Приложения к лекциям (1077553), страница 2
Текст из файла (страница 2)
СВ принято обозначать большими буквамилатинского алфавита, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами.Различают СВ дискретного типа (сокращенно СВДТ) и СВ непрерывного типа (сокращенноСВНТ). СВ называется СВДТ, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Например,число бросаний монеты до появления герба или число выпавших очков при бросании игральногокубика. СВ называется СВНТ, если множество ее возможных значений заполняют интервал числовойоси.
Например, время до отказа прибора (время “жизни” прибора) или погрешность измерения.Для полного задания СВ необходимо указать множество ее возможных значений и определитьнекоторое соответствие между отдельными ее значениями xi (или некоторыми подмножествами) ивероятностями pi, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. Любое такоесоответствие называется законом распределения СВ. Например, для СВДТ достаточно указатьзависимость pi = P{X = xi} или таблицу следующего вида:Возможные значения СВ ХP{X = xi} = pi > 0; (p1 + p2 + ...
+ pn = 1)x1p1x2p2......xnpnДля СВНТ такие способы не годятся, поэтому ставят в соответствие вероятности не отдельные значенияСВ, а множество значений (X < x), где x - произвольное число. Этот способ годится для СВДТ и дляСВНТ.Функцией распределения (ФР) (или интегральным законом распределения) СВ X называетсячисловая функция F(x) = P{X < x}, определенная для любых x ∈ R.
Свойства ФР:1. 0 ≤ F(x) ≤ 1;2. F(x1) ≤ F(x2), если x1 < x2, т.е. F(x) - неубывающая функция;3.lim F ( x ) = 0; lim F ( x) = 1;x → +∞x → −∞4. P{a ≤ X < b} = F(b) - F(a).Плотностью распределения (ПР) (или дифференциальным законом распределения) СВ Xназывается числовая функция f(x), равная производной от ФР, если такая производная существует: f(x)= F′(x). Связь между ПР и ФР можно представить в интегральной форме:b∫ f (τ ) ⋅ d τ = F (b ) − F ( a ),aчто позволяет определить ФР:F (x) =x∫ f (τ ) ⋅ d τ .Свойства ПР:1. f(x) ≥ 0, т.к. ФР - неубывающая функция;- условие нормировки.2. + ∞∫ f (τ ) ⋅ dτ =1,−∞Задача №1. Могут ли функции ϕ(x) и ψ(x) являться ФР или ПР некоторой СВ X, если “да”, то прикаком значении λ?λ ⋅ ( − x ⋅ exp{− x } − exp{− x } + 1), x ≥ 0;а) ϕ(x) = 0,x < 0.λ / ( 1 + x 2 ), − 1 / 3 ≤ x ≤ 3;0,x < −1 / 3 ;0,x > 3.б) ψ(x) = Числовые характеристики случайных величинРазличают следующие группы числовых характеристик: характеристики положения(математическое ожидание, мода, медиана, квантиль и др.), рассеивания (дисперсия,среднеквадратичное отклонение и др.), характеристики формы плотности распределения (показательасимметрии, эксцесса и др.).Математическим ожиданием (средним значением по распределению)действительное число, определяемое в зависимости от типа СВ Х формулой:называется ∑mX = M[X] = i i ix p , СВДТ ;+ ∞ ∫ xf ( x )dx ,СВНТ .− ∞Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулыOсходится абсолютно.
Если mX = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается X ).Свойства математического ожидания:1. M[C] = C, где С - константа;2. M[C⋅X] = C⋅M[X];3. M[X+Y] = M[X]+M[Y], для любых СВ X и Y;OO4. M[X⋅Y] = M[X]⋅M[Y] + KXY, где KXY = M[ X Y ] - ковариация СВ X и Y.Начальным моментом k-го порядка (k = 0, 1, 2, ...) распределения СВ Х называетсядействительное число, определяемое по формуле:νk = M[Xk] = ∑ x k p ,СВДТ ; i i i+ ∞ ∫ x k f ( x )dx ,СВНТ .− ∞Центральным моментом k-го порядка распределения СВ Х называется число, определяемоепо формуле:µk = ∑ (x − m ) k ⋅ p ,СВДТ ;XiM[(X-mX) ]= i i+∞ (x − m ) k ⋅ f (x )dx ,СВНТ .∫x−∞kИз определений моментов, в частности, следует, что: ν0 = µ0 = 1, ν1 = mX, µ2 = DX = σX2.Модой СВНТ называется действительное число Mo(X) = x*, определяемое как точка максимумаПР f(x).
