Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Ве г» ь г Т-7 б» т„-г б дб Ю— т-т т„-т (б б,б Ь ЬЬ йб Последующий переход к старым неизвестным функциям вс, в, Т и независимым переменным х и у позволяет вычислить я» скоростное и температурное поля в жидкой или газообразной среде, окружающей пластину. Решения этих уравнений для различных чисел Прандтля графически представлены на рис. ЧПЛ. Они пригодны как для случая охлаждения пластины (Тот > Тв), так и для случая ее нагревания (Т,т < Ти). lб лб йб Рб б ~б»еР»' а х(Ь ) Рис. У11.1. Зависимость ~' и 9 от р при различвых числах Праилтля Из решений следует, что толщина динамического и температурного пограничных слоев пропорциональна я г'.
1а Эксперимент подтверждает теоретические расчеты (рис. ЧП.2). Рис» Ч11дк Сравнение результатоа численного реиыииа (хр~ аые) с экспериментальными Лаввымв (точхи) при Н, равном 11 (1), т (Я), е (З), В (Ь), 1 (Ь) и Е,З см (Ь) По распределению температур в пограничном слое на пла; стнне легко вычислить количество теплоты, переходящее от пластины к жидкости, поскольку в соотвестини с законом теплопроводности Фурье ?40 = 0,478Сг/4, (Ч?1,14) уст = ав(Тст — Тх), (ЧП.11) (ЧП.12) о,ооз 0,1В2 0,00$ 0,01 0,02 0,22$ 0,242 0,260 0,03 0,30$ 1 0,$35 2 0,$66 010 00,620 огоо 00,653 1000 0,665 Ь?п = 0,359 Сг~, 1/4 (ЧП.13) где д,т — локальное (местное) значение плотности теплового потока на поверхности пластины, зависящее от х.
Кроме того, в соотвествии с законом Ньютона длотность теплового потока пропорциональна разности температур поверхности твердого тела и окружающей среды: где ав — локальное значение козффипиента теплоотдачи. Пере- ходя от Т к безразмерной температуре, из выражения (ЧП.10) получаем дст = - ЛСх (Ж/г?г?)ст(Тст — Тх).
— /4 Результаты решения уравнений (ЧП.З) — (Ч1?.5) представлены в работе (41] в виде таблнп, из которых следует, что для воздуха (1?гт/й?)ст = -0,508. Из соотношении (ЧП,11), (Ч?1.12) может быть получено выражение, определяющее значение локального числа Нуссельта на пластине: где Ь?п = авх/Л, Сгв = ух3,8(Тст — Тм)lи . Из формулы (ЧП.13) следует, что ав ° х /4 и уменьшается 1 в направлении движения среды.
При необходимости можно вычислить полное количество теплоты, переходящее от пластины к окружающей среде: 1 Я = Ь уст(?х = 0,508- Ь? /4СЛ(Тст — Тм) 3 0 где Ь вЂ” ширина; 1 — длина пластины (учитывается теплоотдача с одной стороны пластины). Вводя понятие среднего коэффипиента теплоотдачи, полу- чим 6 ='б(Тот — Т )Ы = ЬЛХз~ (Т,т — Т ), где Ха = И/Л. Вводя число Грасгофа и заменяя С его значением из соотношения (ЧП.7), составим уравнение подобия для расчета теплоотдачи от пластины к воздуху: в котором СП = У1 /б ]Тст — Тж]/й (Тсг = совв1).
О влиянии числа Прандтля на интенсивность теплоотдачи при ламинарнои естественной конвекпии можно судить пр следующим данным (здесь На1 = Сг1Рг — число Релея, построенное по определяющему размеру 1): Были также теоретически исследованы предельные случаи, соЬтветствуюшие Рг -+ 0 и Рг -+ оо. Оказалось, что при Рг - 0 Х~ь /(Сгб Ргз) /4 = 0,80, а при Рг -+ оо Яп /(Сгб Рг) /4 = 0,67. Рассмотренная выше задача была также решена П.М. Брдликом приближенно методом интегральных соотношений. Интегрируя уравнения (ЧП.З) и (ЧП.5) по сечению пограничного слоя, получаем интегральные соотношения импульсов и энергии в виде и, ~ ювНу = у,б~ (Т вЂ” Тм)1?у — и ~ — ~; (ЧП.15) бт <1 (дТ~ Нх — шв (Т вЂ” Тх) Йу = -а — 1 (ЧП.16) Принимая степенные законы изменения скорости и температуры по толщине пограничного слоя и равенство толщин динамического и теплового пограничного слоя, имеем ю =ю1 — 1 —— где вг — неизвестный параметр, имеющий размерность скорости.
Из уравнения (Ч1.17) следует, что максимум скорости находится на расстоянии р = б/3 от стенки и еюзз = (4/27) ю1. После подстановки уравнений (ЧП.17) и (ЧП.18) в соотношения (ЧП.15) н (ЧП.16) получаем (в1б) = 9Р(Т вЂ” Тм) б — и —; (ЧП.19) 2 ю1 105 Их 3 б ' 1 Н 2а — — (ю~б) = —. 30 Нх б ' Представим зависимость гсг и б от продольной координаты в виде степенных функций ю1 = Се,х~ и б = Сях". + "С С ю+в-1 2а 30 ~ С Так как эти уравнения должны быть справедливы при любых х, показатели степеней в каждом члене должны быть одинаковы, т.е. 2гв+ в — 1 = в = гв — в; гв + в — 1 = -в.
