Методические указания по выполнению курсовой работы по дифференциальной геометрии (1075681)
Текст из файла
ÓÄÊ 512.97ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ÏÎÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÓÐÑÎÂÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ÏÎÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈÏðèâîäÿòñÿ âàðèàíòû êóðñîâûõ ðàáîò ïî êóðñó "Äèôôåðåíöèàëüíàÿãåîìåòðèÿ è îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà".  íà÷àëå â êðàòêîé ôîðìå ïðèâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ áåç äîêàçàòåëüñòâ, èñïîëüçóåìûå ïðè ðåøåíèè ïðåäëîæåííûõ çàäà÷.ÏðåäèñëîâèåÒàê êàê êóðñîâàÿ ðàáîòà ïðîâîäèòñÿ ïàðàëåëüíî ñ ÷òåíèåì ñàìîãî êóðñà,òî â çàäàíèå âêëþ÷åíû êàê ñòàíäàðòíûå çàäà÷è, òàê è çàäà÷è ïîâûøåííîéñëîæíîñòè.
Îíè îòìå÷åíû çâåçäî÷êîé.  íà÷àëå ïðèâîäèòñÿ áîëåå èëè ìåíååïîëíûé ñïèñîê íåîáõîäèìûõ îïðåäåëåíèé è ôîðìóë. Çàäà÷è â ÷àñòè "Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ"çàèìñòâîâàíû â îñíîâíîì èç çàäà÷íèêîâ [6] è [7], àòàêæå èç ó÷åáíèêà [4]. 1. Êðèâûå íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâåÏóñòü çàäàíà êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè:x = x(t),y = y(t) (a 6 t 6 b).(1.1)Åå êðèâèçíà k âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåk=|ẋÿ − ẍẏ|3(ẋ2 + ẏ 2 ) 2.Íàçîâåì êðóãîì êðèâèçíû êðèâîé â äàííîé òî÷êå M êðóã, êîòîðûé1) êàñàåòñÿ êðèâîé â òî÷êå M (ò. å.
èìååò ñ íåé îáùóþ êàñàòåëüíóþ â ýòîéòî÷êå);2) íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ âáëèçè òî÷êè M â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è êðèâàÿ;3) èìååò òó æå êðèâèçíó, ÷òî è êðèâàÿ â òî÷êå M .Åñëè êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèÿìè (1.1), òî êîîðäèíàòû (ξ, η) öåíòðà êðóãàêðèâèçíû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìèξ =x−ẋ2 + ẏ 2ẏ,ẋÿ − ẍẏη=y+ẋ2 + ẏ 2ẋ.ẋÿ − ẍẏ(1.2)Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî öåíòðîâ êðèâèçíû äàííîé êðèâîé íàçûâàåòñÿ åå ýâîëþòîé.x2Ïðèìåð 1. Íàéäåì ýâîëþòó ïàðáîëû y = . Ïî ôîðìóëàì (1.2) íàõîäèì2êîîðäèíàòû öåíòðà êðèâèçíû:ξ = −x3 ,3η = 1 + x2 .22Ýòî è åñòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýâîëþòû ïàðàáîëû (ãäå x â ðîëè ïàðàìåòðà).
Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ óðàâíåíèé x, ïîëó÷àåì8(η − 1)3 .27ξ2 =Ìû âèäèì, ÷òî ýâîëþòîé ïàðàáîëû ñëóæèò ïîëóêóáè÷åñêàÿ ïàðàáîëà (ñäåëàéòå÷åðòåæ!). Ïóñòü çàäàíà êðèâàÿ â ïðîñòðàíñòâåx = x(t),èëè â âåêòîðíîé ôîðìåy = y(t),r = r(t),z = z(t), (a 6 t 6 b).(1.3)(a 6 t 6 b).Êðèâàÿ ñ÷èòàåòñÿ ãëàäêîé, ò. å. ôóíêöèè x, y, z ñ÷èòàþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî ðàç (ìîæíî ñðàçó ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ôóíêöèè êëàññàC ∞ ).Êðèâèçíà k è êðó÷åíèå κ êðèâîé âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì|r ′ × r |,k=|r′ |3′′(r′ , r , r′′′ )k=.|r′ × r′′ |2′′(1.4)Ïðèìåð 2.
