Методические указания по выполнению курсовой работы по дифференциальной геометрии (1075681), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .22ÂÀÐÈÀÍÒ 13Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîðäèíàòàõr=√2 + cos φ + sin φ.Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = et (5 cos t − 12t),y = 13et sin t,z = et (12 cos t + 5t).Çàäà÷à 3.
Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 − 2z 2 = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Ìåòðèêà ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè â îêðåñòíîñòè òî÷å÷íîé ìàññûèìååò âèäρρ−1 2ds2 =dt −dρ2 − ρ2 (dψ 2 + cos2 ψdφ2 ).ρρ−1Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òðàåêòîðèè (ãåîäåçè÷åñêîé ñds2 > 0), ëåæàùåé â ïëîñêîñòè ψ = 0; ðåøèòü åãî äëÿ ñëó÷àÿ êðóãîâîé îðáèòû(ρ = const). Ïðè êàêèõ ρ êðóãîâàÿ îðáèòà âîçìîæíà? Êàêîâ ïåðèîä îáðàùåíèÿ(ïî âðåìåíè t è ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè s ñïóòíèêà)?Çà åäèíèöó äëèíû âçÿò ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ; åäèíèöà âðåìåíè âûáðàíàòàê, ÷òîáû ñêîðîñòü ñâåòà c = 1.Çàäà÷à 5.
Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6. Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7.
Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ23ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 14Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîðäèíàòàõr = a(1 + sin φ).Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 7ch t + 24sh t,y = 25t,z = 24ch t − 7sh t.Çàäà÷à 3.
Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 − 3z 2 = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + 2 cos ω dudv + dv 2 .Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).lÇàäà÷à 7.
Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X ..24ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀïî êóðñóÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÍÇÎÐÍÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀÂÀÐÈÀÍÒ 15Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîðäèíàòàõr = a(1 + cos φ).Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = et (4 cos t + 3 sin t),y = 5et ,z = et (3 cos t − 4 sin t).Çàäà÷à 3.
Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 + 24z = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà èìååò âèäds2 = λ(du2 + dv 2 ),òî ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòèK=−1∆ln λ.2λãäå ∆ îïåðàòîð Ëàïëàñà.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6. Íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéds2 = du2 + cos2 u dv 2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 3 èç [3]).lÇàäà÷à 7.
Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ25ÂÀÐÈÀÍÒ 16Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ýâîëþòó ãèïåðáîëûxy = a2 .Çàäà÷à 2. Íàéäèòå íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîéx = 7ch t + 24t,y = 25sh t,z = 24ch t − 7 t.Çàäà÷à 3.
Âû÷èñëèòå ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè2x2 + 4xy − y 2 + z 2 = 12.Íàéäèòå ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû. Íàéäèòå òî÷êè, â êîòîðûõãàóññîâà êðèâèçíà ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷à 4*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè åñëè êîîðäèíàòíàÿ ñåòü íà ïîâåðõíîñòèñîñòîèò èç ëèíèé êðèâèçíû, òî óðàâíåííèÿ ÏåòåðñîíàÊîäàööè ïðèíèìàþòâèäLv = HEv , Nu = HGu ,ãäå H ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè.Çàäà÷à 5. Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [X, Y ] âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y (çàäà÷à 1èç [3]).Çàäà÷à 6.  ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîéds2 =du2 + dv 2v2íàéäèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ∇X T òåíçîðíîãî ïîëÿ T òèïà (1, 1) â íàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .
Îïðåäåëèòå êîîîðäèíàòû òåíçîðîâ S è R, ïîëó÷åííûõ îïóñêàíèåì è ïîäíèìàíèåì èíäåêñîâ èç òåíçîðà T . Îïðåäåëèòå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå ∇X S è ∇X R (çàäà÷à 2 èç [3]).lÇàäà÷à 7. Íàéäèòå êîìïîíåíòû Rijkè Rlijk òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòèèç çàäà÷è 3. Ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàäà÷à 8*. Âû÷èñëèòå òåíçîð êðèâèçíû èç çàäà÷è 6 è êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ ýòîãî òåíçîðà â íàïðàâëåíèè ïîëÿ X .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Á. À. Äóáðîâèí, Ñ. Ï. Íîâèêîâ, À. Ò. Ôîìåíêî, Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ, Íàóêà,Ì., 1979.[2] Þ. È. Äèìèòðèåíêî, Òåíçîðíîå èñ÷èñëåíèå, Âûñøàÿ øêîëà, Ì., 2001.[3] À.
Í. Ùåòèíèí, Å. À. Ãóáàðåâà, Îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà, Èçä-âî ÌÃÒÓ, Ì.,2012.[4] À. Â. Ïîãîðåëîâ, Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, Èçä-âî Õàðüêîâñêîãîóí-òà., Õàðüêîâ, 1961.[5] Ä. Ãðîìîë, Â. Êëèíãåíáåðã, Â. Ìåéåð, Ðèìàíîâà ãåîìåòðèÿ â öåëîì, Ìèð, Ì.,1971.[6] Í.Ì. Ãþíòåð, Ð.Î. Êóçüìèí, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. ÒÒ. 1, 2,Ôèçìàòëèò, Ì., 1958.[7] Ý. Ð. Ðîçåíäîðí, Çàäà÷è ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, Èçä-âî ÌÃÓ, Ì., 1969..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