Тогда из соотношений (ЧП.19) и (ЧП.20) получаем '"'+" С' С *' +"-' = / (Т - Т ) Ь ха - С- 105 бх -У 3 -С "' б (ЧП,17) (ЧП.18) Отсюда т = 1/2 н в = 1/4. С учетом этих значений определяем параметры См и Сз. См = 5,17и(0,952+ Рг) ' [йй(Тст — Тм)/и ) ' ~ Ся = 3,93(0,952+ Рг) ' (9/у(Тст — Тм)/и ] ' Рг Максимаяьную скорость и толщину пограничного слоя вычисляем по формулам и,®„— — — м1 = 0,766 (О 952+ Рг)ез6г 27 ' х б/х = 3,93Рг ~'з (0,952+ Рг)е'зз Сг~ ' Из выражения (ЧП.18) следует, что о = 2А/б н Хвз = 2х/б.
Следовательно, Хпх = 0,508 ~ (Сг„Рг) (Рг + 0,952~ (ЧП.21) Эта зависимость при 10 з < Рг ( 10 с ошибкой, не превышаюз щей 10%, согласуется с точным решением. Зв,дача о естественной конвекпнн на вертикальной пластине может быть решена и в том случае, когда на поверхности пластины задан постоянкый тепловой поток = -А(дТ/ду) = сонями, а температура поверхности неизвестна (граничные условия П рода). При этих условиях система дифференпиальных уравнений в частных производных (ЧП.З) — (ЧП.5) может быть сведена к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью следующей замены переменных: с,= У~~; ', с,= В новых переменных с учетом соотпошепий (ЧП.6) п (И1.22) составляющие вектора скорости примут вид Ниже ириведепы значения фупкпии 9(0), зависящие от критерия Рг: Рг ........
0,1 1 10 100 В(0)....., -2,7607 -1, 2674 -0,7В74В -0,46666 вз = С1С2 х 13/~(п); юз ж — (зу/'Я вЂ” 4/(о)], 5х14 /'и-3(/')2+4|/Я-9 = О; 9" + Рг [49'У вЂ” 9/'~ = О, (И1.23) (ЧП.24) которые могут быть решены численно с помощью ЭВМ, В новых переменных грапичиые условия к системе уравнений (ЧП.23), (И1.24) запишутся следующим образом: /=0, /'=О, 9'ж1 при =О, 9=0 при О=оо. и=О; Результаты решения системы уравнений (И1.23), (ЧП.24) удобно обобщить в виде следующих формул: 5 13 о х9(0) Л (Сг') 1д Нп = — ~Сг;) ~, 5149(О) (И1.25) где Сг = У13д~х /Аи — модифицированное локальное число » 4 2 Грасгофа; Хи з = ах х/А; Тсг(х) — температура поверхности пластины.
Подставляя полученные выражении в систему уравнений (ЧП,З) — (ЧП.6), получим два обыкновенных дифференциальных уравнеипгс З,О7 2,07 0,642 О,ВЗВ 1,И 1,1О 0,224 0,210 4»» = соам... 7»» ж СОВВ»... Эта задача, как и предыдущая, может быть решеиа приближенным методом интегральных соотпошепий. Полученное П.М, Брдликом приближенное решение 1ь » =0»1»~ ~ (Сс») удобно сравиквать с формулой (ЧП.21) для гроличпых условий 1 рода. Положив в формуле (ЧП.25) х = 1/2 и имея в виду, что при зтом Осг — а (Т вЂ” Тж)1/2, получаем (ЧП.26) 5 й'9(0) Здесь о — коэффициент теплоотдачи, основанный па разности температур (Тст — Тж) цз, (Тсг — Тж)1/2 — разность температур в сечении х = 1/2;! — длина участка вертикальной пластины с ламипарпым режимом течения в пограничном слое; Яи = И/Л, Сг1 = 611!з (Т - Т„)1/2/1'2.
Значение Юи/(С71) /4, найденное из формулы (ЧП.26) при решении задачи с грапичпымп условиями П рода (ест = сопо1), 1ь пелесообразпо сравнить со значением Хп/(Сг1) 14, полученным при точном решении задачи о естественной копвекцпи иа вертикальной пластине пРк гРаппчпых Условилх 1 Рода (Тсг = сопзз): Рг................. 0,1 1 10 10О 1д яа/Ог,» яря Из приведенных данных следует, что безразмерный ком1> плекс г> и /(6г~) /4, определенный по разности температур (Т~ — Тм)>/з при ест = сопзз, близок к значению Хи/(Ог~) /4, вычисленному для условий Тст = сопз$.
Полученные решения строго справедливы лишь для малых разностей температур (Тст — Тж), поскольку при расчетах пред- полагалось, что физические свойства газа или жидкости явля- ются постоянными. В действительности они переменны н зе висят, в частности, от температуры. При решении уравнений (ЧП.З) -(ЧП.5) учитывали лишь зависимость р(Т) в члене, выра- жающем подъемную силу. Изменение параметров д, Л, сю р и,д с температурой при больших разностях температур пластины и среды приводит к существенному изменению профилей температуры и скорости в пограничном слое, При переменных физических свойствах тепловые потоки для случая нагревания и охлаждения пластины при прочих равных условиях не одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