Мода может иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множествозначений (мультимодальное распределение).Медианой СВНТ называется действительное число Mе(X) = x0, удовлетворяющее условию:P{X < x0} = P{X ≥ x0} или F(x0) = 0,5.Квантилем уровня р называется действительное число tp, удовлетворяющее уравнению: F(tp) =p.
В частности, из определения медианы следует, что x0 = t0,5.Дисперсией СВ Х называется неотрицательное число D[X] = DХ, определяемое формулой:22DX = M[(X-mX) ] = M[X ] -mX2= ∑ (x − m ) 2 p ,СВДТ ;Xi i i+ ∞ ∫ (x − m ) 2 f (x )dx ,СВНТ .X− ∞Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства сходится.Свойства дисперсии:1. D[C] = 0, где С - константа;2. D[C⋅X] = C2⋅D[X];3.
D[X-C] = D[X], дисперсия, очевидно, не меняется от смещения СВ X;OO4. D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2⋅KXY, где KXY = M[ X Y ] - ковариация СВ X и Y;5. D ∑ (a ⋅ X + b ) = ∑ ∑ a ⋅ a ⋅ K.iiii i jijxix jНеотрицательное число σХ =D X называется среднеквадратичным отклонением СВ X. Оноимеет размерность СВ Х и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервалрассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину σХ иногда называютстандартным отклонением). СВ Х называется стандартизованной, если mX = 0 и σХ = 1. Если величинаХ = const (т.е. Х не случайна), то D[X] = 0.Показателем асимметрии ПР является коэффициент асимметрии (“скошенности”)распределения: A = µ3/σ3X.Показателем эксцесса ПР является коэффициент эксцесса (“островершинности”)распределения: E = (µ4/σ4X)-3.
В частности, для нормального распределения E = 0.E>0f(x)f(x)A=0A>0E=0A<0mXxE<0mXxЗаконы распределения случайных величин непрерывного типаРавномерный закон распределенияСВНТ Х называется распределенной равномерно на отрезке [a, b] (при этом для краткостиговорят: СВ Х подчиняется закону R(a, b), т.е.
Х ∼ R(a, b)), если плотность распределения вероятностейпостоянна на данном отрезке. Тогда плотность распределения (ПР) f(x) и функция распределения (ФР)F(x) будут иметь следующий вид:f(x) = 0, x ∉ [ a ,b ]; 1 , x ∈ [ a , b ].b − aОсновные числовые характеристики СВ Х ∼ R(a, b):F(x) =mX = M[X] = (a + b)/2;νk = M[Xk] = (bk+1 - ak+1)/[(k + 1)⋅(b - a)], k = 1, 2, ... ;µk = M[(X-mX)k] = [(b - a) k+1 - (a - b) k+1]/[2 k+1⋅(k + 1)⋅(b - a)],k = 1, 2, ... ;0, x < a;x − a, a ≤ x ≤ b;b − a1, b < x.Mo(X) ∈ [a, b];Mе(X) = M[X] = (a + b)/2;t0,5 = Mе(X) = M[X] = (a + b)/2;DX = M[(X - mX)2] = M[X2] - mX2 = (b - a)2/12;σХ = (b - a)/ 12 ;A = µ3/σ3X = 0;E = (µ4/σ4X) - 3 = -6/5.Это распределение реализуется в опытах, где наудачу ставится точка на отрезке [a, b], а также вэкспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением (Х- ошибкаокругления).Показательный закон распределенияСВНТ Х называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону спараметром λ > 0 (при этом для краткости говорят: СВ Х подчиняется закону Ех(λ), т.е.
