Василенко Н.В., Никитин К.Д., Пономарёв В.П., Смолин А.Ю. - Основы робототехники (1071028), страница 37
Текст из файла (страница 37)
72 71 От т т т т — 1 шэ — т,.т,, т,т,ы„ (4.36) . -! Ттт (1-2) . 'ы! 1=тт,-!ы, !' ы = Тг~а! ! „,. — т,."ы.('- !) (4.32) ау! са!сч! -эа; су! О ы! с~! (4.33) су! эу; 0 эа ! зу! -за! с !' ! са, т = т ! (4.34) 42.6. Уравненил движения МС ы~ юг+ '+"!1-! + ы! (4.35) а ак ак ап — — ) — — ч — = ОН ) ' ац! ао! (4.37) 169 ПРактически матрица Т; получается из соответствующей матрицы перехода Ал представленной выражением (4,18), посредством вычеркивания четвертых строки и столбца. Переход от нй к (~ — 1)-й системе согласно выражению (4.13) осуществляется по равенству (4.31) прн обратном переходе, от(! — 1)-й к нй системе, следует использовать транспонированную матрицу В развернутом виде, с учетом выражения (4.18), матрицы перехода для общего случая запишутся Для нахождения абсолютной угловой скорости(), !-го звена н жно уж о все относительные угловые скорости й,", ы,', ..., Ы',( ) звеньев от 1-го до рго перенести в рю систему координат и просуммировать, т.
е. Об ратим еще раз внимание на индексацию векторов угловых скоростей. Нижний индекс указывает номер звена, для которого определена скорость. Верхний индекс соответствует номеру системы координат, с началом которой совпадает начало вектора Отсутствие верхнего индекса свидетельствует о том, что вектор размещен в собственной системе координат, жестко связанной со звено , н е о зве ом, номер которого указан как нижний индекс.
Заметим также, что вектор относительной угловой скорости для любого звена, расположенный в системе координат, жестко связанной с предыдущим смежным звеном, имеет следующий вид: ы = ( 0 0 0,1; ы, — (000,)т; ыз=(000 )' и т.д. 168 Учитывая последовательность перехода от однои системы координат к другой, по аналогии с выражением (4.16) запишем следующую систему равенств, по которым определяются слагаемые, входящие в выражение (4.35) для абсолютной угловой скорости нго звена Нижние индексы матриц перехода в этих равенствах означают номер системы координат, к которой переходят от предыдущей системы.
Так, например, матрица тт означает матрицу перехода от 2-й системы координат к 3-й. Обе эти системы жестко связаны соответственно со вторым и третьим звеньями. Изложенные приемы определения линейных и угловых скоростей точек и звеньев МС являются основой для составления программ для расчета этих скоростей на ЭВМ. О значении уравнений движения было сказано в начале данной главы, где в общем виде характеризовалась динамика МС. Для составления таких уравнений, называемых также уравнениями динамики применительно к сложным механическим системам, к которым относятся и МС промышленных роботов, широко используются уравнения Пагранжа 2-го рода где К и П - соответственно кинематическая и потенциальная энергии всей механичвсксй СистЕмы; С; - )-Я обобщенная координата (~ = 1, 2, , и); О! - обобщенная сила, действующая в направлении обобщенной координаты О;.
Число уравнений, входящих в (4.37), равно числу и обобщенных координат или применительно к МС промышленных роботов - числу степеней подвижности. В качестве примера составим уравнения лвижения для простой МС, кинематическая схема которой представлена на рис. 4.9, а для большей наглядности приведем общую конструктивную схему этой МС (рис. 4.18). Манипуляционная система имеет три степени подвижности в напРавлении обобЩенных кооРДинат Цо, О„йг и хаРактеРизУетсЯ следующими параметрами. 1 .г !с4 с 2 г г,г,г .г 1 К = — сто(йзчо+Ог~чз) 2 р о' Рис.
4.!8. Общая схема МС! 0 — основанов„! — стоика, 2 — каретка, 3 — "руна" с захватным устройством К= — гп у+ — !.й, г 1 2 ' ' 2 (4.38) где гп! - масса звена; У; — абсолютная скорость центра масс звена; момент инерции массы относительно оси, проходящей через центр масс; Й! — абсолютная угловая скорость звена относительно этой же оси. 8 нашем случае кинетическая энергии Кс, К„и Кр соответственно стойки, каретки и "руки" с захватом запишутся в виде 170 Массы: гп и ! - соответственно масса стойки и момент инерции этой массы относительно оси вращения стойки; гп„и 1„- соответственно масса каретки и момент инерции этой массы относительно оси вращения стойки; гп и ! — соответственно масса "руки" с зах- ' ватом и момент инерции этоймассы относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс (точка С на рис.4.18).
Обобщенные силы: О, — крутящий момент привода по коор динате о„. О, и Оз — движущие силы приводов соответственно по координатам О, и Оз. Кинетическая энергия >-го звена в общем случае находится по известной теореме Кенига (,, +ь,=а,; гп О + гпгя Ог' гпг чз з (4,40) или в матричной форм~ )о ., 'о 1.
~ 'о;1 ° '(о'] ° ( Ъо1 (4.41) 171 + К + К . Потенциальная К нетическая энеРгия всей МС = с + к Р' И нат о, позто энергия м МС еняется лишь при изменении оорд г П = 9 (глк + гпр) О~ . 4.37) и выполниВ Подставляя , и о П обобщенные силы в равенство( 7) ю нети необходимые операции дич"уер внцирования, получим следующн уравнения движения МС: ( !с + !к + (р + глр Оз ) Оо + 2 'пр Ог Ог Оз о ' (4.39) ( ° )о (, р)РО.' к р г ! глрс — гпрсзсо Ог.