Âû÷èñëèì êðèâèçíó è êðó÷åíèå êðèâîér(t) = (et ,√2t, e−t ).Èìååìr′ (t) = (et ,√2, −e−t ),r′′√(t) = (et , 2, e−t ),r′′′ (t) = (et , 0, −e−t ).(1.5)Îòñþäà ïî ôîðìóëàì (1.4) íàõîäèì1,k= √2 2ch2 t1κ= √.2 2 ch2 t(1.6)Ââåäåì âåêòîðûτ=r′,|r ′ |β=r′ × r|r′ × r′′′′|,ν = β × τ.(1.7)Îíè îáðàçóþò â êàæäîé òî÷êå êðèâîé òàê íàçûâàåìûé ðåïåð Ôðåíå. Âåêòîð τíàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé, âåêòîðû ν è β åäèíè÷íûå âåêòîðû ãëàâíîé íîðìàëè è áèíîðìàëè ñîîòâåòñòâåííî.Èìåþò ìåñòî ôîðìóëû Ôðåíå:kν,τ̇ =ν̇ = −kτ+ κβ,β̇ =−κνÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ3(â ïåðâîé ôîðìóëå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî k ̸= 0).Ïðèìåð 3. Íàéäåì ðåïåð Ôðåíå êðèâîé èç ïðèìåðà 2 â òî÷êå t = 0. Íàîñíîâàíèè ôîðìóë (1.5) è (1.7) ëåãêî íàõîäèì:√1τ = √ (1, 2, 1),6√1ν = √ (2, 2 2, −6),4 3√1β = √ (2 2, −2, 0). 2 3Ôîðìóëûk = k(s),κ = κ(s)ãäå s íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð (äëèíà äóãè) íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé.Ïðèìåð 4.
Íàéäåì íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîé èç ïðèìåðà 2. Èìååì∫ts=0∫t √∫t2u−2u|r (u)|du =2+e +edu = 2 ch u = 2 sh t.′00Òàê êàê ch2 t = sh2 t + 1, èç ôîðìóë (1.6) ïîëó÷àåì íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ√2k=κ= 2. s +4 2. ÏîâåðõíîñòèÏóñòü çàäàíà ïîâåðõíîñòür = r(u, v).Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M ïðîõîäèò ÷åðåç ýòó òî÷êóïàðàëëåëüíî âåêòîðàì ru è rv . Åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëèn=ru × rv.|ru × rv |Ýòîò âåêòîð îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî íàïðàâëåíèÿ. Âûáîð íàïðàâëåíèÿ çàäàåò îðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòè.Ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ôîðìàds2 = gij dxi dxj = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 ,ãäåE = (ru , ru ),F = (ru , ru ),G = (rv , rv ).Ìàòðèöà ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:() (gg12E(gij ) = 11=g21 g22F ÷àñòíîñòè, åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåìz = z(x, y),)F.G4òîE=1 + zx2,1 + zx2 + zy2F =zx zy,1 + zx2 + zy2G=1 + zy2.1 + zx2 + zy2Ïðèìåð 5.
Íàéäåì ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáî-ëîèäà2z = x2 + y 2 .Èìååì zx = x, zy = y , îòêóäàds2 = (1 + x2 )dx2 + 2xy dxdy + (1 + y 2 )dy 2 . Óãîë α ìåæäó êðèâûìèu = u1 (t), v = v1 (t)èu = u2 (t), v = v2 (t)â òî÷êå M , â êîòîðîé êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåE u̇1 u̇2 + F u̇1 v̇2 + F v˙1 u̇2 + Gv˙1 v˙2√cos α = √ 2.E u̇1 + 2F u̇1 v̇1 + Gv̇12 E u̇22 + 2F u̇2 v̇2 + Gv̇22Ïðîèçâîäíûå áåðóòñÿ â òîé æå òî÷êå.Ïëîùàäü îáëàñòè D íà ïîâåðõíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå∫∫ √S(D) =EG − F 2 du dv,D′ãäå D′ ïðîîáðàç îáëàñòè D íà ïëîñêîñòè (u, v).Âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ôîðìàLdu2 + 2M dudv + N dv 2 ,ãäåxuu yuu zuu xuyuzu xvyvzv (ruu , ru , rv )√L==,|r u × r v |EG − F 2xuv yuv zuv xu yu zu xvyvzv (ruv , ru , rv )= √M=,|r u × r v |EG − F 2xvv yvv zvv xu yu zu xvyvzv (rvv , ru , rv ).N== √|r u × r v |EG − F 2 ÷àñòíîñòè, åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåìz = z(x, y),ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀòîL= √zxx1+zx2,+zy2zxyM=√,1 + zx2 + zy25N=√zyy.1 + zx2 + zy2Ïðèìåð 6.
