Василенко Н.В., Никитин К.Д., Пономарёв В.П., Смолин А.Ю. - Основы робототехники (1071028), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поставим целью найти обобщенные координаты, соответствующие заданным линейным координатам хш уш з (гл = 3) положения центра захвата (точка М). Для решения задачи используем систему трех уравнений (4.23). Поскольку гп < и, то согласно ранее сказанному решение обРатной задачи будет неоднозначным. В самом деле (рис. 4.16), двум '*излишним" (и — т= 2) обобщенным координатам, например, г), и Чч, мы можем придавать различные произвольные значения и в каждом случае, подбирая значения остальных обобщенных координат (0ы т)„Цз), обеспечивать тРебУемое положение ЦентРа захвата, т.е.
для одного положения захвата существует множество возможных комбинаций взаимного расположения звеньев МС. Дляоднозначности Решения следует в уравнениях (4.23) придать двум обобщенным координатам постоянные значения, а остальные — найти из этих уравнений. Если для этой же МС (рис. 4.16) задать шесть координат (три ч* 163 уравнениям будут удовлетворять несколько наборов, состоящих из л обобщенных координат.
При гл > и задача не решается и в этом случае для нахождения и обобщенных координат необходимо так уменьшить число задаваемых координат, чтобы сравнять гп и и. Эти положения можно изложить и по-другому, более иллюстративно. Если гп = и, то для каждого фиксированного положения захвата имеется своя единственная конфигурация (взаимное расположение звеньев) МС, при лч < и таких конфигураций несколько, а при гп > п МС не способна расположить звенья так, чтобы полностью обеспечить заданное положение захватного устройства. Рассмотрим примеры. МС, изображенная на рис.
4.9, имеет три степени подвижности (и = 3). Требуется решить обратную задачу: найти значения обобщенных координат яы т),, Оэ при расположении центра захвата в точке с заданными линейными координатами хэ, уш зч. Используя систему (4.11) из трех уравнений (функций положения МС), обычными алгебраическими приемами находим линейных и три угловых), то будем иметь случай (гп > и) нерешаемость систем уравнений (4.23) и (4.24). Чтобы решение было возможным, необходимо исключить одно из уравнений, содержащее какую. либо заданную координату, и решать остальные уравнения при условии гп = п В о всех случаях при решении обратных задач приходится иметь дело с системам ! трансцендентных уравнений, аналитическое решение которых обычно затруднительно, исключая простейшие случаи, подобные решению (4.27).
Вместо аналитических для решения обратных задач широко используют различные специальные приемы, например, численные решения. Один из методов численного решения обратной задачи путем последовательного приближения заключается в следующем. На первом шаге произвольно задаются начальные значения и обобщенных коо(о) Р динат 0 , где ! = 1, 2, ..., и. Правые части уравнений (функций положения) представляются в виде частей ряда Тейлора (ч), о охь (0! ! (ч) (,) (ч) х =х (0),! () (') дуз (0! ) 1= ! «(Р! (4.28) и т.д. В ти (!) этих уравнениях Ч, — уточняемая при первом шаге расчета обобщенная координата.
Численные значения уточненных координат (1) (1) (1) , 0,, ..., Чп нахоДЯтсл из УРавнений поСле подстановки в последние численных значений заданных координат (хш у, и др.) и обоб. шенных кооРдинат Ч, , 0,,..., оп . ОпРеделением (О) (О) (О) завершается первый шаг. На втором шаге записываются уравнения по типу (4.28). Численные значения заданных координат (хш у, и др.) на втором шаге (н всех последующих) сохраняются, а вместо значений координат Ч(, ) подставляются значения 0! вместо координат о(,, ) в уравнения под(!) с тавляются координаты Ч! Нахождением этих координат из новых (2) уравнений заканчивается второй шаг.
Аналогично процесс расчета продолжается далее. Если на некотором )г-м шаге полученные обобшенные координаты 0( ) отли аю (и-П )т - ! от обобщенных координат 0., определенных на пред д е ! ыдущем ( — )-м шаге, на ве!тичину меньше заранее установленной (заданная 164 точность), то процесс решения задачи заканчивается. В качестве ок н- о чательных значений обобщенных координат, обеспечивающих заданное ) П к положение захвата (х„, Уь и АР), пРинимаютсл значениЯ Ч, ПРактически обратные задачи, ввиду их сложности, всегда решаются на ЭВМ по соответствующим программам.
