Василенко Н.В., Никитин К.Д., Пономарёв В.П., Смолин А.Ю. - Основы робототехники (1071028), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. найти вектор го = [х ув го] Задача решается путем последовательного нахождения положения ТОЧКИ Р ВонотЕМаХ КООРДИНатХ„1 У„1гп 1,Хп 2 Уп 22п 2 И т.Д., вплоть до Х, Х, 2в, т.е. по заданному вектору г„последовательно опРеДелЯютсл вектоРы гп 1,г„г, ..., ге. Из математики известно: если имеются две прямоугольные системы координат, например, 1-я и (! — 1)-я (рис. 4.11), с произвольно ориентированными в пространстве осями и началами координат, удаленными одно от другого на некоторое расстояние 1р то некая точка Р, определенная координатами хр ур г; в Рй системе, имеет следующие координаты в системе (1- 1): х; 1 = а„х;+ иззу!+ атзг1+ 11„1 у1-1 = агз х; + аззу~ + аззг~ + 11у 1= а„х;+ аззУ1+ а„г;+ 1, 148 гДе ачм амн ..., азз- косинУсы Углов межДУ освми Рй и (1 - 1).й систем координат; 1;х, 1!у, 1! - проекции 1; на соответствующие оси (1 — !).й системы.
Ввс. 4.11. Схема размещения векторов г; и г; 1, определяющих положение точки Р В матричной форме (4.12) запишется г! 1= т1г1+ 11, (4.13) ГДЕ Г; ! = [Х; ! У; 1 г; 1]т И ГГ м [Х1 У; г;]т — ТРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ, определяющие положение точки Р соответственно в (1 — 1)-й и 1-й системах координат; Тт - матрица размером 3 х 3, составленная из элементов ачм а,з, ..., азз; 11 = [1гх 1;у 1;г]т - тРехмеРный вектоР положения начала координат нй системы в (! — 1)-й системе. Использование таких выражаний, как (4.12) и (4.13), дпя решения поставленной задачи последовательного нахождения векторов тп- 1 ° Гп-г,..., г, по известному вектору г, весьма трудоемко.
Поэтому для решения подобных задач используют более удобную, с точки зрения программирования и численного решения задач на ЭВМ, систему так называемых однородных координат. При использовании однородных координат оперируют четырехмерными векторами г1 1 = [х; 1у; 1г; 11]т г) = [х;у;г;1]т !1 = [!1х1;,!м1]". В этом случае связь между векторами по аналогии с (4.13) можно представить где 'х аз, а а. !,„ 31 32 33 )м О 0 О 1 (4.15) — матрица перехода от Дй к (1-1)-й системе координат. Нетрудно убедиться, что, перемножив матрицу Ар размером 4 х 4, на вектор-столбец гп получим три уравнения (4.12) плюс тождественное равенство 1 = 1.
Поскольку взаимное положение рй и (( - 1)-й систем применительно к МС зависит от конструктивных параметров (длин, углов перекоса и др.) звена и двух кинематических пар, связывающих его со звеньями (1 + 1) и (~ - 1), а также от значения одной (вращательной или поступательной) обобщенной координаты ць последняя обязательно войдет в состав одного или нескольких элементов матрицы перехода А;. Последовательно применяя общее выражение (4.14) для нахождения векторов т„ 1, гя 2, г„ з и т.д. положения точки )и' (рис. 4.10), получим го Ат Аэда -.. ° А/ ° . Апгпг (4.16) где А,, Аз, ..., Ал — матрицы перехода из одной системы координат к соседней, причем каждая матрица, как уже отмечалось, включает в себя одну соответствующую обобщенную координату.
Последнее выражение можно записать в обобщенном виде го Впгп (4.17) где В„ - произведение матриц А,, А„ ..., или матрица перехода от и-й системы координат к нулевой. Матрица Вп включает все и обобщенных координат манипуляционной системы, поэтому выражение (4.17) является общим представлением функции положения МС.
4.22. Методика образования матриц перехода от одной системы координат к другой Базовой для составления функций положения является кинематическая схема конкретной МС. Схема может быть выполнена "плоской" или аксонометрической для сложных МС. Пример последней — схема, представленная на рис. 4.4.