ей авнений Введем следующие о о е обозначения для отдельных част ур движ ( . ения (4.39): г е ции масс всех подвижных =! +! +! +гп О -моментинерци с к р р з звеньев, привед енный к оси вращения стоики; , пе вмещающихся по г к Р + гп — суммарная масса звеньев, р вертикали в направлении координать Ог; гп = гп - масса, перемещающаяся по горизонтали по коордигп = гп - масса, п нате Ог; Ь = -гп о О - дополнительные силы и р' г не Оз Оо Оз и з = гпр г р з О Влилниа коорлинат Оо и Ог ции, возникающие за счет взаимног я 4.39 можно С учетом этих обозначений уравнениям движения (4. ) можно придать следующий вид: Уравнения движения (4.40) могут быть записаны в еще более компактном и общем виде МО+В-С=О, где М вЂ” матрица инерционных коэффициентов; О - вектор ускорений;  —, щи от обобщенных координат и скоростей;  — вектор сил, завися ий С вЂ” вектор сил тяжести; О - вектор обобщенных сил.
Полученные уравнения движения (4.39), (4.40), (4.41), (4.42, и вставленные в различных о ), (4.42), пред- Л формах, содержат левую и правую части. евая часть включает вели н , инины, зависящие от закона изменен я обобщенных к общ ~х оординат по времени, т.е. от функции О;(О, и от величин и н, ия перемещаемых масс МС. В правой части уравнений движения пимен ы приводов, обеспечивающие щены обобщенные силы, или движущие силы прив в, б перемещения звеньев МС по соответствующим степеням и равнения движения в зависимости от вида задаваемых величин позволяют решать ве азл н д р ич ые задачи динамики-прямую и обрати ю.
При решении и я т ую. внен р р мой задачи по известным величинам лево" и части ура ни находят значения правой части, т.е. вел ичины движущих сил приводов, соответствующих законам изменен я б б и о о щенных координат по времени. Обратная задача при ее решении позволяет по заданным величинам движущих сил (по известной правой части уравнений) и о щенных координат по найти соответствующие законы изменения обоб енны к времени (найти левую часть уравнений). Реализация прямой задачи значительно проще обратной, так как при ее решении используются ратная задача связана операции дифференцирования функций О (().
Об атная з с интегрированием уравнений движения, что определяет трудность ее решения и обычно требует применения ЭВМ. В целом, уравнения движения МС,называемые также уравнениями динамики, дают возможность решать большое количество общих и частных за ач (ка я д ( жда из которых относится к классу прямой либо обратной задач) при проектировании и программировании роботов. В 4.2.б в основном затронут вопрос составления уравнений движения МС о ним д из способов, пригодным для их сравнительно простых структурных схем.
Существуют более сложные методы ( р м р, в матричной форме) получения уравнений движения. С этими методами, а также с эффективными способами решения за ач на основе авнений в ур ий движения можно подробнее ознакомиться в ми решения задач специальной литературе.
42.7. Точность манипуляторов ПР Как упоминалось выше (см. 3.3.1), одной из основных характе- 172 ристик промышленных роботов является погреши огрешность позиционирования или обработки траектории, оцениваемая в линейных или угловых единицах и характеризующая точность функционирования робота При значительных величинах отклонения рабочего органа от заданных программой нарушается нормальный процесс взаимодействия ПР с технологическим оборудованием и объектами манипулирования, становятся невозможными захватывание и установка объектов в местах позиционирования. Рис.
4.19. Линайныа погрешности позиционирования захаатного устройстаа На рис. 4.19 показаны два положения рабочего органа (захвата)- запрограммированное (а) и действительное (б). Положение а определяется координатами х, уо и г точки я( (центр захвата) в инерциальной системе Хо Уо Ео, положение б — координатами хо + бхо, у, + Луо, г ч Лго. Величины стх„Лу и стао называются линейными погрешностями позиционирования соответственно по осям Хо, Уо и Ео. Очевидно, что общая погрешность позиционирования гзо составит шо = у Л "о + гз уо + гзго .
(4.43) Отклонение 'положения рабочего органа от заданного программой в основном обусловлено а) ошибками приводов, когда ими не обеспечивается точная отработка значений заданных обобщенных координат; б) отклонениями размеров звеньев, деталей приводов и других констРуктивных элементов маннлилятора при их изготовлении; в) упругими 173 деформациями звеньев под воздействием внешних нагрузок. Кроме того, погрешности позиционирования и отработки траектории могут вызывать износы кинематических пар, температурные удлинения звеньев и пр. Рассмотрим метод определения величин погрешностей позиционирования по одной из основных величин — ошибкам приводов. Координаты хо уо и зо положения рабочего органа (рис. 4.19) зависят от значений (набора) обобщенных координат ал где 1 = 1, 2..
. и, и явля- ютсЯ их фУнкЦиЯми хо = хо(а;), Уо = Уь(01) и зо = з,(а;). Их конкРетные выражения определяются по матрице перехода от системы координат Хл Уя г„, жестко свЯзанной с Рабочим оРганом, к инеРЦиальной системе координат Х, уэгч — выражение (4.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