Одна из главных целей решения обратных задач — установление закона изменения обобщенных координат при движении захватного устройства по требуемой траектории. В этом случае задаются координаты в инерциальной системе всех тех точек рабочей зоны, в которые должен последовательно попадать центр захвата. Для каждой из этих точек определяются соответствующие ей обобщенные координаты. Таким образом, устанавливается закон изменения обобщенных координат за время выполнения рабочего цикла промышленным роботом. Траектория движения захвата может быть задана не только после овательными наборами величин координат отдельных ее точек, д но и законом изменения координат во времени, т.е.
величинами х,,(), у (!), з (т). В таком случае и закон изменения обобщенных координат а * а бУДет полУчен в фоРме фУнкЦий вРемени д! (!), Ч, (!), ..., Чп(). Таким образом, решение обратных задач связано непосредственно с программированием действий робота. 42.8. Скорости элементов МС При решении большинства задач, связанных с исследованиями кинематики и динамики МС, необходимо определение скоростей звеньев — линейных и угловых. Для каждого рго звена следует различать относительные скорости, т.е.
скорости перемещения этого звена относительно системы координат Х; ! У; ! 2! 1,жестко связанной с (! - 1)-м звеном, и абсолютные скорости по отношению к инерциальной системе координат Х У 7, жесткс связанной с неподвижным нулевым звеном (осноо о о ванием МС). Относительные скорости (-го звена зависят от характера изменения во времени только одной обобщенной координаты Ч!(!). При поступательной степени подвижности производная по времени 0((!), так называемая обобщенная скорость, определяет относительные линейные скорости точек дго звена, при вращательной степени подвижности — их относительные угловые скорости.
При определении абсолютных скоростей !-го звена необходимо учитывать обобщенные скорости Ч! (!), 0, (!), ..., Ч! (!) всех звеньев, от 1-го до ю-го. Обычно при расчетах представляет интерес абсолютная линейная скорость какой-либо характерной точки звена, например, центра масс и центра захвата. Если положение некоторой точки (4.29) сз Рис 4'.17 с(А;, +Ад...— о)г;. ! (4.30) 167 нго звена задано в координатах Х;У;2, вектором г;, то абсолютная линейная скорость у; этой точки может быть найдена дифференцированием уравнения (4.16), связывающего четырехмерные векторы положения точки в разных системах координат, т.е.
где г, — вектор положения точки в инерциальной системе координат; г; — не зависящей от времени вектор положения точки в дй системе координат. Дифференцируемое выражение А, А, ....А; представляет собой сложную функцию от времени т через посредство обобщенных координат о„ оз, ..., с;. Производная такой функции согласно правилам дифференцирования сложных функций запишется в следующем виде: д(А,Аз" А1) д(А,Аз "АД ОО, д(дтдз...А;) Оз дт дй бт б (д, А, ... д;) а а; бо; с(т учитывая, что каждая из матриц д,, А, ..., А; зависит только от одной соответствующей обобщенной координаты Ом т)з, ..., Ор и обозначая производные обобщенных координат по времени (обобщенные скорости) через Ом с,, ..., Оп выражение (4.29) для определения абсолютной линейной скорости точки дго звена можно записать в развернутом виде У =( — тд ...до+д з дй 2 Вектор абсолютной скорости можно представить также следующим образом: У; =~6 Угх Угу Уьт]', где Уоп У;, У; — проекции скорости на оси инерциальной системы координат.
166 Изложение методики определения относительной угловой скорости звена начнем с рассмотрения схемы, представленной на рис. 4.17. Пусть со звеньями ~ и (! - 1) жестко связаны соответствующие системы координат Х, У; Е; и Х; 1 У; 1 Е; 1, Вращательное движение звена 1 происходит вокруг оси Е; 1 в направлении обобщенной координаты О с обобщенной относительной скоростью О;. Поскольку по ! правилам выбора координат (см.
4.2.2) ось 2; 1 всегда совпадает с осью кинематической пары, вектор ы(.' 1) относительной угловои ('-П т скорости звена ] такжесавпадаетсосью Е; 1,т.е. а, = [О О О;] (верхний индекс показывает, что начало вектора совмещено с началом ()-1)-й системы координат, Вектор относительной угловой скорости относится к числу свободных, начало которых можно переносить в любую точку, Переносим начало вектора ы ' ), сохраняя длину и направление вектора, в точку О..
В рй системе координат перенесенный вектор относительной и т угловой скорости звена / запишется как ы, = [и;„я;у ы;з] (верхнии индекс в обозначении вектора при расположении его в "собственной" системе координат опускаем). Учитывая, что расстояние между началами координат О; и О; 1 не влияет на величину проекций относительной угловой скорости на оси координат, преобразование координат от рй к () — 1)-й системе можно производить с послсщью матрицы Т; размером 3 х 3, т.е., рассмотрев (4.13) при );=О, т т т т — э Ы1 = т; т! ! ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