При изображении схемы целесообразно располагать звенья так, чтобы углы между продольными осями смежных звеньев составляли 0 или л 42, если такие положения возможны для рассматриваемой конструкции МС. 150 На схеме следует пронумеровать звенья от О (основание МС) до л (конечное звено-захват). Кинематические пары обозначаются следующим образом: пара ® — стык основания со звеном 1 пара 1 — стык звеньев 1 и 2 и тчь, пара (и) — свободный конец захвата Пара л - воображаемая, поскольку звено (и + 1) отсутствует. Около осей кинематических пар необходимо стрелками указать (рис.
4.4) направления движения, т.е. направления изменения величины обобщенных координат ды Оз..., Ол, пРи этом номер обобщенной координаты совпадает с номером звена. На схеме изображены системы координат — нулевая, 1-я, 2-я, ..., и-я; прн этом номер системы совпадает с номером кинематической пары. При размещении систем координат необходимо придерживаться следующего специального порядка 1. Определить положение инерциальной (нулевой) системы координат, принимая ее начало в центре кинематической пары Я и направляя ось гч вдоль оси движения звена 1; оси Х, и У, расположить произвольно, но так, чтобы получалась правая система координат. Напомним: правая система координат такова, что поворот от оси Х к оси У на угол л/2 совершается против часовой стрелки, если смотреть на плоскость из точки, расположенной на положительной оси 2. 2. Провести оси Е для всех кинематических пар вдоль их осей.
Для пары (и) ось Еп направить по продольной оси захватного устройства или перпендикулярно к ней через характеристическую точку захвата (точка М на рис. 4.4). 3. Установить начала координат для каждой рй системы (1 = 1,..., и) в зависимости от взаимного расположения осей 2~ и 2; 1. а) в точке пересечения осей Е; и 21 1, б) е точке пересечения общей нормали к осям 21 и 21 1 с осью 2;; в) в любой точке оси 2н если оси Е; и 2~ 1 совпадают или параллельны.
4. Выбрать направление оси Х; (( = 1, 2, ..., п) в зависимости от характера расположения осей Е; и Е; 1 . а) в направлении вектора з; 1 х г; при пересекающихся осях Е; 1 и Еь напомним: векторное произведение а х Ь вЂ” вектор, по направлению перпендикулярный к а х Ь и совпадающий с направлением движения правого винта при повороте от а к Ь на угол меньше л; б) по общей нормали от оси Е; к оси Е; при непересекающихся осях в) в любом направлении при совпадающих осях 2, 1 и Еп 5. Выбрать направление оси У; (( = 1, 2, ..., п) так, чтобы система Х~ У12; получилась правой.
151 После перемещения на схеме систем координат необходимо определить параметры, характеризующие расположение соседних систем координат. х, Рис. 4.12. Взаимное расположение систем координат на осях кинематических пар части МС Рассмотрим общий случай взаимного расположения систем координат Рй и (1 — 1)-й.
На прис. 4.12 показана часть МС, содержащая звенья ()†1),( (1е 1) и кинематические пары,')†Ь1 и Я с соответствующими осями координат. для наглядности эти оси координат и параметры их положений вынесены на рис. 4.13, из которого видно (рис. 4.13,а), что взаимное расположение систем координат (1 — 1)-й и «й в общем случае определяют следующие четыре параметра: 1) 31 — расстояние от начала (1 - 1)-й системы координат до точки пеРЕСЕЧЕНИЯ сои Х1 С оСьЮ 21 1. Если эта точка расположена на положительной части оси 2, 1, то В)положительно, если на отрицательной части, то Я1 отрицательно; 2) а; — расстояние от начала «й системы до то~ни пересечения оси Х; с осью 2, 1, нвлающеесн всегДа пОложитЕльной вЕличиной; 3) ч1 — Угол повоРОта ат оои Х; 1 ДО ОСИ Х; относительно оси 2; 1, Если смотреть в направлении оси 2, , и поворот оси Х; 1 к оси Х, совершается по часовой стрелке, то угол ч; положителен, в противном случае — отрицателен; 152 Б Рис 4.13.
Схемы, поясняющие порядок преобразования координат 1чт и (1 - 1).й систем. 'а - параметры, характеризующие взаимное расположение систем, б — схема совмещения «й системы координат с (1- 1)-й Хз-т Рис. 4.14 Взаиморасположение систем координат для частного случеа параллельных осеи соседних кинемати ческих пар 4) а; — угол поворота от оси 2; 1 до оси 21 относительно оси Хп Если смотреть в направлении оси Х; и поворот оси 21 1 к оси 2; совер.