Х ∼ Ех(λ)), еслиее ПР задается формулой:0, x ≤ 0;−λ ⋅ x , x > 0.λ ⋅ ef(x) = ПР f(x) и ФР F(x) СВ Х ∼ Ех(λ) имеют следующий вид:Показательное распределение часто встречается в теории надежности (например, X - срок службырадиоэлектронной аппаратуры).Задача №1. Пусть Х ∼ Ех(λ).
Построить ФР и ПР. Определить следующие числовые характеристики СВ:mX, µk, Mo(X), Mе(X), DX, σХ, A, E.Нормальный закон распределенияСВНТ называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами m ∈R и σ > 0, если ПР задается формулой:f(x) = (x − m ) 2 1⋅ exp −σ 2π2 ⋅ σ 2 -∞ < x < +∞.Тогда ПР f(x) и ФР F(x) такой СВ имеют следующий вид:Ф(х) =1 x −∫e2π − ∞t22dtДля краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, σ), т.е. Х ∼ N(m, σ). Параметры m и σсовпадают с основными характеристиками распределения: m = mX, σ = σХ = DX .
Если СВ Х ∼ N(0, 1),то она называется стандартизованной нормальной величиной. ФР стандартизованной нормальнойвеличиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x). С ее помощью можно вычислятьинтервальные вероятности для нормального распределения N(m, σ):P(x1 ≤ X < x2) = Ф x2 − m - Ф x1 − m .σσПри решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значенияфункции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х), тодостаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожиданияинтервал справедлива формула: P( |X - mX| < ε ) = 2⋅Ф(ε/σ) - 1.Центральныемоментынормальногораспределенияудовлетворяютрекуррентномусоотношению: µn+2 = (n+1)σ2µn, n = 1, 2, ...
. Отсюда следует, что все центральные моменты нечетногопорядка равны нулю (так как µ1 = 0).Задача №2. Пусть Х ∼ N(0, 1). Построить ФР и ПР. Найти Mo(X), Mе(X), A, E.Таблица 1.1 x −∫e2π − ∞Значения функции Лапласа Ф(х) =x0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270,280,29x0,300,310,320,330,340,350,360,370,380,390,400,410,420,430,440,450,460,470,480,490,500,510,520,530,540,550,560,570,580,59Ф(x)0,50005040508051205160519952395279531953590,53985438547855175557559656365675571457530,5793583258715910594859876026606461036141Ф(x)0,61796217625562936331636864066443648065170,65546591662866646700673667726808684468790,6915695069857019705470887123715771907224x0,600,610,620,630,640,650,660,670,680,690,700,710,720,730,740,750,760,770,780,790,800,810,820,830,840,850,860,870,880,89Ф(x)0,72577291732473577389742274547486751775490,75807611764276737703773477647794782378520,7881791079397967799580238051807881068133x0,900,910,920,930,940950,960,970,980,991,001,011,021,031,041,051,061,071,081,091,101,111,121,131,141,151,161,171,181,19Ф(x)0,81598186821282388264828983158340836583890,84138437846184858508653185548577859986210,8643866586868708872987498770879088108830t22x1,201,211,221,231,241,251,261,271,281,291,301,311,321,331,341,351,361,371,381,391,401,411,421,431,441,451,461,471,481,49dtФ(x)0,88498869888889078925894489628980899790150,90329049906690829099911591319147916291770,9192920792229236925192659279929293069319x1,501,511,521,531,541,551,561,571,581,591,601,611,621,631,641,651,661,671,681,691,701,711,721,731,741,751,761,771,781,79Ф(x)0,93329345935793709382939494069418942994410,94529463947494849495950595159525953595450,9554956495739582959195999608961696259633Случайные векторыУпорядочная совокупность n случайных величин (СВ) Х1, Х2, ..., Хn, рассматриваемых совместнов данном опыте, называется n-мерной СВ или случайным вектором и обозначается X = (Х1, Х2, ...,Хn).Функцией распределения (ФР) n-мерного случайного вектора называется функция nдействительных переменных х1, x2, ..., xn, определяемая как вероятность совместного выполнения nнеравенств: F(x1, x2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
