Пупков К.А., Коньков В.Г. - Интеллектуальные исследования (Современнаяя теория управления) (1072100), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Доказательство. Рассмотрим от обратного нормаль a в зачерченном секторе (-l^II0-l^IV). Тогда всегда найдется вектор , который обеспечит равенство , т.е. .

Полученная система конусов (l^I0l^II) и (-l^IV0-l^I) (выделены ярко на рис. 21) является алгоритмической основой для получения из достаточных условий теоремы 2.

Область ( ) может деформироваться в двух основных направлениях:

1. «Приближаться» к началу координат, разворачивая касательные гиперплоскости.

2. «Вырождаться» в фигуру с малым конусом при вершине при уменьшении угла между гиперплоскостями или увеличении пространственного угла конуса (l^I 0 l^II).

Утверждение 5. При касании начала координат или при включении начала координат во внутреннюю точку области ( ) задача решения не имеет.

Доказательство. Действительно, при «приближении» границы к началу координат касательные гиперплоскости “расходятся”, конический угол (l^I 0 l^II) уменьшается и в “момент” касания направление l^I и l^II совпадает и внутренних точек не имеется, а, следовательно, решения нет. Если начало координат попадает внутрь области ОД, то не существует касательных гиперплоскостей, проходящих через начало координат и решение отсутствует.

Для реализации алгоритма применяется метод моментов Красовского Н.Н., так как он апеллирует к ОД и позволяет найти нормали l касательных к ОД гиперплоскостей.

Теорема 3. [108] Оптимальное управление, приводящее траекторию системы

, (120)

в точку касания ОД и гиперплоскости, а также вектор нормали l в точке касания определяются при решении задачи

, (121)

где — матрица фундаментальных решений системы (матрица перехода):

.

Доказательство. На основании необходимых и достаточных условий разрешимости задачи об управлении, сформулированной в форме проблемы моментов, область достижимости имеет вид

(122)

где — ограниченное, выпуклое, замкнутое множество ОД,

,

— начальные условия,

- возмущение, приложенное к системе (120),

l — некоторый вектор ,

m — размерность G в позиционной задаче управления (m — размерность позиции),

(123)

Для каждой точки q, лежащей на границе области G, условие (122) выполняется со знаком равенства.

Минимизация (123) позволяет получить управление, переводящее систему (120) из начального состояния в некоторую точку границы G.

Вектор нормали l=l⁰ к гиперплоскости, проведенной в точку касания, определяется из условия максимума равенства в выражении (122).

Совместное решение этих задач позволяет получить уравнение гиперплоскости (рис. 22)

.

В данной задаче , возмущение — не учитывается, поэтому .

Рис. 22

В достаточных условиях рассматриваются лишь касательные гиперплоскости, проходящие через начало координат (рис. 18). Поэтому и .

Следовательно, выражение (122) для точек границы G принимает вид

.

Раскрывая, при полной позиции m=n получим

,

что и требовалось доказать.

В соответствии с полученными результатами общая структура этапа 2 алгоритма оптимизации управлений на основе объединения модифицированных достаточных условий ЛУКУ (МДУ ЛУКУ) и метода моментов Красовского Н.Н. можно представить итерационным процессом, основой которого являются следующие шесть шагов:

Шаг 1: приведение исходной постановки к виду (113)—(117);

Шаг 2: формирование системы неравенств (118) (МДУ ЛУКУ);

Шаг 3: итерация 1: задание начальных приближений и «ячейки» допустимых значений на основе сетевых решений этапа 1;

итерация i>1: формирование текущих приближений ;

Шаг 4: — формирование системы (120) (A, B, X(T,t)) на основе приближений ;

— решение задачи (121) для определения границ конусов нормалей Con l (рис. 2), удовлетворяющих МДУ ЛУКУ:

,

а также соответствующих конусов , образованных векторами касательных к ОД_;

Шаг 5: решение задачи Парето–оптимизации (или -оптимизации) для набора коалиций K_l=S и K=N/S на множестве , начальных или текущих приближениях и дополнительных ограничениях, сформированных на шаге 4 в одном из двух видах: – ; – , то есть удовлетворяют системе неравенств (118) МДУ ЛУКУ при и — векторах касательных соответствующих ОД_ и являющихся границами множеств ;

Шаг 6: а) задача решена, если управление оптимизирует (экстремизирует) набор внутри «ячейки» сети при удовлетворении неравенств МДУ ЛУКУ; б) если ограничения не выполняются, то возвращаемся к шагу 3 на итерации i>1.

