Василенко Н.В., Никитин К.Д., Пономарёв В.П., Смолин А.Ю. - Основы робототехники (1071028), страница 35
Текст из файла (страница 35)
42.3. Пример составления функций положения МС В качестве примера образуем матрицы перехода для манипуляционной системы, изображенной на рис. 42. За основу примем кина. матическую схему МС (рис. 4.4), на которой разместим системы коор. 156 динат, жестко связанные со звеньями (рис. 4.16), следуя ранее уста- новленному порядку (см. 4.22). Рис. 4.16. Расположение систем носрбинет, местно связанных сс зееньями МС Начало инерциальной системы Х, У, 2е помещаем в центр пары Об„ось 2е направляем по оси пары. Начало системы Х,У,2, устанавливаем также в центр пары®(можно было бы установить и в центр пары Я, оси О-й и 1-й систем для удобства совмещаем.
Последовательно размещаем 2-ю, 3-ю и 4-ю системы координат, принимая за на~ала систем центры пар соответствующих номеров. Заметим, что начало.' й системы можно было бы поместить и в любую другую точку на оси 2з, поскольку эта ось совпадает с осью 2з. Ось 2з направляем 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ц 0 0 0 1 сц, О 0 0 1 0 0 зд4 О -сцч 0 14 0 1 А = з А 4 сц, 0 вц, 0 0 -1 0 0 зц, (,сц, со, (,во, 0 0 0 1 1 =Я„(э=аз (э=аз, В, = д,.Д, А,.д,.д, = Таблица 4.3 зЦ,сд,сЦгГ 1 -СЦ1 Здь Тип кинематической пары Параметр Пределы измене- ния (рис.
4.3) Звено Г ! сц,зц,зц — здьсдз Т ( сц,зц, ЗЦ1 Ц5 ! ( -1,(сц,зц сд + зц,зц )- ) -145Ч1- (зсц1- цззц1 8; а( ч( а, о о ц, о (-а,)... (аь) 1 вращательная 2 поступательная 3 явотупатеяьиая Г (звц сцз+ цз Г вд4 зд5 Т зц,сц, ( сц4 Цг 1. -90 90 1 (п" ' ах Цз 0 О О (зпнп" 1554эх 4 вращательная (ротация) 0 ц, 90' (-а,)... (ач) О 1 ц, -9О' (-а,)...
(а,) б вращательная ( сгиб) сц, -вц, 0 зц, сц, 0 0 0,1 0 0 0 0 0 -1 0' 0 0 0 1 Д1= 0 0 по нормали к продольной оси звена б в точке (ь(. Возможен второй вариант: направить ось Ез по продольной оси звена В этом случае начало системы Хз Уз 25 оказалось бы в центре пары С4). Затем изображаем на схеме обобщенные координаты ц,, Ч,, Ч„ Ц4, Цз. ПРИ ЭтОм каждал обобщенная координата соответствует одному из переменных параметров положения системы координат цьху1, цз=в., цзхв„ц.з у4, цзз уз Постоянные размеры МС соответствуют неизменным параметрам положения для удобства значения параметров, характеризующих взаимное положение Систем координат МС, сводим в табл. 4.3, Значения параметров положения систем координат МС Подставляя данные табл. 4.3 в выражение (4.18), последовательно получаем матрицы перехода: А, — от 1-й системы к О-й, А, — от 2-й системы к 1-й и т.д.
до А,. Используя эти матрицы, получим матрицу перехода В, от системы координат Хз У575 к системе Х5У525 зцьсц4зцз(115(вцьсцчсцзсцьвдз) с Ч1 с Ч5 ( 14сЧ1 + (2зц1 Чз сц1 Г Т Г Г О, О 1 О (4.21) Матрица (4.21) является основой для получения функции положения МС. Элементы матрицы имеют определенный геометрический смысл (см. 4.2,1).
