Методические указания по выполнению курсовой работы по дифференциальной геометрии (1075681), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêîéu = u(t),v = v(t)ïðè÷åìü + Γ111 u̇2 + 2Γ112 u̇v̇ + Γ122 v̇ 2 = 0,v̈ + Γ211 u̇2 + 2Γ212 u̇v̇ + Γ222 v̇ 2 = 0.Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû êðèâàÿ áûëà ãåîäåçè÷åñêîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû åå ãëàâíàÿ íîðèìàëü â êàæäîé òî÷êå, ãäå êðèâèçíà îòëè÷íà îò íóëÿ,ñîâïàäàëà ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè.×åðåç êàæäóþ òî÷êó íà ïîâåðõíîñòè â ëþáîì íàïðâëåíèè ìîæíî ïðîâåñòèãåîäåçè÷åñêóþ, ïðè÷åì ðîâíî îäíó. 3. Âåêòîðíûå è òåíçîðíûå ïîëÿÑì. [3]. 4.
Òåíçîð êðèâèçíûÒåêíçîð òèïà (3, 1) ñ êîîðäèíàòàìèlRijk=∂Γljk∂Γlik−+ Γsjk Γlis − Γsik Γljs∂xi∂xjíàçûâàåòñÿ òåíçîðîì êðèâèçíû.ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ9Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü â R3 . Âñåãäà ìîæíî òàê âûáðàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò, ÷òî â îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè ýòà ïîâåðõíîñòü áóäåò çàäàíà óðàâíåíèåìz = z(x, y).Äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà êðèâèçíû ñïðàâåäëèâû âûðàæåíèÿ( 2)()(21 + zx2 zx zyR211 R212g11=K·=K·11zx zy 1 + zy2R121R122g21Çäåñü K ãàóññîâà êðèâèçíà. Âñåãäà) (( 222−R121R211 R212=111−R211R121 R122)g12.g22(4.1)R1212 = R2121 = −K det g,(4.2)2−R1221−R212)()g12.g22=K·g11g21Îñòàëüíûå êîîîðäèíàòû ðàâíû íóëþ.
Êðîìå òîãî,R1122 = R2211 = K det g,2îñòàëüíûå Rlijk = 0. Çäåñü det g = g11 g22 − g12.Ïðèìåð 8. Âû÷èñëèì òåíçîð êðèâèçíû ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà èçïðèìåðîâ 5, 6 è 7. Âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëàì (4.1) äàåò)) (( 2()2221−R121−R122R211 R2121 + x2xy==.·1111−R212−R211R122R121xy1 + y2(1 + x2 + y 2 )2Íàêîíåö, íà îñíîâàíèè (4.2) ïîëó÷àåìR1122 = R2211 = −R1212 = −R2121 =1.
(1 + x2 + y 2 )Ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè. Âûðàæåíèÿ êîîîðäèíàòòåíçîðà êðèâèçíû ÷åðåç ãàócñîâó êðèâèçíó è êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû çàäàþòñÿ òåìè æå ôîðìóëàìè (4.1).Ñîãëàñíî îáùåìó ïðàâèëó êîâàðèàíòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ òåíçîðîâ (ñì.[1], [2], [3]), êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðà êðèâèçíû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå(∇m R)lijk =l∂Rijkαlαlαl+ Γlmα Rijk− Γαmi Rαjk − Γmj Riαk − Γmk Rijα .∂xm10ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 1Çàäà÷à 1.
Íàéäèòå ýâîëþòó êðèâîéx = a(cos t + t sin t),y = a(sin t − t cos t).Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = et (4 cos t + 3),y = 5et sin t,z = et (3 cos t − 4).Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 + z 2 = 24.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû.
Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåçîäíó òî÷êó, òî ïîâåðõíîñòü åñòü ñôåðà èëè îáëàñòü íà ñôåðå.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6. Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T .
Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ11ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 2Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó òðàêòðèñû()tx = −a ln tg + cos t ,2y = a sin t.Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 3ch t + 4t,y = 5sh t,z = 4 ch t − 3 t.Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 + 6z 2 = 24.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû.
Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåçîäíó ïðÿìóþ, òî ïîâåðõíîñòü åñòü ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ èëè îáëàñòü íà òàêîéïîâåðõíîñòè.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .
Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðíèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .12ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 3Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó öèêëîèäûx = a(t − sin t),y = a(1 − cos t).Çàäà÷à 2.
Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = et (3 cos t − 4),y = 5et sin t,z = et (4 cos t + 3).Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 − 48z = 24.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå, ÷òî ïîâåðõíîñòü ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 =du2 + dv 2(u2 + v 2 + c2 )2èìååò ïîñòîÿííóþ ãàóññîâó êðèâèçíó.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6. Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3.
Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ13ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 4Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó ãèïîöèêëîèäûx = a(2 cos t + cos 2t),y = a(2 sin t − sin 2t).Çàäà÷à 2. Íà êðèâîéx = t − sin t,y = 1 − cos t,z = sin tíàéäèòå êðèâèçíó è êðó÷åíèå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå, à òàêæå ðåïåð Ôðåíå ïðèt = 0.Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 − 6z 2 = 24.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*.
Äîêàæèòå òåîðåìó Êëåðî î ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ: ïðîèçâåäåíèå ðàäèóñà íà ñèíóñ óãëà, îáðàçóåìîãî ãåîäåçè÷åñêîé ñ ìåðèäèàíîì, åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ,r sin α = const.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .
Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3.
Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .14ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 5Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó ëîãàðèôèìè÷åñêîé ñïèðàëèr = eφ .Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 13et cos t,y = et (5 sin t + 12),z = et (12 sin t − 5).Çàäà÷à 3. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè5x2 − 4xy + 2y 2 − z 2 = 24.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4.* Äîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêèå íà ïîâåðõíîñòÿõ ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = (U (u) + V (v))(du2 + dv 2 )(ýòè ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè Ëèóâèëëÿ) íàõîäÿòñÿ â êâàäðàòóðàõ.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6. Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .
Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .lÇàäà÷à 5. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ15ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 6Çàäà÷à 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