Íàéäåì âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáî-ëîèäà2z = x2 + y 2 .Èìååìzx = x,zy = y,zxx = 1,zxy = 0,zyy = 1,îòêóäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:dx2 + dy 2√. 1 + x2 + y 2Íîðìàëüíûì ñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M íàçûâïàåòñÿ ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ ïðîèçâîüíîé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íîðìàëü àêïîâåðõíîñòè â òî÷êå M . Ïóñòü ν îðò ãëàâíîé íîðìàëè íåêîòîðîãî íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ â òî÷êå M . Êðèâèçíó òàêîãî ñå÷åíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç kn ,ñ÷èòàÿ, ÷òî kn > 0, åñëè ν = n è kn < 0, åñëè ν = −n.
Ìîæíî äîêàçàòü,÷òî ëèáî ñóùåñòâóþò äâà âçàèìíî îðòîãíàëüíûõ íàïðàâëåíèÿ, â êîòîðûõ knïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ:k1 = min kn ,k2 = max kn ,ëèáî êðèâèçíà âñåõ íîðìàëüíûõ ñå÷åíèé îäèíàêîâà.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå òî÷êà M íàçûââàåòñÿ îìáèëè÷åñêîé. Âåëè÷èíû k1 è k2 íàçûûâàþòñÿ ãëàâíûìèêðèâèçíàìè ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M .Åñëè íîðìàëüíîå ñå÷åíèå îáðàçóåò óãîë φ ñ ïåðâûì ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì,òî äëÿ êðèâèçíû ýòîãî ñå÷åíèÿ èìååò ìåñòî ôîðìóëà Ýéëåðà:kn = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ.Ïðîçâåäåíèå ãëàâíûõ êðèâèçíK = k1 k2íàçûâàåòñÿ ãàóññîâîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè, èõ ïîëóñóììàH=1(k1 + k2 )2 ñðåäíåé êðèâèçíîé.Èìåþò ìåñòî ôîðìóëûK=LN − M 2,EG − F 2H=EN − 2F M + GL.2(EG − F 2 )Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà êàê ãðàôèê ôóíêöèèz = z(x, y),6òîK=2zxx zyy − zxy,(1 + zx2 + zy2 )2H=1 (1 + zx2 )zxx − 2zx zy zxy + (1 + zy2 )zyy.2(1 + zx2 + zy2 )3/2(2.1)Òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ýëëèïòèò÷åñêîé, åñëè K > 0; ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè K < 0; ïàðàáîëè÷åñêîé, åñëè K = 0, H ̸= 0; òî÷êîé óïëîùåíèÿ,åñëè k = H = 0.
Îìáèëè÷åñêèå òî÷êè õàðàêòåðèçóþòñÿ óñëîâèåì K = H 2 . èïîäðàçäåëÿþòñÿ íà òî÷êè óïëîùåíèÿ è øàðîâûå òî÷êè, â êîòîðûõ K = H 2 > 0.Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé, åñëè âî âñåõ åå òî÷êàõ H = 0. Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ðàçâåðòûâàþùåéñÿ, åñëè âî âñåõ åå òî÷êàõ K = 0.Ïðèìåð 7. Íàéäåì ãàóññîâó êðèâèçíó ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà2z = x2 + y 2 .Èìååì zx = x, zy = y, zxx = zyy = 1, zxy = 0, îòêóäàK=1.(1 + x2 + y 2 )2Òàê êàê K > 0, âñå òî÷êè ýòîé ïîâåðõíîñòè ýëëèïòè÷åñêèå.Ïðèìåð 8. Íàéäåì ñðåäíþþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòèz = ln cos y − ln cos x.Èìååìzx = tg xzy = −tg x,zxx =1,cos2 xzxy = 0,zyy = −1.cos2 yÏîäñòàâëÿÿ â (2.1), ïîëó÷àåì H = 0.