так, девять элементов, расположенных в верхней левой части матрицы, — косинусы углов между осями координат систем Х, У525 и инерциальной Х, У525:Например, элемент в первом столбце первой строки — косинус угла между осями Х, и Хь, который обозначим Л как соз (Х,Х ). Три элемента четвертого столбца, находящихся в первой, второй и третьей строках, являются соответственно координатами хь„у,, 25 начала системы координат Х, Уз 25.
С учетом сделанных пояснений и принятых обозначений матрицу (4.21) запишем в более компактном и наглядном виде Л ! Л 1 Л соз(Х,Х,,! Соз(убХр) соз(2бхо) ! хо Л ! Л ! Л соз (ХЗУо) ! с05 (Уб Ур ) 1 соз (28 Ур ) ! Уо (4.22) 1- 1 Л, Л, Л СОЗ (Хз во ) СОЗ (Уб2о) СОЗ (в бе-р) гр О О 1 1 1 1 функции положения точки М (рис. 4.16), расположенной в начале координат (хб = О, уо = О), с учетом выражений (4.21) и (4.22) при обычных обозначениях синусов и косинусов запишутся в следующем виде: хр = 18 (8(п (( с05 С4 соз (б ссз (!( 5!и Сб) !4 соз 1( + !2 5(п О( — (!з Соз Ц(; )О !б ( ОЗ Ц( ()4 СОЗ Цб + 5(П Ц( 81П Цб) !4 81П о 2 (!1 '!3 '" О( (423) ЗΠ— !б 51П (!4 СОЗ Цб + но, соз (ЕбХо ) = -5ю(!! соз(!4 8!и(!б — соз(! соз(!б Л сов (2буо ) =сов()( 8(п()4 5(п(!б -8!и(!( О(ж()б' Л соз(У,Х, Р ) = -81П(1, з!П()4 (4.24) В совокупности шесть трансцендентных уравнений (4.23) и (424) Сравним уравнения (4.23) с уравнениями (4.11) для простейшей МС, изображенной на рис.
4.9. Положение (ориентировка) конечного звена б (рнс, 4.16) оценивается взаимным направлением осей координат Хб У,2б, жестко свлзанных со звеном б, и Хо УрЕо. Длл УстановлениЯ положения звена необходимо знать как минимум три угла (или три косинуса этих углов): два угла между какой-либо осью системы Х,У525 и двумя любыми осями системы Хрур25 (например, Е с Х, и Уо) и одним углом между другой осью системы ХбУб25 и любой осью системы ХоУоЕо (например, У,сХ,). Для нашего примера запишем функции положения звена б, используя из матриц (4.21) и (4.22) два элемента третьего столбца в первой и второй строках и один элемент второго столбца в первой строке Л позволяют по задаваемым значениям обобщенных координат С! С2 Сз.с„сб (табл.
4.3) определить величины координат и углов, полностью характеризующих положение захватного устройства (звена б ) относительно инерциальной системы координат. Таким образом, эти уравнения и будут функциями положения захвата С помощью матрицы (421) могут быть составлены функции положения любой точки Р, имеющей координаты хб, уб, зб.
Эта точка, отличная от точки М, может относиться к какому-либо предмету, удерживаемому захватом. Воспользовавшись выражением (4.17), запишем его для нашего случал (4.26) 'о Вб гб гДЗ (р = [хо Уо зо 1] и гб = (хб Уб зб 1] — соответственно искомый и заданный четырехмерные векторы положения точки Р. Умножив матрицу Вб на вектор-столбец гб, получим в явном виде тРи УРавнениЯ Длл нахожДениЯ кооРДинат хр, Ур, зр. УчитываЯ гРо.