Структурная схема алгоритма в обобщенном виде ниже:

Применение двухэтапного алгоритма оптимального управления для прогноза динамики конфликта локальных систем воздушного нападения и противовоздушной обороны. Рассмотрим задачу противодействия локальной системы воздушного нападения (ЛС СВН) и локальной системы ПВО (ЛС ПВО) [35], состоящего в том, что ЛС СВН стремится преодолеть ЛС ПВО для поражения защищаемого объекта, а ЛС ПВО препятствует прорыву. Задача получения программно-корректируемого закона управления активными средствами при взаимодействии ЛС СВН-ЛС ПВО представляет собой итерационную процедуру, на каждой итерации которой выполняются: формирование конфигурации конфликта; целераспределение активных средств (АС) СВН и ПВО по активным и пассивным средствам (ПС) ПВО и СВН; имитация конфликта; прогнозирование его динамики.

В дальнейшем будем рассматривать задачу только на последнем шаге: прогнозе динамики конфликта. В данной задаче находят такие режиму функционирования ЛС СВН-ЛС ПВО, которые были бы конфликтно-оптимальными.

Каждая система состоит из двух подсистем: активной и пассивной. Активные средства каждой коалиции воздействуют на активные и пассивные средства противоположной коалиции. Для ЛС СВН [35] активными средствами служат истребители-перехватчики с ракетами «воздух-земля» и противорадиолокационными ракетами, а для ЛС ПВО [35] - зенитно-ракетные комплексы. Пассивные средства для ЛС СВН - бомбардировщики, для ЛС ПВО - радиолокационные станции.

На рис. 23 приведена структура взаимодействия сторон, где АС и ПС - совокупности активных и пассивных средств коалиции.

Система задается следующим образом:

,

Рис. 23 Структура взаимодействия в ММС.

P_ij — эффективность воздействия одного объекта i-го вида одной системы на один объект j-го типа другой системы, .

q_i — доли активных средств воздействия на активные средства партнера, :

(1-q_i) — доля активных средств воздействия на пассивные средства партнера.

x_i — текущая средняя численность объектов i-го типа.

.

Рассмотрим данную систему в пошаговом варианте. Шаг - конечный интервал времени; число шагов конечно (К = 1, 2,..., r). Каждое активное средство делает на шаге один ход.

Шаг .

В пошаговом варианте система преобразуется в систему:

Здесь: K = 1, 2, ..., 0q_i1 (i=1,2), 0P_ij1 (i=1,3; j=1,2,3,4) x_i >0, x_i(k) – численность к началу k–того шага.

В качестве показателя терминальных потерь (J) выберем показатель, имеющий смысл суммарного перевеса по активным и пассивным средствам и скорости убывания активных средств “партнера”.

J_А  min; J_Б  min.

J_А — показатель потерь коалиции А. Чем меньше J_А, тем больше выигрыш коалиции А.

J_Б — показатель потерь коалиции Б. Чем меньше J_Б, тем больше выигрыш коалиции Б.

_ij — весовые коэффициенты, определяющие целевой приоритет каждой стороны в поражении активных или пассивных средств противоположной стороны (терминальная составляющая) или в увеличении интегральной скорости убывания активных средств противника (интегральная составляющая). (0  _ij  1; _i1 +  _i2 + _i3=1; i = {1,2}), значения коэффициентов задаются в зависимости от тактики каждой из сторон

Применение сетевого подхода для получения начального приближения УКУ. Для реализации сетевого подхода, используя алгоритм общего вида, базирующийся на определении «угроз и контругроз», сформирован алгоритм получения сетевых приближений УКУ-решений для задач данного класса: двухкоалиционных, двухкритериальных [3] (со сверткой векторных показателей).

На шаге 1 алгоритма формируется двухмерная равномерная ортогональная сеть.

На шагах 2-8 формируется множество УКУ-оптимальных сетевых решений, которые можно использовать в качестве начальных приближений для этапа 2 получения оптимального управления ММС. Структура алгоритма (шаги 2-8) приведена на рис. 24.

Рис. 24 Сетевой алгоритм поиска начальных приближений УКУ решений

Реализация сетевого алгоритма УКУ-оптимизации осуществлена на алгоритмическом языке Borland Pascal в среде ПС МОМДИС. [61, 100], а также см. гл. 9.

В качестве базового рассматривался следующий вариант:

Характеристики

Список файлов книги