шается по часовой стрелке, то а; положителен, в противном случае— отрицателен. При равенстве некоторых иэ этих параметров нулю имеем частные случаи. Например, при а1 = О получим звено Ь по концам которого расположены кинематические пары с параллельными осями (рис. 4.14), при а; = О и а; = Π— звенс ( у которого оси кинематических пар совпадают (рис. 4.16). Рис. 4.Ы. Взаиморасположение систем ноординат длл частного случая соеладаюшох осей соседних нинематических пар Из рис. 4.12 и 4 13 видно, что параметры а; и й; в данной системе всегда постоянны (неизменны), так как определяются соответственно только длиной звена и принятым направлением осей кинематических пар, принадлежащих этому звену. Параметры Я; и «; могут быть постоянными (сопз1) или переменными («аг) в зависимости от типа кинематической пары (/ — 1): если пара поступательная, Я; = «аг, «, = сопз1; если пара вращательная, Я1 -- СОПЗ1, «; = «аг.
Один из переменных параметров ( Я; = чагили «;=«аг) является обобщенной координатой ц; для звена Е Выразим элементы матрицы перехода (4.16) от Дй к (1 — 1)-й систе- ме координат через рассмотренные параметры для общего случая (рис. 4.12 и 4.13), когда 61 Ф О, а; чь О, «, Ф О, а; чь О. Напомним, что девять элементов агы а,а, ., а„матрицы (4.16) Л Л являются косинусами углов соответственно Х;Х; 1, У; У; Л ?;21 1, а три элемента (1х, 1;, 11 - проекциями отрезка прямой, Л а„= соз(х14; 1) = Л аоа - -соз ( УЖ 1 ) = и соз2 =О; л сов(2 -тт,.) = з(п а1, Л а = соз(2,21 1) = соз ц;.
Косинусы углов между двумя осями, из которых одна расположена в вертикальной, другая — в горизонтальной плоскости, находятся по известному в сферической тригонометрии выражению соз 7 = соз ц. чсоз р, где т - угол между'осями; а и р - углы, образованные соответственно первой и второй осями с линией пересечения плоскостей. На основании этого составим выражения Л а, = соз ( У; Х1-1 Л а„= сов(АХ/-! Л а = соз(У;У1 Л а = соз(21У1-1 л ) ессз ц;соз(2 + «;) = -соз и1з1п п ) =сов(2 е а1) соз( 2- «~) =з1п а1соз«н ) = соз а;соз «;; ) соз( — + а )соз «, з~п а соз «, 2 Выразим проекции отрезка прямой 11 (рис.
4.13,а) на оси (/ — 1)-й системы координат 1гх ю а; соз «;; и ! = а(соа( — — «;) = а; з(п «;; 1У 2 (1г Я! ° -соединяющей точки 0; 1 и 0; начал координат, соответственно е иСИ Х1 1 У/ 1 ~/ для удобства нахождения углов между осями координат рй и .(1- 1)-й систем совместим начало координат О; с О; 1, не меняя пространственную ориентировку осей (рис.
4.13,б), В этом случае оси Вч 2 и У расположатся в общей вертикальной плоскости, а оси ! 1-1 Хл Х; 1 и У; 1 — в горизонтальной. Обратившись к рис. 4.13,6, можно записать Л ам = соз(Х1Х; 1) = соз «;; Л ам = Соз(Х1У1 1) = Соз (2 — «1) = з1п с ч,. -са; зч; за; зч; а,сч. ! А! = (4.18) 0 а си; 0 азу; 1 з! сч, зч; -зч; сч; (4.1 9) 0 0 0 0 0 1 -зч. 0 0 сч~ 0 0 су; ДН = (4.20) О 1 з, 0 0 1 157 Подставляя полученные выражения для элементов матрицы формулу (4.16), получим матрицу перехода от дй к (! — 1)-й системе координат в виде, при котором все элементы матрицы представлены через четыре параметра, полностью определяющих взаимное положение этих систем координат, зч; са; сч, -за сч, а зч; 0 за; са, 3 0 0 1 где для краткости записи принято з = з1п, с - =сов.
В частных случаях,.когда отдельные параметры положения равны нулю, элементы матрицы перехода значительно упрощаются, становятся равными нулю или единице. Так, для частных случаев взаимного расположения, показанных на рис. 4.14 и 4.18, матрицы перехода от дй к (1 - 1)-й системе координат будут иметь вид соответственно при параллельных осях соседних кинематических пар при совпадающих осях соседних кинематических пар Матрицы перехода являются полным математическим отражением особенностей конструкции Дго звена и смежных с ним кинематических пар в части размеров и взаимного расположения, а также типов кинь матических пар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
