Методические указания по выполнению курсовой работы по дифференциальной геометрии (1075681), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Íàéäèòå ýâîëþòó êðèâîéx = a[2t cos t + (t2 − 2) sin t],y = a[2t sin t − (t2 − 2) cos t].Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 13ch t,y = 5sh t − 12t,z = 12sh t + 5 t.Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 − 4z 2 = 24.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4.
Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 5.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).Çàäà÷à 6*. Ïîñòðîéòå òðè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðíûõ ïîëÿ íà òðåõìåðíîé ñôåðå S3 .lÇàäà÷à 7.
Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .16ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 7Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó öèññîèäûy 2 (2a − x) = x3 .Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 5et cos t,y = et (4 sin t + 3),z = et (3 sin t − 4).Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 − z 2 + 24 = 0.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû.
Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Ñåòü ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ñåòüþ ×åáûøåâà , åñëè âêàæäîì îáðàçîâàííîì åþ êðèâîëèíåéíîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïðîòèâîïîëîæíûåñòîðîíû èìåþò îäèíàêîâûå äëèíû. Íàïðèìåð, íèòè êóñêà òêàíè, íàòÿíóòîãîíà ïîâåðõíîñòü, îáðàçóþò íà íåé ÷åáûøåâñêóþ ñåòü.Äîêàçàòü, ÷òî åñëè â ñåòè ×åáûøåâà íà ïîâåðõíîñòè S îäíî ñåìåéñòâî íèòåéñîñòîèò èç ãåîäåçè÷åñêèõ, òî ïîâåðõíîñòü S ðàçâåðòûâàþùàÿñÿ.Çàäà÷à 5.
Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6. Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7.
Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ17ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 8Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó àñòðîèäûx = a cos3 t,y = a sin3 t.Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 5ch t + 12t,y = 13sh t,z = 12ch t − 5 t.Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 − 6z 2 + 24 = 0.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû.
Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 5.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).Çàäà÷à 6*. Ïîñòðîéòå ñåìü ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà ñåìèìåðíîé ñôåðå S7 .lÇàäà÷à 7.
Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 5 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .18ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 9Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó êðèâîéx = 2 cos t + (2t + 3) sin t,y = 2 sin t − (2t + 3) cos t.Çàäà÷à 2. Íà êðèâîéx = 2t,y = ln t,z = t2(t > 0)íàéäèòå êðèâèçíó è êðó÷åíèå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå, à òàêæå ðåïåð Ôðåíå ïðèt = 0.Çàäà÷à 3.
Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 − 4z 2 + 24 = 0.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ìèíèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ, òî îíà ëèáî ïëîñêîñòü, ëèáî êàòåíîèä.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.
Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3.
Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ19ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 10Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó ýëëèïñàx = a cos t,y = b sin t.Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 5ch t + 12sh t,y = 13t,z = 12ch t − 5sh t.Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 + z 2 = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû.
Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè îìáèëè÷åñêèå, òîïîâåðõíîñòü åñòü îáëàñòü íà ñôåðå èëè íà ïëîñêîñòè.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3.
Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .20ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 11Çàäà÷à 4. Íàéäèòå ýâîëþòó ãèïåðáîëûx = ach t,y = bsh t.Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = et (4 cos t + 3),y = 5et sin t,z = et (3 cos t − 4).Çàäà÷à 3.
Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 + 2z 2 = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå òåîðåìó ÁåëüòðàìèÝííåïåðà: åñëè àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè ðàçëè÷íûõ ñåìåéñòâ èìåþò â èõ îáùåé òî÷êå îòëè÷íûå îò íóëÿêðèâèçíû, òî îíè èìåþò ðàâíûå ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêóêðó÷åíèÿ; àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà êðó÷åíèÿ ðàâíà àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â äàííîé òî÷êå.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.
Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ21ÂÀÐÈÀÍÒ 12Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîðäèíàòàõr=√2 + cos φ + sin φ.Çàäà÷à 2.
Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 3ch t + 4sh t,y = 5t,z = ch t − 3sh t.Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 + 3z 2 = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. 1) Ïóñòü íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè â äâóõ òî÷êàõ ïðèæèìàåòñÿè íàòÿãèâàåòñÿ íåðàñòÿæèìàÿ íèòü.  ðåçóëüòàòå íèòü çàéìåò ïîëîæåíèå íàïîâåðõíîñòè âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé. Äîêàæèòå, ÷òî ýòà êðèâàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ.2) Ïóñòü ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè áåç òðåíèÿ ïåðåäâèãàåòñÿ ìàòåðèàëüíàÿòî÷êà.
 íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òî÷êà èìååò íåêîòîðóþ ñêîðîñòü è ïðîäîëæàåò äâèæåíèå ïî èíåðöèè. Íèêàêèå âíåøíèå ñèëû íà òî÷êó íå äåéñòâóþò(ìîæíî ýòî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê äâèæåíèå ìàëåíüêîãî ìàãíèòà ïî ãëàäêîéæåëåçíîé ïîâåðõíîñòè). Äîêàæèòå, ëèíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè ãåîäåçè÷åñêàÿ.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