Äàííàÿ ïîâåðõíîñòü ìèíèìàëüíàÿ. Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû, åñëè â êàæäîé ñâîåéòî÷êå îíà èìååò ãëàâíîå íàïðàâëåíèå. Ëèíèè êðèâèçíû îïðåäåëÿþòñÿ èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 2dv −dvdu du2 EGG = 0. LNN Îáà ñåìåéñòâà êîîðäèíàòíûõ ëèíèé u = const è u = const ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìèêðèâèçíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F = 0 è M = 0.Ïóñòü (gij ) ìàòðèöà ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Ðàññìîòðèì òîãäà ìàòðèöó (g ij ), îáðàòíóþ ê (gij ):giα g αj = δij .Òîãäà ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì()1 lj ∂gij∂gjk∂giklΓik = g+−2∂xk∂xi∂xj(ôîðìóëû Êðèñòîôôåëÿ).ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ7Çàïèøåì òå æå ôîðìóëû áîëåå ïîäðîáíî:Γ111 E + Γ211 F = 1 Eu ,21Γ111 F + Γ211 G = Fu − Ev ;2Γ111 E + Γ211 F = 1 Eu ,21Γ111 F + Γ211 G = Fu − Ev ;2Γ111 E + Γ211 F = 1 Eu ,21Γ111 F + Γ211 G = Fu − Ev ;2Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà êàê ãðàôèê ôóíêöèèz = z(x, y),òî ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìzx zxxzx zxyzx zyy1, Γ112 = Γ121 =, Γ122 =,Γ11 =22221 + zx + zy1 + zx + zy1 + zx2 + zy2zy zxyzy zyyzy zxx, Γ212 = Γ221 =, Γ222 =.Γ211 =1 + zx2 + zy21 + zx2 + zy21 + zx2 + zy2Ïðèìåð 9.
Ïóñòü ïîâåðõíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä (ñì. ïðèìåð 5)2z = x2 + y 2 .Âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíûå:zx = x,zy = y,Çíà÷èò,Γ111 = Γ122 =zxx = 1,x,1 + x2 + y 2zxy = 0,Γ211 = Γ222 =zyy = 1.y,1 + x2 + y 2à Γ112 = Γ121 = Γ212 = Γ221 = 0 .Èìååò èìåñòî ôîðìóëà ÃàóññàEFGEv Fv −Gv {()() }Ev − FuFv − Gu1√− √− √2 EG − F 2EG − F 2 vEG − F 2 uLN − M 21K==2EG − F(EG − F 2 )2EuFuGuè ôîðìóëû ÏåòåðñîíàÊîäàööèE(EG − 2F F + GE)(Lv − Mu ) − (EN − 2F M + GL)(Ev − Fu ) + FGEuFuGuL M = 0,N8E(EG − 2F F + GE)(Lv − Mu ) − (EN − F M + GL)(Fv − Gu ) + FGEvFvGvL M = 0,NÃåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êðèâîé r = r(t) íà ïîâåðõíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå1kg = ′ 3 (r′′ , r′ , n),|r |ãäå n åäèíè÷íûé âåêòîò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè.Ïóñòü r = r(u, v) è u = u(t), v = v(t) óðàâíåíèÿ êðèâîé â îêðåñòíîñòè ýòîéòî÷êè.Îáîçíà÷èìA = Γ111 u̇2 + 2Γ112 u̇v̇ + Γ122 v̇ 2 ,B = Γ211 u̇2 + 2Γ212 u̇v̇ + Γ222 v̇ 2 .Òîãäà äëÿ ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû èìååì ôîðìóëó√EG − F 2kg =(üv̇ − v̈ u̇ + Av̇ − B u̇).2(E u̇ + 2F u̇v̇ + Gv̇ 2 )3/2Êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, åñëè â êàæäîé åå òî÷êåãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ðàâíà íóëþ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