моздкость получаемых выражений, для краткости приведем лишь одно из этих уравнений зо = 5(П С! СОЗ Сб Хб + СО5 С4 Уб — 81П Со 51П Сб зб + + !б 5!п С4 соз (!б 4 С2 (4.26) 4.2.4. Прямая и обратная задачи о положении МС Сущность этих задач показана ранее при рассмотрении общего содержания кинематики как раздела механики МС. Учитывая изложенные в 4 2.1 понятия, дадим новую формулировку общей цели прямой, а затем и обратной задач. В п р я м ой з ада ч е по заданным обобщенным координатам, определяющим относительные положения или законы движения звеньев, находят положение или характер движения какого-либо отдельного звена (обычно захватного устройства) относительно инерциальной системы координат. Подобная задача, в сущности, решалась в общем виде в примере, рассмотренном в 4.2.3, причем решение задачи базировалось на широком использовании функций положения, В результате решения ПРЯМОЙ ЗаДаЧИ НаХОДЯт КООРДИНатЫ Х„Ур, зо ТОЧЕК, ПРИНаДЛЕжаЩИХ звену МС, а также углы (косинусы углов), определяющие ориентировку звена в пространстве относительно инерциальных координат Хр У, Ер.
При этом наибольший практический интерес представляет нахождение координат центра захватного устройства и ориентировки его геометрических осей, что производится по выражениям, анало. б Основы робасосеннннн 161 гичным (4.23) и (4.24). При решении прямой задачи необходимо располагать матрицей перехода Вл, от и-й к инерциальной системе координат в форме (4.21) и величинами заданных обобщенных координат (табл.
4.3). В зависимости от конкретной цели решения прямой задачи обобщенные координаты могут задаваться различными способами. Если требуется найти положение гьго звена МС для какой-либо единственной конфигурации МС, то должны быть заданы и обобщенные координаты с единственным значением каждой из них. Такая задача может, в частности, решаться при оценке степени погрешности позиционирования захватного устройства в одной из точек рабочей зоны. П ри определении размеров и формы рабочей зоны структурно сложной МС, т.е. при нахождении координат точек, ограничивающих Рабочую зону, необходимо иметь набор значений обобщенных координат, включающих их минимальные, максимальные и дискретные промежуточные величины. При установлении траектории движения точки МС (например, центра захватного устройства) во времени Г обобщенные координаты должны задаваться как функции времени — ят (Г), чз (Г), " г)л (Г).
При использовании в этом случае функций положения выражения для координат точки в инерциальной системе получим также в форме хч (т), Уэ (Г), г, (Г). Более поДРобно метоДы и пРимеРы Решенил пРЯмых задач рассматриваются в соответствующей литературе к гл. 4. у В обратной задаче по заданным положению или характер движения отдельного звена (чаще захватного устройства) относительно инерциальной системы координат находятся соответствующие значения или законы изменения по времени обобщенных координат. Для решения обратных задач, как и прямых, необходимо располагать матрицей перехода Вл в форме (4.21), используя элементы которой, записывают шесть уравнений функций положения МС, аналогичных выражениям (4.23) и (4.24).
Решение обратной задачи, с точки зрения математики, заключается в нахождении и неизвестных (л — число обобщенных координат, равное числу степеней подвижности) величин я,, г),,..., йл, расположенных в правых частях уравнений, при лт известных величин (координат требуемого положения захвата в рабочей зоне) — в левых частях уравнений. Теоретически и может иметь любое зна ение, но практически для МС не превышает 6-7. Максимальное значение гп равно шести.
Характер решения обратной задачи зависит от соотношения гл и п. При гл = п задача решается однозначно, т.е. конкретному набору заданных величин соответствует единственный набор искомых величин — обобщенных координат. При от< и решение обратной задачи 162 неоднозначно, поскольку при любом наборе гп заданных величин т)т агстя (уа 7хз) а,=з,; ц (хэ +,з)о,з (4.27) Выражение (4.27) и есть решение обратной задачи. Задача решена при условии сл = и, и решение является однозначным. По рис. 4.9 легко убедитьсл, что другого положения звеньев МС при фиксированных значениях хш у, г быть не может. Обратнмся к МС, кинематическая схема которой представлена на рис. 4.16, имеющей пять степеней подвижности (и = 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
