, Θ2, ..., Θk) = max. Тогда решение следующей системы изk уравнений позволяет получить оценки Θ1, Θ2, ..., Θk неизвестных параметров∂ T ( x1 , x 2 , ..., x n ; ϑ 1 , ϑ 2 , ..., ϑ k )= 0, i = 1, k .ϑ i = Θi∂ ϑiДля упрощения вычисления МП-оценок удобно рассматривать логарифм функции правдоподобия, т.е.ln T(x1, x 2, ..., x k; ϑ1, ϑ2, ..., ϑk). Свойства МП-оценок:„ оценки являются несмещенными и состоятельными;„ при больших значениях n (n > 10 ...

20) эти оценки имеют закон распределения, близкий кнормальному.Пример. Пусть СВ X распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром λ. Найти МП-оценкуΘ неизвестного параметра λ по выборочным значения x1, x 2, ..., x n.Решение. Функция правдоподобия имеет следующий вид:nT ( x1 , ...,xn,nn λ xiλ ) = ∏ p ( xi , λ ) = ∏e− λ =x1!i =1i = 1 xi!λ ∑ xii =1x 2 ! ...x n!⋅ e − λn ,где p(xi, λ) = P{X = xi} - вероятность того, что СВДТ X, распределенная по закону Пуассона, приметзначение xi., логарифмируя функцию правдоподобия и используя необходимыеОтбрасывая константу1x1! x 2 ! ...

Характеристики

Список файлов лекций